2025年广东省广雅中学高一上数学期末检测模拟试题含解析.doc

2025年广东省广雅中学高一上数学期末检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知则当最小时的值时
A.﹣3 B.3
C.﹣1 D.1
2．若且，则函数的图象一定过点（ ）
A. B.
C. D.
3．函数的部分图像如图所示，则该函数的解析式为（ ）

A. B.
C. D.
4．函数的图像向左平移个单位长度后是奇函数，则在上的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A.或 B.
C. D.或3
6．已知函数在上的值域为R，则a的取值范围是　　
A. B.
C. D.
7．已知是第四象限角，是角终边上的一个点，若，则（）
A.4 B.-4
C. D.不确定
8．直线（为实常数）的倾斜角的大小是
A B.
C. D.
9．已知角的终边经过点，则的值为（）
A.11 B.10
C.12 D.13
10．下列函数中，既在R上单调递增，又是奇函数的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知球有个内接正方体，且球的表面积为，则正方体的边长为__________
12．___________
13．写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.①函数为指数函数；②单调递增；③.
14．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（时）之间近似满足如图所示的图象．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为___________小时．

15．设函数，若，则的取值范围是________.
16．若是第三象限的角，则是第________象限角；
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边在直线上.
（1）求的值；
（2）求值
18．定义：若函数的定义域为D，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期.
（1）下列函数（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是____________（直接填写序号）；
（2）若为线周期函数，其线周期为，求证为周期函数；
（3）若为线周期函数，求的值.
19．某企业为抓住环境治理带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备．生产这款设备的年固定成本为万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足台时，万元，当年产量不少于台时，万元．若每台设备的售价为万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完
（1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
20．已知函数常数
证明在上是减函数，在上是增函数；
当时，求的单调区间；
对于中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的值

21．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，.

（1）求证：；
（2）若为等边三角形，，平面平面，求四棱锥的体积.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由题目已知可得：

当时，的值最小
故选
2、C
【解析】令求出定点的横坐标，即得解.
【详解】解：令.
当时，，
所以函数的图象过点.
故选：C.
3、A
【解析】由图象确定以及周期，进而得出，再由得出的值.
【详解】显然
因为，所以，所以
由得
所以，即，
因为，所以
所以.
故选A
【点睛】本题主要考查了由函数图象确定正弦型函数的解析式，属于中档题.
4、D
【解析】由函数图像平移后得到的是奇函数得，再利用三角函数的图像和性质求在上的最小值.
【详解】平移后得到函数
∵函数为奇函数，
故
∵，
∴，
∴函数为，
∴，
时，函数取得最小值为
故选
【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换，考查三角函数的奇偶性和在区间上的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5、A
【解析】先求的坐标，再由向量垂直数量积为0，利用坐标运算即可得解.
【详解】由向量，，知.
若，则，解得或-3.
故选A.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.
6、A
【解析】利用分段函数，通过一次函数以及指数函数判断求解即可
【详解】解：函数在上的值域为R，
当函数的值域不可能是R，
可得，
解得：
故选A
【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，属于基础题.
7、B
【解析】利用三角函数的定义求得.
【详解】依题意是第四象限角，所以，
.
故选：B
8、D
【解析】计算出直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围可求得该直线的倾斜角.
【详解】设直线倾斜角为，直线的斜率为，所以，
，则.
故选：D.
【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，一般要求出直线的斜率，考查计算能力，属于基础题.
9、B
【解析】由角的终边经过点，根据三角函数定义，求出，带入即可求解.
【详解】∵角的终边经过点，
∴，
∴.
故选：B
【点睛】利用定义法求三角函数值要注意：
(1) 三角函数值的大小与点P（x,y）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；
(2) 当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论
10、B
【解析】逐一判断每个函数的单调性和奇偶性即可.
【详解】是奇函数，但在R上不单调递增，故A不满足题意；
既在R上单调递增，又是奇函数，故B满足题意；
、不是奇函数，故C、D不满足题意；
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】设正方体的棱长为x，则 =36π，
解得x=
故答案为
12、
【解析】利用、两角和的正弦展开式进行化简可得答案.
【详解】

故答案为：.
13、（答案不唯一）
【解析】根据给定条件①可得函数的解析式，再利用另两个条件判断作答.
【详解】因函数是指数函数，则令，且，于是得，
由于单调递增，则，又，解得，取，
所以.
故答案为：（答案不唯一）
14、
【解析】根据图象先求出函数的解析式，然后由已知构造不等式0.25，解不等式可得每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，他们之间的差值即为服药一次治疗疾病有效的时间
【详解】解：当时，函数图象是一个线段，由于过原点与点，
故其解析式为，
当时，函数的解析式为，
因为在曲线上，所以，解得，
所以函数的解析式为，
综上，，
由题意有，解得，所以，
所以服药一次治疗疾病有效的时间为个小时，
故答案为：．
15、
【解析】当时，由，求得x0的范围；
当x0<2时，由，求得x0的取值范围，再把这两个x0的取值范围取并集，即为所求.
【详解】当时，由，求得x0>3；
当x0<2时，由，解得：x0<-1.
综上所述:x0的取值范围是.
故答案为：
16、一或三
【解析】根据的范围求得的范围，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，
，
所以当为奇数时，在第三象限；当为偶数时，在第一象限.
故答案：一或三

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；（2）或；
【解析】（1）在直线上任取一点，由已知角的终边过点，
利用诱导公式与三角函数定义即可求解，要注意分类讨论m的正负.
（2）先利用商的关系化简原式为，结合第一问利用三角函数定义分别求得与，要注意分类讨论m的正负.
【详解】（1）在直线上任取一点，由已知角的终边过点，
，，
利用诱导公式与三角函数定义可得：，
当时，；当时，
（2）原式

同理（1）利用三角函数定义可得：，
当时，，，此时原式；
当时，，，此时原式；
【点睛】易错点睛：本题考查三角函数化简求值，解本题时要注意的事项：角的终边在直线上，但未确定在象限，要分类讨论，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.
18、（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）根据新定义逐一判断即可；
（2）根据新定义证明即可；
（3）若为线周期函数，则存在非零常数，对任意，都有
，可得，解得的值再检验即可.
【详解】（1）对于，，所以不是线周期函数，
对于，，所以不是线周期函数，
对于，，所以是线周期函数；
（2）若为线周期函数，其线周期为，
则存在非零常数对任意，都有恒成立，
因为，
所以，
所以为周期函数；
（3）因为为线周期函数，
则存在非零常数，对任意，
都有，
所以，
令，得，
令，得，
所以，因为，所以，
检验：当时，，
存在非零常数，对任意，
，
所以为线周期函数，
所以：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解和应用，以及特殊值解决恒成立问题.
19、（1）；
（2）当年产量为台时，该企业在这款净水设备的生产中获利润最大，最大为万元
【解析】（1）分别在和两种情况下，由可得函数关系式；
（2）利用二次函数性质、基本不等式可分别求得和时的最大值，比较即可得到结果.
【小问1详解】
当，时，
；
当，时，
；
综上所述：.
【小问2详解】
当，时，，
则当时，的最大值为；
当，时，
（当且仅当，即时等号成立）；
当年产量为台时，该企业在这款净水设备的生产中获利润最大，最大为万元
20、（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】利用定义证明即可；把看成整体，研究对勾函数的单调性以及利用复合函数的单调性的性质得到该函数的单调性；对于任意的，总存在，使得可转化成的值域为的值域的子集，建立关系式，解之即可
【详解】证明：：设，，且，
，
，
，，
当时，即，
当时，即，
当时，，即，此时函数为减函数，
当时，，即，此时函数为增函数，
故在上是减函数，在上是增函数；
当时，，
，
设，则，
，
由可知在上是减函数，在上是增函数；
，，
即，，
即在上是减函数，在上是增函数；
由于减函数，故，
又由（2）得
由题意，的值域为的值域的子集，
从而有，
解得
【点睛】本题主要考查定义法证明函数单调性，利用单调性求函数的值域，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，是中档题
21、（1）详见解析；（2）2
【解析】（1）根据题意作于，连结，可证得，于是，故，然后根据线面垂直的判定得到平面，于是可得所证结论成立．（2）由（1）及平面平面可得平面，故为四棱锥的高．又由题意可证得四边形为有一个角为的边长为的菱形，求得四边形的面积后可得所求体积
【详解】（1）作于，连结.

∵，，是公共边，
∴，
∴
∵，
∴，
又平面，平面，，
∴平面，
又平面，
∴
（另法：证明,取的中点.）
（2）∵平面平面，平面平面，，
∴平面
又为等边三角形，，
∴.
又由题意得，，是公共边，
∴，
∴，
∴平行四边形为有一个角为的边长为的菱形，
∴，
∴四棱锥的体积
【点睛】（1）证明空间中的垂直关系时，要注意三种垂直关系间的转化，合理运用三种垂直关系进行求解，以达到求解的目的，同时在证题中要注意平面几何知识的运用
（2）立体几何中的计算问题中往往涉及到证明，同时在证明中渗透着计算，计算时要注意中间量的求解，最后再结合面积、体积公式得到所求