宁夏银川市宁夏大学附中2026届数学高一第一学期期末达标检测试题含解析.doc

宁夏银川市宁夏大学附中2026届数学高一第一学期期末达标检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在下列函数中，同时满足：①在上单调递增；②最小正周期为的是（）
A. B.
C. D.
2．若扇形圆心角的弧度数为，且扇形弧所对的弦长也是，则这个扇形的面积为
A. B.
C. D.
3．函数的部分图象如图所示，将其向右平移个单位长度后得到的函数解析式为（ ）

A. B.
C. D.
4．在正方体中，异面直线与所成的角为（）
A.30° B.45°
C.60° D.90°

5．在半径为cm的圆上，一扇形所对的圆心角为，则此扇形的面积为（）
A. B.
C. D.
6．定义在实数集上的奇函数恒满足，且时，，则（）
A. B.
C.1 D.
7．已知角的终边过点，则等于（ ）
A.2 B.
C. D.
8．设，，，则a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
9．直线（为实常数）的倾斜角的大小是
A B.
C. D.
10．的零点所在的一个区间为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，若有解，则m的取值范围是______
12．若方程组有解，则实数的取值范围是__________
13．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，__________
14．总体由编号为，，，，的个个体组成.利用下面的随机数表选取样本，选取方法是从随机数表第行的第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为__________

15．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为______
16．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．下面给出了根据我国2012年~2018年水果人均占有量（单位：）和年份代码绘制的散点图（2012年~2018年的年份代码分别为1~7）.

（1）根据散点图分析与之间的相关关系；
（2）根据散点图相应数据计算得，，求关于的线性回归方程.
参考公式：.
18．已知直线：的倾斜角为
（1）求a；
（2）若直线与直线平行，且在y轴上的截距为－2，求直线与直线的交点坐标
19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且侧面平面，点是的中点

（1）求证:
（2）若，求证:平面平面
20．已知函数.
（1）根据定义证明：函数在上是增函数；
（2）根据定义证明：函数是奇函数.
21．已知函数的图象在定义域上连续不断.若存在常数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质.
（1）若满足性质，且，求的值；
（2）若，试说明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和.（参考数据：）
（3）若函数满足性质，求证：函数存在零点.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据题意，结合余弦、正切函数图像性质，一一判断即可.
【详解】对于选项AD，结合正切函数图象可知，和的最小正周期都为，故AD错误；
对于选项B，结合余弦函数图象可知，在上单调递减，故B错误；
对于选项C，结合正切函数图象可知，在上单调递增，且最小正周期，故C正确.
故选：C.
2、A
【解析】分析：求出扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求解即可.
详解：由题意得扇形的半径为：
又由扇形面积公式得该扇形的面积为：.
故选：A.
点睛：本题是基础题，考查扇形的半径的求法、面积的求法，考查计算能力，注意扇形面积公式的应用.
3、C
【解析】由函数图象求出、、和的值，写出的解析式，再根据图象平移得出函数解析式
【详解】由函数图象知，，，
解得，所以，
所以函数；
因为，
所以，；
解得，；
又，所以；
所以；
将函数的图象向右平移个单位长度后，得的图象，
即
故选：
4、C
【解析】首先由可得是异面直线和所成角，再由为正三角形即可求解.
【详解】连接

因为为正方体，所以，
则是异面直线和所成角．又,
可得为等边三角形，则，所以异面直线与所成角为，
故选：C
【点睛】本题考查异面直线所成的角，利用平行构造三角形或平行四边形是关键，考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题.
5、B
【解析】由题意，代入扇形的面积公式计算即可.
【详解】因为扇形的半径为，圆心角为，所以由扇形的面积公式得.
故选：B
6、B
【解析】根据函数奇偶性和等量关系，求出函数是周期为4的周期函数，利用函数的周期性进行转化求解即可
【详解】解：奇函数恒满足，
，即，则，即，即是周期为4的周期函数，
所以，
故选：B
7、B
【解析】由正切函数的定义计算
【详解】由题意
故选：B
8、A
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性得出的范围，然后即可得出的大小关系.
【详解】由题意知，
，即，
，即，
，又，
即，∴
故选：A
9、D
【解析】计算出直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围可求得该直线的倾斜角.
【详解】设直线倾斜角为，直线的斜率为，所以，
，则.
故选：D.
【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，一般要求出直线的斜率，考查计算能力，属于基础题.
10、A
【解析】根据零点存在性定理分析判断即可
【详解】因为在上单调递增，所以函数至多有一个零点，
因为，
，
所以，
所以的零点所在的一个区间为，
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用函数的值域，转化方程的实数解，列出不等式求解即可．
【详解】函数，若有解，
就是关于的方程在上有解；
可得：或，
解得：或
可得．
故答案为．
【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想有解计算能力．
12、
【解析】，化为，要使方程组有解，则两圆相交或相切，，即或，，故答案为.
13、
【解析】∵函数f（x）为奇函数∴f（-x）=-f（x）∵当x＞0时，f（x）=log2x∴当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-log2（-x）.
故答案为.
点睛：本题根据函数为奇函数可推断出f（-x）=-f（x）进而根据x＞0时函数的解析式即可求得x＜0时，函数的解析式
14、
【解析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论.
【详解】按照随机数表的读法所得样本编号依次为23,21,15，可知第3个个体的编号为15.
故答案为：15.
15、
【解析】先根据是的零点，是图像的对称轴可转化为周期的关系，从而求得的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对赋值验证找到适合的最大值即可
【详解】由题意可得，
即，解得，
又因为在上单调，
所以，即，
因为要求的最大值，令，因为是的对称轴，
所以，
又，解得，
所以此时，
在上单调递减，即在上单调递减，在上单调递增，故在不单调，
同理，令，，
在 上单调递减，因为，
所以在单调递减，满足题意，所以的最大值为5.
【点睛】本题综合考查三角函数图像性质的运用，在这里需注意：
两对称轴之间的距离为半个周期；
相邻对称轴心之间的距离为半个周期；
相邻对称轴和对称中心之间的距离为个周期
16、
【解析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到，代入不等式得到，根据函数的单调性解得答案.
【详解】幂函数在上单调递减，故，解得.

，故，，.
当时 ，不关于轴对称，舍去；
当时 ，关于轴对称，满足；
当时 ，不关于轴对称，舍去；
故，，函数在和上单调递减，
故或或，解得或.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）与之间是正线性相关关系（2）
【解析】（1）根据散点图当由小变大时，也由小变大可判断为正线性相关关系.
（2）由图中数据求出，代入样本中心点求出，即可求出关于的线性回归方程.
【详解】（1）由散点图可以看出，点大致分布在某一直线的附近，
且当由小变大时，也由小变大，从而与之间是正线性相关关系；
（2）由题中数据可得，
，
从而，
，
从而所求关于的线性回归方程为.
【点睛】本题考查了线性回归方程的求法以及变量之间的关系，属于基础题.
18、（1）-1；（2）(4,2).
【解析】（1）根据倾斜角和斜率的关系可得，即可得a值.
（2）由直线平行有直线为，联立直线方程求交点坐标即可.
【小问1详解】
因为直线的斜率为，即，故
【小问2详解】
依题意，直线的方程为
将代入，得，故所求交点的(4,2)
19、（1）见解析；（2）见解析
【解析】分析：（1）可根据为等腰三角形得到，再根据平面平面可以得到平面，故.
（2）因及是中点，从而有，再根据平面得到，从而平面，故平面平面.

详解：（1）证明:因为，点是棱的中点，
所以，平面.
因为平面平面，平面平面，平面 ，
所以平面，又因为平面，所以.
（2）证明:因为，点是的中点，所以.
由（1）可得，又因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面
点睛：线线垂直的证明，可归结为线面垂直，也可以转化到平面中的某两条直线的垂直问题，而面面垂直的证明，可转化为线面垂直问题，也转化为证明二面角为直二面角.
20、⑴见解析;⑵见解析.
【解析】(1)利用单调性定义证明函数的单调性；（2）利用奇偶性定义证明函数奇偶性.
试题解析：
⑴设任意的，且，
则

，，即，
又，
，即，
在上是增函数
⑵，
,

，即
所以函数是奇函数.
点睛：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性
21、（1）
（2）答案见解析（3）证明见解析
【解析】（1）由满足性质可得恒成立，取可求，取可求，取可求，取求，由此可求的值；
（2）设满足，利用零点存在定理证明关于的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和；
（3）分别讨论，，时函数的零点的存在性，由此完成证明.

【小问1详解】
因为满足性质，
所以对于任意的x，恒成立.
又因为，
所以，，
，
由可得，
由可得，
所以，.
【小问2详解】
若正数满足，等价于，
记，
显然，，
因为，所以，，即.
因为的图像连续不断，
所以存在，使得，
因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和.
【小问3详解】
若，则1即为零点；
因为，若，则，矛盾，故，
若，则，，，
可得.
取即可使得，又因为的图像连续不断，
所以，当时，函数上存在零点，
当时，函数在上存在零点，
若，则由，可得，
由，可得，
由，可得.
取即可使得，又因为的图像连续不断，
所以，当时，函数在上存在零点，
当时，函数在上存在零点，
综上，函数存在零点.