黑龙江省哈尔滨市呼兰区第一中学校2025-2026学年数学高一上期末达标测试试题含解析.doc

黑龙江省哈尔滨市呼兰区第一中学校2025-2026学年数学高一上期末达标测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
2．下列说法正确的有（）
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④圆锥的轴截面是等腰三角形.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3．函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
4．函数且的图象恒过定点（
A.(－2，0) B.(－1，0)
C.(0，－1) D.(－1，－2)
5．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（）
A.证明所有实数的平方都不是正数
B.证明平方是正数的实数有无限多个
C.至少找到一个实数，其平方是正数
D.至少找到一个实数，其平方不是正数
6．定义在上的奇函数以5为周期，若，则在内，的解的最少个数是
A.3 B.4
C.5 D.7
7．下列命题不正确的是（ ）
A.若，则的最大值为1 B.若，则的最小值为4
C.若，则的最小值为1 D.若，则
8．下列各组中的两个函数表示同一函数的是（　　）
A. B.y＝lnx2，y＝2lnx
C D.
9．将函数图象向左平移个单位后与的图象重合，则（ ）
A. B.
C D.
10．下列函数值为的是（ ）
A.sin390° B.cos750°
C.tan30° D.cos30°
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．要在半径cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使弧AB的长为m，那么圆心角_________．（用弧度表示）
12．过正方体的顶点作直线，使与棱、、所成的角都相等，这样的直线可以作_________条.
13．满足的集合的个数是______________
14．设函数，若关于的不等式的解集为，则
15．直线与直线的距离是__________
16．已知且，若，则的值为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）求直线与的交点的坐标；
（2）求两条平行直线与间的距离
18．已知函数．求：
（1）函数的单调递减区间，对称轴，对称中心；
（2）当时，函数的值域
19．已知函数（其中且）是奇函数.
（1）求的值；
（2）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.
20．国际上常用恩格尔系数r来衡量一个国家或地区的人民生活水平．根据恩格尔系数的大小，可将各个国家或地区的生活水平依次划分为：贫困，温饱，小康，富裕，最富裕等五个级别，其划分标准如下表：
级别
贫困
温饱
小康
富裕
最富裕
标准
r＞60%
50%＜r≤60%
40%＜r＝50%
30%＜r≤40%
r≤30%
某地区每年底计算一次恩格尔系数，已知该地区2000年底的恩格尔系数为60%．统计资料表明：该地区食物支出金额年平均增长4%，总支出金额年平均增长．根据上述材料，回答以下问题.
（1）该地区在2010年底是否已经达到小康水平，说明理由；
（2）最快到哪一年底，该地区达到富裕水平？
参考数据：，，，
21．如图所示，在中，已知，,.
（1）求的模；
（2若，，求的值.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】因为所以选C
考点：比较大小
2、A
【解析】根据棱台、球、正方体、圆锥的几何性质，分析判断，即可得答案.
【详解】①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱延长线会交于一点，所以①不正确；
②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以②不正确；
③中底面不一定是正方形，所以③不正确；
④中圆锥的母线长相等，所以轴截面是等腰三角形，所以④是正确的.
故选：A
3B
【解析】根据函数的奇偶性和正负性，运用排除法进行判断即可.
【详解】因为，
所以函数是偶函数，其图象关于纵轴对称，故排除C、D两个选项；
显然，故排除A，
故选：B
4、A
【解析】根据指数函数的图象恒过定点，即求得的图象所过的定点，得到答案
【详解】由题意，函数且，
令，解得，
，
的图象过定点
故选：A
5、D
【解析】全称命题是假命题，则其否定一定是真命题，判断选项.
【详解】命题“所有实数的平方都是正数”是全称命题，若其为假命题，那么命题的否定是真命题，所以只需“至少找到一个实数，其平方不是正数.
故选：D
6、D
【解析】由函数的周期为5，可得f（x+5）=f（x），由于f（x）为奇函数，f（3）=0，若x∈（0，10），则可得出f（3）=f（-2）=-f（2）=0，即f（2）=0，∴f（8）=f（3）=0，∴f（7）=f（2）=0．在f（x+5）=f（x）中，令x=-2.5，可得f（2.5）=f（-2.5）=-f（2.5），∴f（2.5）=f（7.5）=0．再根据f（5）=f（0）=0，故在（0，10）上，y=f（x）的零点的个数是 2，2.5，3，5，7，7.5，8，共计7个.
故选D
点睛：本题是函数性质的综合应用，奇偶性周期性的结合，先从周期性入手，利用题目条件中的特殊点得出其它的零点，再结合奇偶性即可得出其它的零点.
7、D
【解析】选项A、B、C通过给定范围求解对应的值域即可判断正误，选项D通过移向做差，化简合并，即可判断.
【详解】对于A，若，则，即的最大值为1，故A正确；
对于B，若，则，当且仅当，
即时取等号，所以最小值为4，故B正确；
对于C，若，则，即的最小值为1，故C正确；
对于D，∵，，∴，故D不正确
故选：D.
8、D
【解析】逐项判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可得出结果.
【详解】对于A， 定义域为，而定义域为，定义域相同，但对应法则不同，故不是同一函数，排除A；
对于B，定义域，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除B；
对于C，  定义域为而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除C；
对于D，与的定义域均为，且，对应法则一致，所以是同一函数，D正确.
故选：D
9、C
【解析】利用三角函数的图象变换可求得函数的解析式.
【详解】由已知可得.
故选：C.
10、A
【解析】由诱导公式计算出函数值后判断
详解】，
，
，
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由弧长公式变形可得：，代入计算即可.
【详解】解：由题意可知：（弧度）.
故答案为：.
12、
【解析】将小正方体扩展成4个小正方体，根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数
【详解】解：设ABCD﹣A1B1C1D1边长为1
第一条：AC1是满足条件的直线；
第二条：延长C1D1到C1且D1C2＝1，AC2是满足条件的直线；
第三条：延长C1B1到C3且B1C3＝1，AC3是满足条件的直线；
第四条：延长C1A1到C4且C4A1，AC4是满足条件的直线

故答案为4
【点睛】本题考查满足条件的直线条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查分类与整合思想，是基础题
13、4
【解析】利用集合的子集个数公式求解即可.
【详解】∵,
∴集合是集合的子集，
∴集合的个数为，
故答案为：.
14、
【解析】根据不等式的解集可得、、为对应方程的根，分析两个不等式对应方程的根，即可得解.
【详解】由于满足，即，可得，
所以，，
所以，方程的两根分别为、，
而可化为，即，
所以，方程的两根分别为、，
，且不等式解集为，
所以，，解得，则，因此，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查一元二次不等式与方程之间的关系，即不等式解集的端点即为对应方程的根，本题在理解、、分别为方程、的根，而两方程含有公共根，进而可得出关于实数的等式，即可求解.
15、
【解析】
16、##
【解析】根据将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算性质即可得解.
【详解】解：因为，
所以，
所以.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）4
【解析】（1）联立直线方程求解即可得交点；
（2）由平行直线间的距离公式求解.
【详解】（1）联立得
故所求交点的坐标为
（2）两条平行直线与间的距离
18、（1）单调递减区间为；对称轴为，；对称中心为，；（2）
【解析】（1）首先化简函数解析式得到，然后结合函数的图象与性质即可求出单调递减区间，对称轴和对称中心；
（2）由求得，即可求出值域.
【详解】（1）化简可得，
由，，可得，，
∴函数的单调递减区间为，
令，可得，故函数的对称轴为
令，得，故函数的对称中心为，
（2）当时，，
∴，∴，
∴函数的值域为
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据恒成立，计算可得的值；
（2）将不等式恒成立转化为在上恒成立，令，则转化为，利用对勾函数的性质求得的最大值即可.
【小问1详解】
因为函数（其中且）是奇函数，
，
即恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
整理得恒成立，
，解得或，
当时，显然不成立，
当时，，
由，可得或，
，满足是奇函数，
所以；
【小问2详解】
对任意的，都有不等式恒成立，
恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，

令，，
根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以在上的最大值为，
，
即实数取值范围是
20、（1）已经达到，理由见解析
（2）2022年
【解析】（1）根据该地区食物支出金额年平均增长4%，总支出金额年平均增长的比例列式求解，判断十年后是否达到即可.
（2）假设经过n年，该地区达到富裕水平，列式，利用指对数互化解不等式即可.
【小问1详解】
该地区2000年底的恩格尔系数为%，
则2010年底的思格尔系数为

因为
所以1，
则
所以
所以该地区在2010年底已经达到小康水平
【小问2详解】
从2000年底算起，设经过n年，该地区达到富裕水平
则，
故，即
化为
因为，则In，所以
因为

所以
所以，最快到2022年底，该地区达到富裕水平
21、 (1) (2)
【解析】（1）根据向量数量积定义可得，再根据向量加法几何意义以及模性质可得结果（2）先根据向量加减法则将化为，再根据向量数量积定义求值
试题解析：（1）
=
=；
（2）因为，，
所以

.