河南省南阳中学2025-2026学年高一数学第一学期期末调研模拟试题含解析.doc

河南省南阳中学2025-2026学年高一数学第一学期期末调研模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知全集，，，则集合
A. B.
C. D.
2．函数，若恰有3个零点，则a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．函数的单调递减区间是（）
A.（） B.（）
C.（） D.（）
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线所成的角等于(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
5．已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是
A. B.
C. D.
6．如图，是全集，是子集，则阴影部分表示的集合是（ ）

A. B.
C D.
7．某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量20%分位数和75%分位数为（ ）
A.51，58 B.51，61
C.52，58 D.52，61
8．已知集合，集合，则集合
A. B.
C. D.
9．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
10．已知是空间中两直线，是空间中的一个平面，则下列命题正确的是（）
A.已知，若，则 B.已知，若，则
C.已知，若，则 D.已知，若，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
11．化简___________.
12．已知函数是幂函数，且过点，则___________.
13．某种商品在第天的销售价格（单位：元）为，第x天的销售量（单位：件）为，则第14天该商品的销售收入为________元，在这30天中，该商品日销售收入的最大值为________元.
14．求值：______.
15．已知函数，若对任意的、，，都有成立，则实数的取值范围是______.
16．，的定义域为____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）若是的根，求的值
（2）若，，且，，求的值
18．已知函数，.
（1）求的值.
（2）设，，，求的值.
19．如果函数满足：对定义域内的所有，存在常数，，都有，那么称是“中心对称函数”，对称中心是点.
（1）证明点是函数的对称中心；
（2）已知函数（且，）的对称中心是点.
①求实数的值；
②若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围.
20．定义在上的奇函数，已知当时，
求实数a的值；
求在上解析式；
若存在时，使不等式成立，求实数m的取值范围
21．筒车是我国古代发哪的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今还在农业生产中得到使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理．如图1是一个半径为R（单位：米），有24个盛水筒的筒车，按逆时针方向匀速旋转，转一周需要120秒，为了研究某个盛水筒P离水面高度h（单位，米）与时间t（单位：秒）的变化关系，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy．已知时P的初始位置为点（此时P装满水）.

（1）P从出发到开始倒水入槽需要用时40秒，求此刻P距离水面的高度（结果精确到0.1）；
（2）记与P相邻的下一个盛水筒为Q，在简车旋转一周的过程中，求P与Q距离水面高度差的最大值（结果精确到0.1）
参考数据：，，，
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】因为A∪B{x|x≤0或x≥1}，所以，故选D.
考点：集合的运算.
2、B
【解析】画出的图像后，数形结合解决函数零点个数问题.
【详解】做出函数图像如下

由得，由得
故函数有3个零点
若恰有3个零点，即函数与直线有三个交点，
则a的取值范围，
故选：B
3、A
【解析】根据余弦函数单调性，解得到答案.
【详解】解：，令，，解得，，故函数的单调递减区间为；
故选：A.
4、C
【解析】在正方体中，连接，则，
则异面直线和所成的角就是相交直线和所成的角，即，
在等边三角形中，，故选C
5、B
【解析】，所以，故选B
考点：平面向量的垂直
6、C
【解析】利用阴影部分所属的集合写出阴影部分所表示的集合
【详解】解：由图知，阴影部分在集合中，在集合中，但不在集合中，
故阴影部分所表示的集合是.
故选：C.
7、B
【解析】先把每月的降水量从小到大排列,再根据分位数的定义求解.
【详解】把每月的降水量从小到大排列为: 46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，
,
所以该地区月降水量的分位数为;

所以该地区的月降水量的分位数为.
故选：B
8、C
【解析】

故选C
9、C
【解析】利用分段函数的单调性列出不等式组，可得实数的取值范围
【详解】在上单调递增，则
解得
故选：C
【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查分段函数，端点值的取舍是本题的易错
10、D
【解析】A.n和m的方向无法确定,不正确；
B.要得到,需要n垂直于平面内两条相交直线,不正确；
C.直线n有可能在平面内,不正确；
D.平行于平面的垂线的直线与此平面垂直,正确.
【详解】A.一条直线与一个平面平行,直线的方向无法确定,所以不一定正确；
B.一条直线与平面内两条相交直线垂直,则直线垂直于平面, 无法表示直线n垂直于平面内两条相交直线,所以不一定正确；
C.直线n有可能在平面内,所以不一定正确；
D.,则直线n与m的方向相同,,则,正确；
故选D
【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系的判断,遇到不正确的命题画图找出反例即可.本题属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用向量的加法运算，即可得到答案；
【详解】，
故答案为：
12、
【解析】由题意，设代入点坐标可得，计算即得解
【详解】由题意，设，过点
故，解得
故
则
故答案为：
13、 ①.448 ②.600
【解析】销售价格与销售量相乘即得收入，对分段函数，可分段求出最大值，然后比较
【详解】由题意可得（元），
即第14天该商品的销售收入为448元.
销售收入，，
即，.
当时，，
故当时，y取最大值
当时，易知，
故当时，该商品日销售收入最大，最大值为600元.
故答案为：448；600.
【点睛】本题考查分段函数模型的应用．根据所给函数模型列出函数解析式是基本方法
14、7
【解析】利用指数式与对数式的互化，对数运算法则计算作答.
【详解】.
故答案为：7
15、
【解析】分析出函数为上的减函数，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】设，则，由可得，即，
所以，函数为上的减函数.
由于，
由题意可知，函数在上为减函数，则，
函数在上为减函数，则，
且有，所以，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案：.
【点睛】关键点点睛：在利用分段函数的单调性求参数时，除了分析每支函数的单调性外，还应由间断点处函数值的大小关系得出关于参数的不等式组求解.
16、
【解析】由，根据余弦函数在的图象可求得结果.
【详解】由得：，又，，
即的定义域为.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）先求出，再通过诱导公式及切化弦化简原式后再代值即可；
（2）通过角的范围及已知的三角函数值求出和，再运用正弦的两角差的公式计算即可.
【详解】（1）方程解得或，因为为其解，所以.
则原式

由于，
所以原式
（2）因为，所以，
又因为，所以，
因为，，可得，
又，可得，
而
.
18、（1）；（2）.
【解析】（1）代入可求得其值；
（2）由已知求得，，再由同角三角函数的关系可求得，，运用余弦的和角公式可求得答案.
【详解】解:（1）.
（2），∴，
∵，∴，
∵，∴，，
∵.
19、（1）见解析； （2）①，②.
【解析】（1）求得，根据函数的定义，即可得到函数的图象关于点对称.
（2）①根据函数函数的定义，利用，即可求得.
②由在上的值域，得到方程组，转化为为方程的两个根，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，可得，
所以函数的图象关于点对称.
（2）①因为函数（且，）对称中心是点，
可得，即，解得（舍）.
②因为，∴，可得，
又因为，∴.
所以在上单调递减，
由在上的值域为
所以，，
即，即，
即为方程的两个根，且，
令，
则满足，解得，所以实数的取值范围.
【点睛】本题主要考查了函数的新定义，函数的基本性质的应用，以及二次函数的图象与性质的综合应用，其中解答中正确理解函数的新定义，合理利用函数的性质，以及二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
20、（1）；（2）；（3）.
【解析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得，解可得的值，验证即可得答案；当时，，求出的解析式，结合函数的奇偶性分析可得答案；根据题意，若存在，使得成立，即在有解，变形可得在有解设，分析的单调性可得的最大值，从而可得结果
【详解】根据题意，是定义在上的奇函数，
则，得经检验满足题意；
故；
根据题意，当时，，
当时，，
又是奇函数，则
综上，当时，；
根据题意，若存在，使得成立，
即在有解，
即在有解
又由，则在有解
设，分析可得在上单调递减，
又由时，，
故
即实数m的取值范围是
【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，以及指数函数单调性的应用，属于综合题
21、（1）m
（2）m
【解析】（1）根据题意P从出发到开始倒水入槽用时40秒，可知线段OA按逆时针方向旋转了，由，可求圆的半径，由题意可知以OA为终边的角为，由此即可求出P距离水面的高度；
（2）由题意可知P转动的角速度为rad/s，易知P开始转动t秒后距离水面的高度的解析式，设P，Q两个盛水筒分别用点B，C表示，易知，点C相对于点B始终落后rad，求出Q距离水面的高度，可得则P，Q距离水面的高度差，再根据三角函数的性质，即可求出结果.
【小问1详解】
解：由于筒车转一周需要120秒，所以P从出发到开始倒水入槽的40秒，线段OA按逆时针方向旋转了，因为A点坐标为，得，以OA为终边的角为，所以P距离水面的高度m
【小问2详解】
解：由于筒车转一周需要120秒，可知P转动的角速度为rad/s，又以OA为终边的角为，则P开始转动t秒后距离水面的高度，

如图，P，Q两个盛水筒分别用点B，C表示，则，点C相对于点B始终落后rad，此时Q距离水面的高度
则P，Q距离水面的高度差
，
利用，可得
当或，即或时，最大值为
所以，筒车旋转一周的过程中，P与Q距离水面高度差的最大值约为m