2026届湖南长沙县三中数学高一上期末统考模拟试题含解析.doc

2026届湖南长沙县三中数学高一上期末统考模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列四个函数中，与函数相等的是
A. B.
C. D.
2．函数与则函数所有零点的和为
A.0 B.2
C.4 D.8
3．在长方体中，，，则该长方体的外接球的表面积为

A. B.
C. D.
4．已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件：
①存在一条直线，使得，；
②存在两条平行直线，，使得，，，；
③存在两条异面直线，，使得，，，；
④存在一个平面，使得，
其中可以推出的条件个数是
A.1 B.2
C.3 D.4
5．已知等腰直角三角形的直角边的长为4，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）
A. B.
C. D.
6．函数的一个零点所在的区间是(　 )
A. B.
C. D.
7．函数的最大值是（）
A. B.1
C. D.2
8．三条直线l1：ax+by-1=0，l2：2x+a+2）y+1=0，l3：bx-2y+1=0，若l1，l2都和l3垂直，则a+b等于（　　）
A. B.6
C.或6 D.0或4
9．已知 为正实数，且，则的最小值为（ ）
A.4 B.7
C.9 D.11
10．已知函数若曲线与直线的交点中，相邻交点的距离的最小值为，则的最小正周期为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，则___________；
12．已知直线与直线的倾斜角分别为和，则直线与的交点坐标为__________
13．已知角的终边经过点，则__
14．《三十六计》是中国古代兵法策略，是中国文化的瑰宝.“分离参数法”就是《三十六计》中的“调虎离山”之计在数学上的应用，例如，已知含参数的方程有解的问题，我们可分离出参数（调），将方程化为，根据的值域，求出的范围，继而求出的取值范围，已知，若关于x的方程有解，则实数的取值范围为___________.
15．已知一个圆锥的母线长为1，其高与母线的夹角为45°，则该圆锥的体积为____________.
16．已知向量，若，则m=____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，函数.
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；
（Ⅲ）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围.
18．已知函数（A，是常数，，，）在时取得最大值3
（1）求的最小正周期；
（2）求的解析式；
（3）若，求
19．如图，已知圆M过点P(10，4)，且与直线4x＋3y－20＝0相切于点A(2，4)
（1）求圆M的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且,求直线l的方程；

20．已知函数
（1）证明：函数在区间上单调递增；
（2）已知，试比较三个数a，b，c的大小，并说明理由
21．已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数m的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】分别化简每个选项的解析式并求出定义域，再判断是否与相等.
【详解】A选项：解析式为，定义域为R，解析式不相同；
B选项：解析式为，定义域为，定义域不相同；
C选项：解析式为，定义域为，定义域不相同；
D选项：解析式为，定义域为R，符合条件，答案为D.
【点睛】函数相等主要看：（1）解析式相同；（2）定义域相同.属于基础题.
2、C
【解析】分析：分别作与图像，根据图像以及对称轴确定零点以及零点的和.
详解：分别作与图像，如图，

则所有零点的和为,
选C.
点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等
3、B
【解析】由题求出长方体的体对角线，则外接球的半径为体对角线的一半，进而求得答案
【详解】由题意可得，长方体体对角线为，则该长方体的外接球的半径为，因此，该长方体的外接球的表面积为.
【点睛】本题考查外接球的表面积，属于一般题
4、B
【解析】当，不平行时，不存在直线与，都垂直，，，故正确；
存在两条平行直线，，，，，，则，相交或平行，所以不正确；
存在两条异面直线，，，，，，由面面平行的判定定理得，故正确；
存在一个平面，使得，，则，相交或平行，所以不正确；
故选
5、D
【解析】如图
为等腰直角三角形旋转而成的旋转体
这是两个底面半径为，母线长4的圆锥，
故S=2πrl=2π××4=
故答案为D.
6、B
【解析】先求出根据零点存在性定理得解.
【详解】由题得，
，
所以
所以函数一个零点所在的区间是.
故选B
【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
7、C
【解析】利用正余弦的差角公式展开化简即可求最值.
【详解】
，
∵，∴函数的最大值是.
故选：C.
8、C
【解析】根据相互垂直的两直线斜率之间的关系对b分类讨论即可得出
【详解】l1，l2都和l3垂直，①若b＝0，则a+2＝0，解得a＝﹣2，∴a+b＝﹣2
②若b≠0，则1，1，
联立解得a＝2，b＝4，∴a+b＝6
综上可得：a+b的值为﹣2或6
故选C
【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
9、C
【解析】由，展开后利用基本不等式求最值
【详解】 且 ，
∴，
当且仅当，即时，等号成立
∴的最小值为9
故选：C
10、D
【解析】将函数化简，根据曲线y＝f（x）与直线y＝1的交点中，相邻交点的距离的最小值为，即ωx2kπ或ωx2kπ，k∈Z，建立关系，可得ω的值，即得f（x）的最小正周期
【详解】解：函数f（x）＝cosωx+sinωx，ω＞0，x∈R
化简可得：f（x）sin（ωx）
∵曲线y＝f（x）与直线y＝1的相交，即ωx2kπ或ωx2kπ，k∈Z，
∴（）+2kπ＝ω（x2﹣x1），
令k＝0，
∴x2﹣x1，
解得：ω
∴y＝f（x）的最小正周期T，
故选D
【点睛】本题考查了和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数的方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】根据函数解析式，从里到外计算即可得解.
【详解】，所以.
故答案为：1
12、
【解析】因为直线与直线的倾斜角分别为和，所以 ，联立 与可得，, 直线与的交点坐标为,故答案为.
13、
【解析】根据终边上的点可得，再应用差角正弦公式求目标式的值.
【详解】由题设，，
所以.
故答案为：.
14、
【解析】参变分离可得，令，构造函数，利用导数求解函数单调性，分析可得的值域为，即得解
【详解】由题意，，
故
又，，
令
故，令
，故在单调递增
由于时
故的值域为
故，即实数的取值范围为
故答案为：
15、##
【解析】由题可得，然后利用圆锥的体积公式即得.
【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h,由圆锥的母线长为1，其高与母线的夹角为45°，

∴，
∴该圆锥的体积为.
故答案为：.
16、-1
【解析】求出的坐标，由向量共线时坐标的关系可列出关于的方程，从而可求出的值.
【详解】解：∵，∴，∵，，
∴，解得.
故答案为: -1

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）当时，利用对数函数的单调性，直接解不等式即可；
（Ⅱ）化简关于的方程，通过分离变量推出的表达式，通过解集中恰有一个元素，利用二次函数的性质，即可求的取值范围；
（Ⅲ）在上单调递减利用复合函数的单调性求解函数的最值，令，化简不等式，转化求解不等式的最大值，然后 推出的范围.
【详解】（Ⅰ）当时，，
∴，整理得，解得．所以原不等式的解集为.
（Ⅱ）方程，即为，
∴，∴，
令，则，
由题意得方程在上只有一解, 令,,
转化为函数与的图象在上只有一个交点.
则分别作出函数与的图象，如图所示

结合图象可得，当或时，直线y=a和的图象只有一个公共点，即方程只有一个解
所以实数范围为.
（Ⅲ）因为函数在上单调递减，
所以函数定义域内单调递减，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以
由题意得
所以恒成立，
令，
所以恒成立，
因为在上单调递增，
所以∴，解得，
又，∴
所以实数的取值范围是.
【点睛】解答此类题时注意以下几点：
（1）对于复合函数的单调性，可根据“同增异减”的方法进行判断；
（2）已知方程根的个数（函数零点的个数）求参数范围时，可通过解方程的方法求解，对于无法解方程的，可通过分离、构造函数的方法转化为函数图象公共点个数的问题处理
（3）解不等式的恒成立问题时，通常采取分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值的问题
18、（1）；（2）；（3）
【解析】（1）根据最小正周期公式可直接求出；
（2）根据函数图象与性质求出解析式；
（3）根据诱导公式以及二倍角公式进行化简即可求值.
【详解】解：（1）最小正周期
（2）依题意，

因为且，因为
所以，，

（3）由得，
即，
所以，

【点睛】求三角函数的解析式时，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
19、（1）（2）2x－y +5＝0或2x－y －15＝0.
【解析】（1）由题意得到圆心M(6，7)，半径，进而得到圆的方程；（2）直线l∥OA，所以直线l的斜率为，根据点线距和垂径定理得到 解得m=5或m=-15，进而得到方程.
解析：(1)过点A(2，4)且与直线4x＋3y－20＝0垂直的直线方程为3x－4y＋10＝0 ①
AP的垂直平分线方程为x＝6 ②
由①②联立得圆心M(6，7)，半径
圆M的方程为
(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y＝2x + m，即2x－y + m＝0
则圆心M到直线l的距离
因为
而所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x－y +5＝0或2x－y －15＝0.
20、（1）证明见解析
2）
【解析】（1）根据函数单调性的定义即可证明；
（2）先比较三个数的大小，再利用函数的单调性即可比较a，b，c的大小.
【小问1详解】
证明：函数，
任取，且，
则，
因为，且，
所以，，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增；
【小问2详解】
解：由（1）可知函数在区间上单调递增，
因为，，，
所以，
所以，即.
21、（1）
（2）
【解析】（1）时，求出集合，由此能求出；
（2）由可得，当时，，当时，，由此能求出实数的取值范围
【小问1详解】
解：时，集合，，

【小问2详解】
解：，，
当时，，解得，
当时，，解得，
实数的取值范围是