甘肃省天水市2025年高一数学第一学期期末联考试题含解析.doc

甘肃省天水市2025年高一数学第一学期期末联考试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数概率是
A. B.
C. D.
2．根据下表数据，可以判定方程的根所在的区间是（ ）

1
2

3

4

0
0.69
1
1.10
1.39

3
1.5
1.10
1
0.75
A. B.
C. D.
3．若a，b是实数，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4．已知的定义域为，则函数的定义域为
A. B.
C. D.
5．已知命题：，，则为（）
A.， B.，
C.， D.，
6．函数的图像可能是（ ）．
A. B.
C. D.
7．函数的零点位于区间（）
A. B.
C. D.
8．已知函数的部分图象如图所示，点，是该图象与轴的交点，过点作直线交该图象于两点，点是的图象的最高点在轴上的射影，则的值是

A B.
C.1 D.2
9．甲：“x是第一象限的角”，乙：“是增函数”，则甲是乙的（）
A充分但不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
10．若，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的单调递增区间为______.
12．已知函数，那么的表达式是___________.
13．直线与直线的距离是__________
14．函数的定义域是__________.
15．中，若，则角的取值集合为_________.
16．命题“”的否定是________________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．我们知道：设函数的定义域为，那么“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“，”.有同学发现可以将其推广为：设函数的定义域为，那么“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“，”.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）判断函数的图象是否为中心对称图形，若是，求出其对称中心坐标；若不是，说明理由.
18．已知函数是偶函数.
（1）求k的值；
（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.
19．近年来，国家大力推动职业教育发展，职业教育体系不断完善，人才培养专业结构更加符合市场需求.一批职业培训学校以市场为主导，积极参与职业教育的改革和创新.某职业培训学校共开设了六个专业，根据前若干年的统计数据，学校统计了各专业每年的就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）和每年各专业的招生人数，具体统计数据如下表：
专业
机电维修
车内美容
衣物翻新
美容美发
泛艺术类
电脑技术
招生人数

就业率

（1）从该校已毕业的学生中随机抽取人，求该生是“衣物翻新”专业且直接就业的概率；
（2）为适应市场对人才需求的变化，该校决定从明年起，将“电脑技术”专业的招生人数减少人，将“机电维修”专业的招生人数增加人，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高个百分点，求的值
20．如图,在圆锥中,已知,圆的直径,是弧的中点,为的中点.

（1）求异面直线和所成的角的正切值；
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
21．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车在一段平坦的国道上进行测试，国道限速80km/h.经多次测试得到该汽车每小时耗电量M(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的数据如下表所示：
v
0
10
40
60
M
0
1325
4400
7200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③.
（1）当0≤v≤80时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）现有一辆同型号电动汽车从A地全程在高速公路上行驶50km到B地，若高速路上该汽车每小时耗电量N(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的关系满足(80≤v≤120)，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少?
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，共有
(12),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)
(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)共12种
其中满足条件两个数都是奇数的有(1,3),(3,1)两种情况
故从1,2,3,4这4个数中,不放回地任意取两个数,两个数都是奇数的概率.
故选A.
2、B
【解析】构造函数，通过表格判断，判断零点所在区间，即得结果.
【详解】设函数，易见函数在上递增，
由表可知，，
故，由零点存在定理可知，方程的根即函数的零点在区间上.
故选：B
3、B
【解析】由对数函数单调性即可得到二者之间的逻辑关系.
【详解】由可得；但是时，不能得到.
则是的必要不充分条件
故选：B
4、B
【解析】因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得，选B
考点：1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域
5、C
【解析】根据特称命题否定是全称命题即可得解.
【详解】把存在改为任意，把结论否定，为，.
故选：C
6、D
【解析】∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A，
当时，∴，所以排除B，
当时，∴，所以排除C，故选D.
考点：函数图象的平移.

7、C
【解析】先研究的单调性，利用零点存在定理即可得到答案.
【详解】定义域为.
因为和在上单增，所以在上单增.
当时，；；
而；，
由零点存在定理可得：函数的零点位于区间.
故选：C
8、B
【解析】分析：由图象得到函数的周期，进而求得．又由条件得点D,E关于点B对称，可得，然后根据数量积的定义求解可得结果
详解：由图象得，
∴，
∴
又由图象可得点B为函数图象的对称中心，
∴点D,E关于点B对称，
∴，
∴
故选B
点睛：本题巧妙地将三角函数的图象、性质和向量数量积的运算综合在一起，考查学生分析问题和解决问题的能力．解题的关键是读懂题意，通过图象求得参数；另外，根据函数图象的对称中心将向量进行化简，从而达到能求向量数量积的目的
9、D
【解析】由正弦函数的单调性结合充分必要条件的定义判定得解
【详解】由x是第一象限的角，不能得到是增函数；
反之，由是增函数，x也不一定是第一象限角
故甲是乙的既不充分又不必要条件
故选D
【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查正弦函数的单调性，是基础题
10、D
【解析】，故选D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】首先将函数拆分成内外层函数，根据复合函数单调性的判断方法求解.
【详解】函数分成内外层函数 ，
是减函数，
根据“同增异减”的判断方法可知求函数的单调递增区间
需求内层函数的减区间，
函数的对称轴是，
的减区间是，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：
【点睛】本题考查复合函数的单调性，意在考查基本的判断方法，属于基础题型，判断复合函数的单调性根据“同增异减”的方法判断，当内外层单调性一致时为增函数，当内外层函数单调性不一致时为减函数，有时还需注意定义域.
12、
【解析】先用换元法求出，进而求出的表达式.
【详解】，令，则，故，故，
故答案为：
13、
【解析】
14、{|且}
【解析】根据函数，由求解.
【详解】因为函数，
所以，
解得，
所以函数的定义域是{|且}，
故答案为：{|且}
15、
解析】△ABC中，由tanA=1，求得A的值
【详解】∵△ABC中，tanA=1>0，故
∴A=
故答案为
【点睛】本题主要考查三角函数的化简，及与三角形的综合，应注意三角形内角的范围
16、.
【解析】根据含有一个量词的命题的否定可得结果
【详解】由含有一个量词的命题的否定可得，命题“”的否定为“”
故答案为
【点睛】对于含有量词的命题的否定要注意两点：一是要改换量词，把特称（全称）量词改为全称（特称）量词；二是把命题进行否定．本题考查特称命题的否定，属于简单题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）函数为奇函数，证明见解析
（2）是中心对称图形，对称中心坐标为
【解析】（1）根据奇函数的定义，即可证明结果；
（2）根据题意，由函数的解析式可得，即可得结论
【小问1详解】
解：函数为奇函数
证明如下：函数的定义域为R，关于原点对称
又
所以函数为奇函数.
【小问2详解】
解：函数的图象是中心对称图形，其对称中心为点
解方程得，所以函数的定义域为
明显定义域仅关于点对称
所以若函数的图象是中心对称图形，则其对称中心横坐标必为
设其对称中心为点，则由题意可知有，
令，可得，所以
所以若函数为中心对称图形，其对称中心必定为点
下面论证函数的图象关于点成中心对称图形：

即只需证明，

，得证
18、（1）；（2）.
【解析】（1）根据偶函数得到，化简得到，解得答案.
（2）化简得方程，设得到有且仅有一个正根，考虑和两种情况，计算得到答案.
【详解】（1）由函数是偶函数可知：，∴，
，即对一切恒成立，∴.
（2）函数与的图象有且只有一个公共点，
即方程有且只有一个实根.
化简得：方程有且只有一个实根.
令，则方程有且只有一个正根，
当时，，不合题意；
当且，解得或.
若，，不合题意；若，满足；
当且时，即或且，故；
综上，实数a的取值范围是.
【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，函数公共交点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，换元是解题关键.
19、（1）0.08
（2）120
【解析】理解题意，根据数据列式求解
【小问1详解】
由题意，该校往年每年的招生人数为，
“衣物翻新”专业直接就业的学生人数为，
所以所求的概率为
【小问2详解】
由表格中的数据，可得往年各专业直接就业的人数分别为，，，，，，往年全校整体的就业率为，
招生人数调整后全校整体的就业率为，
解得
20、（1）2；（2）
【解析】（1）由三角形中位线定理可得∥，则可得是异面直线和所成的角，然后在中求解即可，
（2）直线与平面所成的角，应先作出直线在平面内的射影，则斜线与射影所成的角即为所求．过点O向平面PAC作垂线，则可证得即为直线与平面所成的角，进而求出其正弦值
【详解】（1）因为分别是和的中点
所以∥，
所以异面直线和所成的角为，
在中，,是弧的中点,为的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以，
因为
所以，
（2）因为，为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，
所以平面
因为平面，所以平面平面，
在平面中，过作于，
则平面，连结，则是在平面上的射影，
所以是直线和平面所成的角
在中，
在中，

21、（1）
；
（2）这辆车在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，
最少为.
【解析】（1）根据当时，无意义，以及是个减函数，可判断选择，然后利用待定系数法列方程求解即可；
（2）利用对勾函数的性质可判断在高速路上的行驶速度为时耗电最少，从而可得答案.
【小问1详解】
对于，当时，它无意义，所以不合题意；
对于，它显然是个减函数，这与矛盾；
故选择.
根据提供的数据，有
，解得，
当时，.
【小问2详解】
高速路段长为，所用时间为，
所耗电量为
，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以；
故当这辆车在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，
最少为.