2025-2026学年江苏省兴化中学数学高一上期末综合测试试题含解析.doc

2025-2026学年江苏省兴化中学数学高一上期末综合测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．地震以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量，则里氏震级可定义为.在2021年3月下旬，地区发生里氏级地震，地区发生里氏7.3级地震，则地区地震所散发出来的相对能量是地区地震所散发出来的相对能量的（）倍.
A.7 B.
C. D.
2．已知在正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上的一动点，BP＋PE的最小值为，则该四面体内切球的体积为（）
A.π B.π
C.4π Dπ
3．已知，，则的值为
A. B.
C. D.
4．设函数，则的值是
A.0 B.
C.1 D.2
5．若是第二象限角，是其终边上的一点，且，则（）
A. B.
C. D.或
6．计算：（）
A.0 B.1
C.2 D.3
7．在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是3的概率为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知函数在上的值域为R，则a的取值范围是　　
A. B.
C. D.
9．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若.则（）
A. B.
C.2 D.
10．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与轴非负半轴重合，角的终边经过点，则（ ）
A B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，是夹角为的两个单位向量，则，的夹角为________.
12．若，则_________.
13．写出一个周期为且值域为的函数解析式：_________
14．已知幂函数是奇函数，则___________.
15．已知tanα=3，则sinα（cosα-sinα）=______
16．定义在上的函数满足则________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量=（cosx，-sinx），=（1，），=（1，1），x∈[0，π]
（1）若与共线，求x的值；
（2）若⊥，求x的值；
（3）记f（x）=•，当f（x）取得最小值时，求x的值
18．（1）化简：
（2）求值：
19．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.(注：利润和投资单位：万元)

(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
20．已知函数（且）在定义域上单调递增，且在上的最小值为
（1）求的值；
（2）求满足的取值范围
21．已知函数，且最小正周期为.
（1）求的单调增区间；
（2）若关于的方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】把两个震级代入后，两式作差即可解决此题
【详解】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为，里氏7.3级地震所散发出来的能量为，则①，②
②①得：，解得：
故选：
2、D
【解析】首先设正四面体的棱长为，将侧面和沿边展开成平面图形，根据题意得到的最小值为，从而得到，根据等体积转化得到内切球半径，再计算其体积即可.
【详解】设正四面体的棱长为，将侧面和沿边展开成平面图形，如图所示：

则的最小值为，
解得.
如图所示：为正四面体的高，

，正四面体高.
所以正四面体的体积.
设正四面体内切球的球心为，半径为，如图所示：

则到正四面体四个面的距离相等，都等于，
所以正四面体的体积，解得.
所以内切球的体积.
故选：D
3、A
【解析】根据角的范围可知，；利用同角三角函数的平方关系和商数关系构造方程可求得结果.
【详解】由可知：，
由得：

本题正确选项：
【点睛】本题考查同角三角函数值的求解，关键是能够熟练掌握同角三角函数的平方关系和商数关系，易错点是忽略角的范围造成函数值符号错误.
4、C
【解析】，所以，故选C
考点：分段函数
5、C
【解析】根据余弦函数的定义有，结合是第二象限角求解即可.
【详解】由题设，，整理得，又是第二象限角，
所以.
故选：C
6、B
【解析】根据指数对数恒等式及对数的运算法则计算可得；
【详解】解：

；
故选：B
7、A
【解析】设函数，求出时的取值范围，再根据讨论的取值范围，判断是否能取得最大值,从而求出对应的概率值
【详解】在区间上任取一个数，基本事件空间对应区间的长度是，
由，得 ，
∴ ，
∴的最大值是或，即最大值是或；
令，得，解得；
又，∴；
∴当时，，
∴在上的最大值是，满足题意；
当时，，
∴函数在上的最大值是，
由，得，的最大值不是；
8、A
【解析】利用分段函数，通过一次函数以及指数函数判断求解即可
【详解】解：函数在上的值域为R，
当函数的值域不可能是R，
可得，
解得：
故选A
【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，属于基础题.
9、A
【解析】由已知、同角三角函数关系、辅助角公式及诱导公式可得解.
【详解】由得，
∴.
故选：A.
10、A
【解析】根据任意角的三角函数定义即可求解.
【详解】解：由题意知：角的终边经过点，
故.
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由题得，，再利用向量的夹角公式求解即得解.
【详解】由题得，
所以.
所以，的夹角为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的模和数量积的计算，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12、##
【解析】依题意利用诱导公式及二倍角公式计算可得；
【详解】解：因为，所以
.
故答案为：.
13、
【解析】根据函数的周期性和值域，在三角函数中确定一个解析式即可
【详解】解：函数的周期为，值域为,，
则的值域为,，
故答案为：
14、1
【解析】根据幂函数定义可构造方程求得，将的值代入解析式验证函数奇偶性可确定结果.
【详解】由题意得，∴或1，
当时，是偶函数；
当时，是奇函数.
故答案为：1.
15、
【解析】利用同角三角函数基本关系式化简所求，得到正切函数的表达式，根据已知即可计算得解
【详解】解：∵tanα＝3，
∴sinα（cosα﹣sinα）
故答案为
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基本知识的考查
16、
【解析】表示周期为3的函数，故，故可以得出结果
【详解】解：

表示周期为3的函数，

【点睛】本题考查了函数的周期性，解题的关键是要能根据函数周期性的定义得出函数的周期，从而进行解题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）利用两向量平行有可得到一个关于的方程，利用三角函数恒等变化化简进而求得x的值.（2）利用两向量垂直有可得到一个关于的方程，利用三角函数恒等变化化简进而求得x的值.（3）根据化出一个关于的方程，再利用恒等变化公式将函数转化成，从而找到最小值所取得的x的值.
【详解】解：（1）∵向量=（cosx，-sinx），=（1，），=（1，1）x∈[0，π]
与共线，∴，∴tanx=-，
∵x∈[0，π]，∴x=
（2）∵⊥，∴cosx-sinx=0，
∴tanx=1，∵x∈[0，π]，∴x=
（3）f（x）=•=cosx-，
∵x∈[0，π]，∴x-∈[-，]，
∴x-=时，f（x）取得最小值-2，
∴当f（x）取得最小值时，x=
【点睛】向量间的位置关系：两向量垂直，则，两向量平行，则.
18、（1）；（2）.
【解析】（1）根据诱导公式化简求值即可得答案；
（2）根据指数运算法则运算求解即可.
【详解】解：（1）
（2）

19、（1）；（2）当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.
【解析】⑴设出函数解析式，根据图象，即可求得答案；
⑵确定总利润函数，换元，利用配方法可求最值；
解析：(1)根据题意可设，
则f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2 (x≥0).
(2)设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元
则y＝ (18－x)＋2，0≤x≤18
令＝t，t∈[0,3]，
则y＝ (－t2＋8t＋18)＝－ (t－4)2＋.
所以当t＝4时，ymax＝＝8.5，
此时x＝16,18－x＝2.
所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约8.5万元
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）由函数的单调性和最值可求得实数的值；
（2）由已知条件可得，利用对数函数的单调性可得出的取值范围.
【小问1详解】
解：因为在定义域上单调递增，所以，
因为在上的最小值为，
所以，所以
小问2详解】
解；由，可得，解得.
所以的取值范围是
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据已知条件求得，再用整体法求函数单调增区间即可；
（2）根据（1）中所求函数单调性，结合函数的值域，即可求得参数的值.
【小问1详解】
因为函数最小正周期为，故可得，解得，
则，
令，解得.
故的单调增区间是：.
【小问2详解】
因为，由（1）可知，在单调递增，在单调递减，
又，，，
故方程在上有且只有一个解，只需.
故实数的取值范围为.