云南省曲靖市宜良县第六中学2025年高二上数学期末调研模拟试题含解析.doc

云南省曲靖市宜良县第六中学2025年高二上数学期末调研模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若倾斜角为的直线过，两点，则实数（ ）
A. B.
C. D.
2．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
3．命题若，且，则，命题在中，若，则.下列命题中为真命题的是（）
A. B.
C. D.
4．等差数列中，是的前项和，，则（）
A.40 B.45
C.50 D.55
5．若向量则（）
A. B.3
C. D.
6．为了调查修水县2019年高考数学成绩，在高考后对我县6000名考生进行了抽样调查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽到了120名考生的数学成绩作为一个样本，这项调查宜采用的抽样方法是（）
A.系统抽样法 B.分层抽样法
C.抽签法 D.简单的随机抽样法
7．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，.若双曲线M的右支上存在点P，使，则双曲线M的离心率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为，，，则△ABC的欧拉线方程为（）
A. B.
C. D.
9．如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）

A. B.
C. D.
10．已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为.点为上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线的斜率之积大于，则的离心率的取值范围是（）
A. B.
C. D.
11．如图，已知二面角平面角的大小为，其棱上有、两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（）

A. B.
C. D.
12．已知点B是A（3，4，5）在坐标平面xOy内的射影，则||＝（　　）
A. B.
C.5 D.5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知每层圈数相同，共有9圈，则下层比上层多______块石板

14．如图，椭圆的中心在坐标原点，是椭圆的左焦点，分别是椭圆的右顶点和上顶点，当时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，则“黄金椭圆”的离心率___________.

15．关于曲线C：1，有如下结论：
①曲线C关于原点对称；
②曲线C关于直线x±y＝0对称；
③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；
④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2＝2无公共点；
⑤曲线C与曲线D：|x|+|y|＝2有4个公共点，这4点构成正方形
其中正确结论的个数是_____
16．狄利克雷是十九世纪德国杰出的数学家，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献.狄利克雷曾提出了“狄利克雷函数”.若，根据“狄利克雷函数”可求___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上.过点的直线l交椭圆于A，B两点.
（1）求该椭圆的方程；
（2）若点P为直线上的动点，记直线PA，PM，PB的斜率分别为，，.求证：，，成等差数列.
18．（12分）已知圆M的方程为.
（1）写出圆M的圆心坐标和半径
（2）经过点的直线l被圆M截得弦长为，求l的方程.
19．（12分）在等差数列中，，前10项和
（1）求列通项公式；
（2）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前8项和
20．（12分）已知椭圆C：的焦距为，点在C上
（1）求C的方程；
（2）过点的直线与C交于M，N两点，点R是直线：上任意一点，设直线RM，RQ，RN的斜率分别为，，，若，，成等差数列，求的方程.
21．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，FA⊥平面ABCD，ED//FA，且AB=FA=2ED=2

（1）求证：平面FAC⊥平面EFC；
（2）求多面体ABCDEF的体积
22．（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（是参数）
（1）求直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；
（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据直线的倾斜角和斜率的关系得到直线的斜率为，再根据两点的斜率公式计算可得；
【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，解得；
故选：C
2、D
【解析】根据题意参变分离得到，求出的最小值，进而求出实数a的取值范围.
【详解】由题意得：在上恒成立，即，其中在处取得最小值，，所以，解得：，
故选：D
3、A
【解析】根据不等式性质及对数函数的单调性判断命题的真假，根据大角对大边及正弦定理可判断命题的真假，再根据复合命题真假的判断方法即可得出结论.
【详解】解：若，且，则，
当时，，所以，
当时，，所以，
综上命题为假命题，则为真命题，
在中，若，则，
由正弦定理得，
所以命题为真命题，为假命题，
所以为真命题，，，为假命题.
故选：A.
4、B
【解析】应用等差数列的性质“若，则”即可求解
【详解】
故选：B
5、D
【解析】先求得，然后根据空间向量模的坐标运算求得
【详解】由于向量，，所以.
故
故选：D
6、B
【解析】考生分为几个不同的类型或层次，由此可以确定抽样方法；
【详解】6000名考生进行抽样调查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽到了120名考生的数学成绩作为一个样本
又文科考生、理科考生、艺术和体育类考生会存在差异，
采用分层抽样法较好
故选：B.
【点睛】本题主要考查的是分层抽样，掌握分层抽样的有关知识是解题的关键，属于基础题.
7、A
【解析】利用三角形正弦定理结合，用a，c表示出，再由点P的位置列出不等式求解即得.
【详解】依题意，点P不与双曲线顶点重合，在中，由正弦定理得：，
因，于是得，而点P在双曲线M的右支上，即，
从而有，点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有，
因此，，而，整理得，即，解得，
又，故有，
所以双曲线M的离心率的取值范围为.
故选：A
8、A
【解析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.
【详解】由题可知，△ABC的重心为，
可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，
直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为，
联立方程可得△ABC的垂心为，
则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为
故△ABC的欧拉线方程为.
故选：A.
9、C
【解析】建立空间直角坐标系，分别得到，然后根据空间向量夹角公式计算即可.
【详解】以过点且垂直于平面的直线为轴，直线，分别为轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，

则根据题意可得，，，，
所以，，
设异面直线与所成角为，
则.
故选：C.
10、A
【解析】设，求得，得到，求得，结合，即可求解.
【详解】由椭圆的方程，可得，
设，则，
由
，
因为四条直线的斜率之积大于，即，所以，
则离心率，
又因为椭圆离心率，
所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：A.
11、C
【解析】以、为邻边作平行四边形，连接，计算出、的长，证明出，利用勾股定理可求得的长.
【详解】如下图所示，以、为邻边作平行四边形，连接，

因为，，则，
又因为，，，故二面角的平面角为，
因为四边形为平行四边形，则，，
因为，故为等边三角形，则，
，则，，，故平面，
因为平面，则，故.
故选：C.
12、C
【解析】先求出B（3，4，0），由此能求出||
【详解】解：∵点B是点A（3，4，5）在坐标平面Oxy内的射影，∴B（3，4，0），
则||＝＝5
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1458
【解析】首先由条件可得第圈的石板为，且为等差数列，利用基本量求和，即可求解.
【详解】设第圈的石板为，由条件可知数列是等差数列，且上层的第一圈为，且，所以，
上层的石板数为，下层的石板数为.
所以下层比上层多块石板.
故答案为：1458
14、或
【解析】写出，，求出，根据以及即可求解，
【详解】由题意，，，
所以，，
因为，则，
即，即，
所以，即，
解得或（舍）.
故答案为：
15、4
【解析】直接利用曲线的性质，对称性的应用可判断①②；求出可判断③；联立方程，解方程组可判断④⑤的结论
【详解】对于①，将方程中的x换为﹣x，y换为﹣y，方程不变，曲线C关于原点对称，故①正确；
对于②，将方程中的x换为﹣y，把y换成﹣x，方程不变，曲线C关于直线x±y＝0对称，故②正确；
对于③，由方程得，故曲线C不是封闭图形，故③错误；
对于④，曲线C：，不是封闭图形，联立整理可得：，方程无解，故④正确；
对于⑤，曲线C与曲线D：由于，解得，
根据对称性，可得公共点为 ，
故曲线C与曲线D 有四个交点，这4点构成正方形，故⑤正确
故答案为：4
16、1
【解析】由“狄利克雷函数”解析式，先求出，再根据指数函数的解析式求即可.
【详解】由题设，，则.
故答案：1

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）;
（2）证明见解析.
【解析】（1）根据焦点坐标及椭圆上的点，利用椭圆的定义求出a，再由关系求b，即可得解；
（2）分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，利用斜率公式计算出，根据等差中项计算，即可证明成等差数列.
【小问1详解】
∵椭圆的焦距，
椭圆的两焦点坐标分别为，
又点在椭圆上，
，
即.

该椭圆方程为.
【小问2详解】
设.
当直线l的斜率为0时，其方程为，代入，可得.
不妨取，则
，
成等差数列.
当直线l的斜率不为0时，设其方程为，
由，消去x得 .

即，
成等差数列，
综上可得，，成等差数列.
18、（1）圆心坐标为，半径为2

（2）或
【解析】（1）求得圆的标准方程，从而求得圆心和半径.
（2）根据直线的斜率存在和不存在进行分类讨论，由此求得的方程.
【小问1详解】
圆的标准方程为：.
所以圆M的圆心坐标为，半径为2.
【小问2详解】
因为圆M半径为2，直线l被圆M截得弦长为，
由垂径定理可知M到直线距离为1.
当l不垂直于轴时，设，即，
则.解得，于是l的方程为，即.
当l垂直于轴时，到点M的距离为1.
综上，l的方程为，或.
19、（1）；（2）347.
【解析】（1）设等差数列的公差为，解方程组即得解；
（2）先求出，再分组求和得解.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，

则
解得所以
（2）由题意，，所以
所以的前8项和为
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据椭圆的焦距为，点在C上，由求解；
（2）设，，，的斜率不存在时，则的方程为，与椭圆的方程联立求得M，N的坐标，由，，成等差数列求解；的斜率存在时，设的方程为，与椭圆的方程联立，然后由，，成等差数列，结合韦达定理求解；
【小问1详解】
解：由题意得，
解得，，
所以C的方程为.
【小问2详解】
设，，，
当的斜率不存在时，则的方程为，
将代入，得.
因为，，成等差数列，
所以，即，
显然当时，方程恒成立.
当的斜率存在时，设的方程为，
联立得，
则，.
，
.
因为，，成等差数列，
所以，
即恒成立.
则，
解得.
综上所述，的方程为.
21、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】(1)连接BD交AC于点O，设FC的中点为P，连接OP，EP，证明BD//EP，BD⊥平面FAC即可推理作答.
(2)求出三棱锥和四棱锥的体积即可计算作答.
【小问1详解】
连接BD交AC于点O，设FC的中点为P，连接OP，EP，如图，

菱形ABCD中，O为AC的中点，则OP//FA，且，而ED//FA，且FA=2ED，
于是得OP//ED，且OP=ED，即有四边形OPED为平行四边形，则OD//EP，即BD//EP，
因为FA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，则FA⊥BD，又四边形ABCD是菱形，即BD⊥AC，
而FAAC=A，平面FAC，因此，BD⊥平面FAC，即EP⊥平面FAC，又EP平面EFC，
所以平面FAC⊥平面EFC.
【小问2详解】
由已知，是正三角形，，则，
取AD的中点G，连接CG，而△ACD为正三角形，从而有CG⊥AD，且，
因FA⊥平面ABCD，FA平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，又平面ADEF平面ABCD=AD，
而CG平面ABCD，因此，CG⊥平面ADEF，则点C到平面ADEF的距离为，
又，于是得，
所以多面体ABCDEF的体积.
22、（1）直线的直角坐标方程是，曲线的普通方程是
（2）
【解析】（1）利用极坐标与直角坐标互化的公式进行求解，消去参数求出普通方程；（2）设曲线上任一点以，利用点到直线距离公式和辅助角公式进行求解.
【小问1详解】
因为，
所以，即，
将，代入，得直线的直角坐标方程是
由得曲线的普通方程是
【小问2详解】
设曲线上任一点以，
则点到直线的距离
当时，，故曲线上的点到直线的距离的最大值为