广东省佛山市顺德区青云中学2025-2026学年数学高一上期末联考试题含解析.doc

广东省佛山市顺德区青云中学2025-2026学年数学高一上期末联考试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列函数中定义域为，且在上单调递增的是
A. B.
C. D.
2． “”是的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3．函数的零点所在区间是　　
A. B.
C. D.
4． “”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．若直线与圆相交于两点，且，则
A2 B.
C.1 D.
6．在下列区间中函数的零点所在的区间为（）
A. B.
C. D.
7．已知是定义在区间上的奇函数，当时，.则关于的不等式的解集为
A. B.
C. D.
8．含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2012+b2013的值为（ ）
A.0
B.1
C.-1
D.±1
9．设集合M={a|x∈R，x2+ax+1＞0}，集合N={a|x∈R，（a-3）x+1=0}，若命题p：a∈M，命题q：a∈N，那么命题p是命题q的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
10．在下列图象中，函数的图象可能是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若（）与（）互为相反数，则的最小值为______.
12．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为__________

13．的定义域为_________;若，则_____
14．已知直线与圆相切，则的值为________
15．tan22°+tan23°+tan22°tan23°=_______
16．计算：（）0+_____
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．求解下列问题：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值.
18．已知函数
（1求的最小正周期；
（2）若，，求的值
19．已知的两顶点和垂心.
（1）求直线AB的方程；
（2）求顶点C的坐标；
（3）求BC边的中垂线所在直线的方程.
20．已知函数（）在同一半周期内的图象过点，，，其中为坐标原点，为函数图象的最高点，为函数的图象与轴正半轴的交点，为等腰直角三角形.
（1）求的值；
（2）将绕点按逆时针方向旋转角（），得到，若点和点都恰好落在曲线（）上，求的值.
21．某城市2021年12月8日的空气质量指数（Air Quality Inex，简称AQI）与时间（单位：小时）的关系满足下图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为103．当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数（且）图象的一部分，根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于100时，空气就属于污染状态

（1）求函数的解析式；
（2）该城市2021年12月8日这一天哪个时间段空气属于污染状态？并说明理由
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】先求解选项中各函数的定义域，再判定各函数的单调性，可得选项.
【详解】因为的定义域为，的定义域为，所以排除选项B,C.
因为在是减函数，所以排除选项A，故选D.
【点睛】本题主要考查函数的性质，求解函数定义域时，熟记常见的类型：分式，偶次根式，对数式等，单调性一般结合初等函数的单调性进行判定，侧重考查数学抽象的核心素养.
2、A
【解析】先看时，是否成立，即判断充分性；再看成立时，能否推出，即判断必要性，由此可得答案.
【详解】当时，，
即“”是的充分条件；
当时，，
则 或，
则 或,即成立，推不出一定成立，
故“”不是的必要条件，
故选：A.
3、C
【解析】根据函数零点存在性定理进行判断即可
【详解】∵，，
∴，
∴函数在区间(2,3)上存在零点
故选C
【点睛】求解函数零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件
4、A
【解析】利用或，结合充分条件与必要条件的定义可得结果.
详解】根据题意，由于或，
因此可以推出，反之，不成立，
因此“”是“”的充分而不必要条件，故选A.
【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
5、C
【解析】圆心到直线的距离为，所以，选C.
6、A
【解析】根据解析式判断函数单调性，再结合零点存在定理，即可判断零点所处区间.
【详解】因为是单调增函数，故是单调增函数，至多一个零点，
又，故的零点所在的区间为.
故选：A.
7、A
【解析】分析：根据函数奇偶性的性质将不等式进行转化为一般的不等式求解即可
详解：∵，函数f(x)为奇函数，
∴，
又f(x)是定义在[−1,1]上的减函数，
∴ ，即，解得
∴不等式的解集为
故选A
点睛：解题的关键是根据函数的奇偶性将不等式化为或的形式，然后再根据单调性将函数不等式化为一般的不等式求解，解题时不要忘了函数定义域的限制
8、B
【解析】根据题意，由{a，，1}={a2，a+b，0}可得a=0或=0，
又由的意义则a≠0，必有=0，
则b=0，
则{a，0，1}={a2，a，0}，则有a2=1，即a=1或a=-1，
集合{a，0，1}中，a≠1，则必有a=-1，
则a2012+b2013=（-1）2012+02013=1，
故选B
点睛：集合的三要素是：确定性、互异性和无序性，集合的表示常用的有三种形式：列举法，描述法，Venn图法.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.
9、A
【解析】由题意，对于集合M，△=a2-4＜0，解得-2＜a＜2；
对于集合N，a≠3
若-2＜a＜2，则a≠3；反之，不成立.
命题p是命题q的充分不必要条件.
故选A
10、C
【解析】根据函数的概念，可作直线从左向右在定义域内移动，得到直线与曲线的交点个数，即可判定.
【详解】由函数的概念可知，任意一个自变量的值对应的因变量的值是唯一的，
可作直线从左向右在定义域内移动，得到直线与曲线的交点个数是0或1，
显然A、B、D均不满足函数的概念，只有选项C满足.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了函数概念，以及函数的图象及函数的表示，其中解答中正确理解函数的基本概念是解答的关键，着重考查了数形结合思想的应用.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2
【解析】有题设得到，利用基本不等式求得最小值.
【详解】由题知，，则，，
则，当且仅当时等号成立，
故答案为：2
12、
【解析】由图可知，该三棱锥的体积为
13、 ①.； ②.3.
【解析】空一：根据正切型函数的定义域进行求解即可；
空二：根据两角和的正切公式进行求解即可.
【详解】空一：由函数解析式可知：，
所以该函数的定义域为：；
空二：因为，
所以.
故答案为：；
14、2
【解析】直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，列出方程即可求解的值
【详解】依题意得，直线与圆相切
所以，即，
解得：，又，
故答案为：2
15、1
【解析】解：因为tan22°+tan23°tan22°tan23°=tan(22°+23°)(1- tan22°tan23°)+ tan22°tan23°=tan45°=1
16、
【解析】根据根式、指数和对数运算化简所求表达式.
【详解】依题意，原式.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查根式、指数和对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2）
【解析】（1）由同角三角函数的基本关系求解即可；
（2）由商数关系化简求解即可.
【小问1详解】
，，
【小问2详解】

18、（1）

（2）
【解析】(1)根据二倍角的正、余弦公式和辅助角公式化简计算可得，
结合公式计算即可；
(2)根据同角三角函数的基本关系和角的范围求出，根据
和两角和的正弦公式直接计算即可.
【小问1详解】

最小正周期
【小问2详解】
，因为，，
若，则，不合题意，
又，所以，
因为，所以，
所以
19、 (1) ; (2) ；(3) .
【解析】(1)由两点间的斜率公式求出，再代入其中一点，由点斜式求出直线的方程（也可直接代两点式求解）；
(2)由题可知，，借助斜率公式，进而可分别求出直线与直线的方程，再联立方程，即可求得点的坐标；
(3)由中垂线性质知，边的中垂线的斜率等于，再由(2) 可求得边的中点坐标，进而可求解.
【详解】(1)由题意，直线的方程为：
即：.
(2)由题作示意图如下：

，
直线的方程为：，即： —— ①
又，直线与轴垂直，直线的方程为： —— ②
联立①②，解得，
故顶点的坐标为
(3)由题意及 (2) 可知，边的中垂线的斜率等于，
边的中点为，
故边的中垂线的方程为：
【点睛】本题考查直线方程与交点坐标的求法，以及垂心的性质，考查能力辨析能力及运算求解能力，属于中档题.
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据为等腰直角三角形可求解
（2）根据三角函数定义分别得到、的坐标，再代入中可求解

【小问1详解】
由题意可知周期，
所以，，
为等腰直角三角形，所以.
【小问2详解】
由（1）可得，所以，
，所以，
点，都落在曲线（）上，所以
可得，，，
可得，，
由，得，（），所以.
21、（1）
（2）当天在这个时间段，该城市的空气处于污染状态，理由见解析
【解析】（1）先用待定系数法求得时的解析式，再算得当时的函数值，再由待定系数法可得时的解析式；
（2）根据，分段解不等式即可.
【小问1详解】
当时，
，将代入得，
∵时，，
∴由的图象是一条连续曲线可知，点在的图象上，当时，
设，将代入得，
∴
【小问2详解】
由题意可知，空气属于污染状态时，
∴或，
∴或，∴，
∴当天在这个时间段，该城市的空气处于污染状态