2025年黑龙江省青冈县第一中学高一上数学期末质量检测模拟试题含解析.doc

2025年黑龙江省青冈县第一中学高一上数学期末质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数的定义域为，且满足对任意，有，则函数（）
A. B.
C. D.
2．已知扇形的圆心角为，面积为8，则该扇形的周长为（ ）
A.12 B.10
C. D.
3．若直线经过两点，，且倾斜角为，则的值为（ ）
A.2 B.1
C. D.
4．已知函数，若图象过点，则的值为（ ）
A. B.2
C. D.
5．若为所在平面内一点，，则形状是
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.以上答案均错
6．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（）

A.90° B.45°
C.60° D.30°
7．已知全集U＝{0，1，2}且＝{2}，则集合A的真子集共有
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
8．已知，，则
A. B.
C. D.
9．总体由编号为01，02，...，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）
79619507840313795103209443168317
18696254073892615789810641384975
A.20 B.18
C.17 D.16
10．已知偶函数f (x)在区间单调递增，则满足的x 取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知实数x、y满足，则的最小值为____________.
12．若函数满足：对任意实数，有且，当[0,1]时，,则[2017,2018]时,______________________________
13．函数的值域是__________
14．如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等）若该正八面体的表面积为，则该正八面体外接球的体积为___________；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为___________.

15．已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_____
16．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为________

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，且
（1）证明函数在上是增函数
（2）求函数在区间上的最大值和最小值
18．已知函数.
（1）若点在角的终边上，求的值；
（2）若，求的值域.
19．已知函数
(1)求函数的最小正周期和在上的值域；
(2)若，求的值
20．已知函数，若函数的定义域为集合，则当时，求函数的值域.
21．已知角的终边上一点的坐标是，其中，求，，的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据已知不等式可以判断函数的单调性，再结合四个选项进行判断即可.
【详解】因为，
所以由，
构造新函数，因此有，
所以函数是增函数.
A：，因为，所以不符合增函数的性质，故本选项不符合题意；
B：，当时，函数单调递减，故本选项不符合题意；
C：，显然符合题意；
D：，因为，所以不符合增函数的性质，故本选项不符合题意，
故选：C
2、A
【解析】利用已知条件求出扇形的半径，即可得解周长
【详解】解：设扇形的半径r，扇形OAB的圆心角为4弧度，弧长为：4r，
其面积为8，
可得4r×r＝8，
解得r＝2
扇形的周长：2+2+8＝12
故选：A
3、A
【解析】直线经过两点，，且倾斜角为，则
故答案为A．
4、B
【解析】
分析】
将代入求得，进而可得的值.
【详解】因为函数的 图象过点，
所以，
则，
所以，，
故选：B.
5、A
【解析】根据向量的减法运算可化简已知等式为，从而得到三角形的中线和底边垂直，从而得到三角形形状.
详解】
三角形的中线和底边垂直 是等腰三角形
本题正确选项：
【点睛】本题考查求解三角形形状的问题，关键是能够通过向量的线性运算得到数量积关系，根据数量积为零求得垂直关系.
6、D
【解析】设G为AD的中点，连接GF，GE，由三角形中位线定理可得，，则∠GFE即为EF与CD所成的角，结合AB=2，CD=4，EF⊥AB，在△GEF中，利用三角函数即可得到答案.
【详解】解：设G为AD的中点，连接GF，GE
则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线.
∴ ，且，，且，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数
又EF⊥ AB，
∴ EF⊥ GF
则△GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°
∴ 在直角△GEF中，
∴ ∠GEF=30°
故选：D.

7、A
【解析】,所以集合A的真子集的个数为个，故选A.
考点：子集
8、C
【解析】由已知可得，故选C
考点：集合的基本运算
9、D
【解析】利用随机数表从给定位置开始依次取两个数字，根据与20的大小关系可得第5个个体的编号.
【详解】从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始由左向右依次选取两个数字，
小于或等于20的5个编号分别为：07，03，13，20，16，
故第5个个体编号为16.
故选：D.
【点睛】本题考查随机数表抽样，此类问题理解抽样规则是关键，本题属于容易题.
10、A
【解析】由偶函数性质得函数在上的单调性，然后由单调性解不等式
【详解】因为偶函数在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，
因为，
所以，解得：.
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用基本不等式可得，即求.
【详解】依题意，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：.
12、
【解析】由题意可得：，则，
据此有，即函数的周期为，
设，则，据此可得：
，
若，则，
此时.
13、
【解析】利用换元法，将变为，然后利用三角恒等变换，求三角函数的值域，可得答案.
【详解】由，得，
可设，
故，不妨取为锐角，
而，时取最大值），
，
故函数的值域为，
故答案为:.
14、 ①. ②.
【解析】由已知求得正八面体的棱长为，进而求得，即知外接球的半径，进而求得体积；若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离，证得平面，再利用相似可知，即可求得半径.
【详解】如图，记该八面体为，O为正方形的中心，则平面

设，则，解得.
在正方形中，，则
在直角中，知，即正八面体外接球的半径为
故该正八面体外接球的体积为.
若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离.
取的中点E，连接，，则，
又，，平面
过O作于H，又，，所以平面，
又，，则，
则该球半径的最大值为.
故答案为：，
15、
【解析】利用函数是减函数,根据对数的图象和性质判断出的大致范围，再根据为减函数，得到不等式组,利用函数的图象,方程的解的个数,推出的范围
【详解】函数（且），
在上单调递减，则：；
解得，
由图象可知，在上,有且仅有一个解，
故在上,同样有且仅有一个解，
当即时,联立,
则,解得或1（舍去），
当时由图象可知，符合条件，
综上：的取值范围为.
故答案为

【点睛】本题考查函数的单调性和方程的零点,对于分段函数在定义域内是减函数,除了每一段都是减函数以外,还要注意右段在左段的下方,经常会被忽略,是一个易错点；复杂方程的解通常转化为函数的零点,或两函数的交点,体现了数学结合思想,属于难题.
16、2.
【解析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果
详解：
由题意知底面圆的直径AB＝2，
故底面周长等于2π.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝，

解得n＝90，
所以展开图中∠PSC＝90°，

根据勾股定理求得PC＝2，
所以小虫爬行的最短距离为2.
故答案为2
点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决
三、

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）的最大值为，最小值为.
【解析】（1）根据求出，求得，再利用函数单调性的定义，即可证得结论；
（2）根据在上的单调性，求在上的最值即可.
【详解】解：（1）因为，可得，解得，所以，
任取，则，
因为，所以，可得，即且，
所以，即，所以在上是增函数；
（2）由（1）知，在上是增函数，
同理，任取时，，其中，故，即且，故，即，所以在上是减函数，故在上是减函数，在上是增函数，又，，
所以的最大值为，最小值为.
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性方法：
（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义作出结论.
即取值——作差——变形——定号——下结论.
18、（1）；（2）.
【解析】（1先根据三角函数定义求得，，再求的值即可；
（2）根据题意得，再结合三角函数的性质即可求得答案.
【详解】解：（1）因为点在角的终边上，
所以，，
所以
.
（2）令，
因为，所以，
而在上单调递增，在上单调递减，
且，，
所以函数在上的最大值为1，最小值为，
即，
所以的值域是.
【点睛】本题考查三角函数的定义，整体换元法求函数的值域，考查运算能力，是中档题.
19、（1）见解析；（2）
【解析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式为f（x）＝，进而得到函数的周期与值域；
（2）由(1)知，利用二倍角余弦公式可得所求.
【详解】(1)由已知，
，
，
∴ 又，则
所以的最小正周期为
在时的值域为.
(2)由(1)知，
所以
则

【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查三角函数的化简求值，考查恒等变形能力，属于中档题.
20、
【解析】先求函数的定义域集合，再求函数的值域
【详解】由，得，所以函数的值域为
【点睛】求函数值域要先准确求出函数的定义域，注意函数解析式有意义的条件，及题目对自变量的限制条件
21、答案见解析
【解析】首先求出，再分和两种情况讨论，根据三角函数的定义计算可得；
详解】解：令，，
则，
①当时，
，，；
②当时，
，，；