江苏省南京市玄武区2025年数学高一第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

江苏省南京市玄武区2025年数学高一第一学期期末联考模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设集合，则
A. B.
C. D.
2．由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（ ）
A.1 B.
C. D.3
3．命题“，”否定是（）
A.， B.，
C.， D.，
4．设，，则a，b，c的大小关系是（）
A. B.
C. D.
5．若角与终边相同，则一定有（ ）
A. B.
C.， D.，
6．米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（）
A. B.
C. D.
7．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是
A.若则 B.若则
C.若，，则 D.若，，则
8．设，，，则，，的大小关系为（）
A. B.
C. D.
9．设，则的大小关系是（）
A. B.
C. D.
10．若是钝角，则是（）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知角的终边过点，则___________.
12．函数是奇函数，则实数__________.
13．圆柱的高为1，它的两个底面在直径为2的同一球面上，则该圆柱的体积为____________；
14．若x，y∈(0,＋∞)，且x＋4y＝1，则的最小值为________.

15．若直线与垂直，则________
16．在正三角形中，是上的点，，则________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数的图像过点，且图象上与点最近的一个最低点是.
（1）求的解析式；
（2）求函数在区间上的取值范围.
18．已知函数.
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）用函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
（3）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．已知函数
求函数的最小正周期与对称中心；
求函数的单调递增区间
20．已知函数．求函数的值域
21．如图，已知四棱柱的底面是菱形，侧棱底面，是的中点，，.

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】集合，根据元素和集合的关系知道
故答案为C
2、B
【解析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值
【详解】切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得，
圆心到直线的距离为，
圆的半径为1，
故切线长的最小值为，
故选：B
【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题
3、B
【解析】根据命题的否定的定义判断.
【详解】命题“，”的否定是：，
故选：B
4、C
【解析】根据指数函数与对数函数的性质，求得的取值范围，即可求解.
【详解】由对数的性质，可得，
又由指数函数的性质，可得，即，且，
所以.
故选：C.
5、C
【解析】根据终边相同角的表示方法判断
【详解】角与终边相同，则，，只有C选项满足，
故选：C
6、C
【解析】根据对立事件和独立事件求概率的方法即可求得答案.
【详解】由题意，三次交接棒不失误的概率分别为：，则该组合不失误的概率为：.
故选：C.
7、B
【解析】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.
考点：空间点线面位置关系
8、D
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性，再结合0,1两个中间量即可求得答案.
【详解】因为，，，所以.
故选：D.
9、B
【解析】利用“”分段法确定正确选项.
【详解】，，
所以.
故选：B
10、D
【解析】由求出，结合不等式性质即可求解.
【详解】，，,在第四象限.
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据角终边所过的点,求得三角函数,即可求解.
【详解】因为角的终边过点
则

所以
故答案为:
【点睛】本题考查了已知终边所过的点,求三角函数的方法,属于基础题.
12、
【解析】根据给定条件利用奇函数的定义计算作答.
【详解】因函数是奇函数，其定义域为R，
则对，，即，整理得：，
而不恒为0，于得，
所以实数.
故答案为：
13、
【解析】由题设，易知圆柱体轴截面的对角线长为2，进而求底面直径，再由圆柱体体积公式求体积即可.
【详解】由题意知：圆柱体轴截面的对角线长为2，而其高为1，
∴圆柱底面直径为.
∴该圆柱的体积为.
故答案为：
14、9
【解析】由x＋4y＝1，结合目标式，将x＋4y替换目标式中的“1”即可得到基本不等式的形式，进而求得它的最小值，注意等号成立的条件
【详解】∵x，y∈(0,＋∞)且x＋4y＝1
∴当且仅当有时取等号
∴的最小值为9
故答案为：9
【点睛】本题考查了基本不等式中“1”的代换，注意基本不等式使用条件“一正二定三相等”，属于简单题
15、
【解析】根据两直线垂直的等价条件列方程，解方程即可求解.
【详解】因为直线与垂直，
所以，解得：，
故答案为：.
16、
【解析】根据正三角形的性质以及向量的数量积的定义式，结合向量的特点，可以确定，故答案为
考点：平面向量基本定理，向量的数量积，正三角形的性质

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】(1)根据，两点可求出和周期，再由周期公式即可求出，再由即可求出；
(2)根据求出函数的值域，再利用换元法令即可求出函数的取值范围.
【详解】（1）根据题意可知，，，所以，解得，
所以，又，所以，
又，所以，所以
（2）因为，所以，所以，
所以，令，即，则
，
当时，取得最小值，当时，取得最大值7，
故的取值范围是.
【点睛】方法点睛：由图象确定系数，通常采用两种方法：
①如果图象明确指出了周期的大小和初始值 (第一个零点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以直接解出和，或由方程(组)求出；
②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图象确定和.
18、（1）为奇函数，证明见解析
（2）证明见解析（3）
【解析】（1）求出函数的定义域，然后验证、之间的关系，即可证得函数为奇函数；
（2）任取、，且，作差，因式分解后判断差值的符号，即可证得结论成立；
（3）由参变量分离法可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
证明：函数为奇函数，理由如下：
函数的定义域为，，
所以为奇函数.
【小问2详解】
证明：任取、，且，则，，

，
所以，，所以在区间上单调递增.
【小问3详解】
解：不等式在上恒成立
等价于在上恒成立，
令，因为，所以，
则有在恒成立，
令，，则，
所以，所以实数的取值范围为.
19、（1）最小正周期，对称中心为；（2）
【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和对称中心；直接利用整体思想求出函数的单调递增区间
【详解】函数，
，
，
所以函数的最小正周期为，
令：，解得：，
所以函数的对称中心为
由于，
令：，
解得：，
所以函数的单调递增区间为
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题
20、
【解析】将化为，分和分别应用均值不等式可得答案.
【详解】解：，
当时，，
当且仅当，即时取等号；
当时，
当且仅当，即时取等号
综上所述，的值域为
21、（1）详见解析；（2）.
【解析】（1）连接交于点，连接，，可证明四边形是平行四边形，从而，再由线面平行的判定即可求解；（2）作出平面的垂线，即可作出线面角，求出相关线段的长度即可求解.
试题解析：（1）连接交于点，连接，，∵为菱形，∴点在上，
且，又∵，故四边形是平行四边形，则，
∴平面；（2）由于为菱形，∴，
又∵是直四棱柱，∴，平面，
∴平面平面，过点作平面和平面交线的垂线，垂足为，得平面，连接，则是直线平面所成的角，
设，∵是菱形且，则，，
在中，由，，得，
在中，由，，得，
∴.

考点：1.线面平行的判定；2.线面角的求解.