2025年广西蒙山县第一中学高一数学第一学期期末达标测试试题含解析.doc

2025年广西蒙山县第一中学高一数学第一学期期末达标测试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．已知，，且，，，那么的最大值为（）
A. B.
C.1 D.2
3．全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{x|x≤4}，则M等于（ ）
A.{1，3} B.{5，6}
C.{1，5} D.{4，5}
4．函数 的最大值与最小值分别为(　　)
A.3，－1 B.3，－2
C.2，－1 D.2，－2
5．某时钟的秒针端点到中心点的距离为5cm，秒针绕点匀速旋转，当时间：时，点与钟面上标12的点重合，当两点间的距离为（单位：cm），则等于（）
A. B.
C. D.
6．中国5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了()（）
A.10% B.30%
C.60% D.90%
7．已知实数集为，集合，，则
A. B.
C. D.
8．幂函数的图象经过点，则（）
A.是偶函数，且在上单调递增
B.是偶函数，且在上单调递减
C.是奇函数，且在上单调递减
D.既不是奇函数，也不是偶函数，在上单调递增
9．已知向量，，则下列结论正确的是（）
A.// B.
C. D.
10．一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图所示，则该多面体的体积为

A.24cm3 B.48cm3
C.32cm3 D.96cm3
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知幂函数为奇函数，则___________.
12．某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且，全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数为______.
13．方程在上的解是______.
14．已知幂函数在上单调递减，则___________.
15．圆的圆心到直线的距离为______.
16．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空.约582秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为mkg，当燃料质量为mkg时，该火箭的最大速度为2ln2km/s，当燃料质量为时，该火箭最大速度为2km/s.若该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s，则燃料质量是箭体质量的_______________倍.（参考数据：）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数部分图象如图所示，点为函数的图象与y轴的一个交点，点B为函数图象上的一个最高点，且点B的横坐标为，点为函数的图象与x轴的一个交点

（1）求函数的解析式；
（2）已知函数的值域为，求a，b的值
18．已知函数
（1）试判断函数的奇偶性并证明；
19．已知为角终边上的一点
（1）求的值
（2）求的值
20．已知集合.
（1）若，求a的值；
（2）若且“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
21．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称函数为“局部中心函数”.
（1）已知二次函数，试判断是否为“局部中心函数”.并说明理由；
（2）若是定义域为R上的“局部中心函数”，求实数m的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据图象可得：，，，.，
则.令，，，而函数.即可求解.
【详解】解：函数，的图象如下：

根据图象可得：若方程有四个不同的解，，，，且，
则，，，.
，，
则.
令，，，而函数在，单调递增.
所以，则.
故选：D.
【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意借助图象分析问题，属于中档题.
2、C
【解析】根据题意，由基本不等式的性质可得，即可得答案.
【详解】根据题意，，，，
则，当且仅当时等号成立，
即的最大值为1.
故选：
3、B
【解析】M即集合U中满足大于4的元素组成的集合.
【详解】由全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{x|x≤4}
则M = {5，6}.
故选：B
【点睛】本题考查求集合的补集，属于基础题.
4、D
【解析】分析：将化为，令，可得关于t的二次函数，根据t的取值范围，求二次函数的最值即可.
详解：利用同角三角函数关系化简，
设，则，
根据二次函数性质当时，y取最大值2，当时，y取最小值.
故选D.
点睛：本题考查三角函数有关的最值问题，此类问题一般分为两类，一种是解析式化为的形式，用换元法求解；
另一种是将解析式化为的形式，根据角的范围求解.
5、D
【解析】由题知圆心角为，过O作AB的垂线，通过计算可得.
【详解】由题知，圆心角为，过O作AB的垂线，则
故选：D
6、B
【解析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得；
【详解】解：当时，，当时，，
∴，∴ 约增加了30%.
故选：B
7、C
【解析】分析：先求出再根据集合的交集运算，即可求解结果.
详解：由题意，集合，
所以，又由集合，
所以，故选C.
点睛：本题主要考查了集合的混合运算，熟练掌握集合的交集、并集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
8、D
【解析】设幂函数方程，将点坐标代入，可求得的值，根据幂函数的性质，即可求得答案.
【详解】设幂函数的解析式为：，将代入解析式得：，解得，
所以幂函数，所以既不是奇函数，也不是偶函数，
且，所以在上单调递增.
故选：D.
9、B
【解析】采用排除法，根据向量平行，垂直以及模的坐标运算，可得结果
【详解】因为，
所以A不成立;
由题意得：
，所以
，
所以B成立；
由题意得：
，所以
，
所以C不成立；
因为，，
所以，所以D不成立.
故选：B.
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，属基础题.
10、B
【解析】由三视图可知该几何体是一个横放的直三棱柱,利用所给的数据和直三棱柱的体积公式即可求得体积.
【详解】由三视图可知该几何体是一个横放的直三棱柱,底面为等腰三角形,底边长为,底面三角形高为,所以其体积为:.
故选:B
【点睛】本题考查三视图及几何体体积计算,认识几何体的几何特征是解题的关键,属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据幂函数的定义，结合奇函数的定义进行求解即可.
【详解】因为是幂函数，
所以，或，
当时，，因为，所以函数是偶函数，不符合题意；
当时，，因为，所以函数是奇函数，符合题意，
故答案为：
12、
【解析】由题意求得样本中抽取的高三的人数为人进而求得样本中高三年级参加登山的人，即可求解.
【详解】由题意，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且，
所以样本中抽取的高三的人数为人，
又因为全校参加登山的人数占总人数的，
所以样本中高三年级参加登山的人数为，
所以样本中高三年级参加跑步的人数为人.
故答案为：.
13、##
【解析】根据三角函数值直接求角.
【详解】由，得或，
即或，
又，
故，
故答案为.
14、
【解析】由系数为1解出的值，再由单调性确定结论
【详解】由题意，解得或，
若，则函数为，在上递增，不合题意
若，则函数为，满足题意
故答案为：
15、1
【解析】利用点到直线的距离公式可得所求的距离.
【详解】圆心坐标为，它到直线的距离为，
故答案为：1
【点睛】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离，此类问题，根据公式计算即可，本题属于基础题.
16、51
【解析】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k，根据条件列方程求出k值，再设当该火箭最大速度达到第- -宇宙速度7.9km/s时燃料质量是箭体质量的a倍，根据题中数据再列方程可得a值.
【详解】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k，
则，
解得，
设当该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s时，燃料质量是箭体质量的a倍，
则

，得
，

则燃料质量是箭体质量的51倍
故答案为：51.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）或
【解析】(1)根据图象可得函数的周期，利用求出，根据五点画图法求出，根据点A坐标求出A，进而得出解析式；
(2)根据三角函数的性质求出的值域，由（1知，对的取值分类讨论，列出方程组，解之即可.
【小问1详解】
由函数的部分图象可知，函数的周期，
可得，
由五点画图法可知，可得，
有，
又由，可得，
故有函数的解析式为；
【小问2详解】
由（1）知，
函数的值域为
①当时，解得；
②当时，解得
由上知或
18、（1）为奇函数；证明见解析；
（2）.
【解析】（1）利用奇函数的定义即证；
（2）由题可得当时，为增函数，法一利用对勾函数的性质可得，即求；法二利用函数单调性的定义可得成立，即求.
【小问1详解】
当时，，则，
当；
当时，，满足；
当时，，则，
，
所以对，均有，即函数为奇函数；

【小问2详解】
∵函数为R上的奇函数，且，，，
所以函数在上为增函数，则在定义域内为增函数，
解法一：因函数为奇函数，且在定义域内为增函数，
则当时，为增函数
当时，
因为，只需要，则；
解法二：因为函数为奇函数，且在定义域内为增函数，
则当时，为增函数
设对于任意，且，
则有

因为，则，又因为，则，
欲使当时，为增函数，则，所以，
当时，；；，
所以，为R上增函数时，
19、（1）；（2）
【解析】分析：（1）直接利用三角函数的坐标定义求的值.(2)先求的值，再求的值.
详解：（1）由题得
（2）∵在第一象限，∴
∴
点睛：（1）本题主要考查三角函数坐标定义和同角的三角函数关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 点p(x,y)是角终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，则sin= cos= tan=.
20、（1）
（2）
【解析】（1）先求出集合B，再由题意可得从而可求出a的值，
（2）由题意可得Ü，从而有再结合可求出实数a的取值范围.
【小问1详解】
由题设知，
∵，∴
可得.
【小问2详解】
∵，∴，解得.
∵“”是“”的必要不充分条件，∴Ü.
∴
解得.
因此，实数a的取值范围为.
21、（1）函数为“局部中心函数”，理由见解析；（2）.
【解析】（1）判断是否为“局部中心函数”，即判断方程是否有解，若有解，则说明是“局部中心函数”，否则说明不是“局部中心函数”；
（2）条件是定义域为上的“局部中心函数”可转化为方程有解，再利用整体思路得出结果.
【详解】解：（1）由题意，（），
所以，
，
当时，

解得：，
由于，所以，
所以为“局部中心函数”.
（2）因为是定义域为上的“局部中心函数”，
所以方程有解，
即在上有解，
整理得：，
令，，
故题意转化为在上有解，
设函数，
当时，在上有解，
即，
解得：；
当时，
则需要满足才能使在上有解，
解得：，
综上：，即实数m的取值范围.