2026届湖南省桃花源一中高二数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

2026届湖南省桃花源一中高二数学第一学期期末综合测试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
2．设，，，则下列不等式中一定成立的是（）
A. B.
C. D.
3．设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（）
A. B.
C. D.
4．在空间直角坐标系中，已知点M是点在坐标平面内的射影，则的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知命题，，则p的否定是（）
A. B.
C. D.
6．2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，这标志着中国空间站在轨组装建造全面展开，我国载人航天工程“三步走”战略成功迈出第三步.到今天，天和核心舱在轨已经九个多月.在这段时间里，空间站关键技术验证阶段完成了5次发射、4次航天员太空出舱、1次载人返回、1次太空授课等任务.一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知天和核心舱在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度大约351km，远地点高度大约385km，地球半径约6400km，则该轨道的离心率为（）
A. B.
C. D.
7．已知函数在上可导，且，则与的大小关系为
A. B.
C. D.不确定
8．在四面体OABC中，点M在线段OA上，且，N为BC中点，已知，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
9．已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
10．设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为（）
A. B.
C. D.
11．设是周期为2的奇函数，当时，，则　（　）
A. B.
C. D.
12．已知一个乒乓球从米高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度是原来高度的倍，则当它第8次着地时，经过的总路程是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．点为椭圆上的一动点，则点到直线的距离的最小值为___________.
14．下列是某厂1~4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则_______ .
月份
1
2
3
4
用水量
4.5
4
3
2.5

15．设、、是三个不同的平面，、是两条不同的直线，给出下列三个结论：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则
其中，正确结论的序号为__
16．若直线与直线平行，则直线与之间的距离为_____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆
（1）若直线与圆C相交于A、B两点,当弦长最短时,求直线l的方程;
（2）若与圆C相外切且与y轴相切的圆的圆心记为D,求D点的轨迹方程
18．（12分）如图，四棱锥中，是边长为2的正三角形，底面为菱形，且平面平面，，为上一点，满足.

（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
19．（12分）已知抛物线C：的焦点为F，为抛物线C上一点，且
（1）求抛物线C的方程：
（2）若以点为圆心，为半径圆与C的准线交于A，B两点，过A，B分别作准线的垂线交抛物线C于D，E两点，若，证明直线DE过定点
20．（12分）各项都为正数的数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求；
（3）设，数列的前项和为，求使成立的的最小值.
21．（12分）已知函数
（Ⅰ）讨论函数的极值点的个数
（Ⅱ）若，，求的取值范围
22．（10分）已知圆与直线相切
（1）求圆O的标准方程；
（2）若线段AB的端点A在圆O上运动，端点B的坐标是，求线段AB的中点M的轨迹方程
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据渐近线方程设出双曲线方程，然后将点代入，进而求得答案.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以设双曲线方程为，将代入得：，即双曲线方程为.
故选：D.
2、B
【解析】利用特殊值法可判断ACD的正误，根据不等式的性质，可判断B的正误.
【详解】对于A中，令，，，，满足，，但，
故A错误；
对于B中，因为，所以由不等式的可加性，可得，
所以，故B正确；
对于C中，令，，，，满足，，但，
故C错误；
对于D中，令，，，，满足，，但，
故D错误
故选：B
3、B
【解析】根据椭圆的定义写出，再根据条件即可解得答案.
【详解】根据P为椭圆C：上一点，
则有，
又，所以，
故选：B.
4、C
【解析】点在平面内的射影是坐标不变，坐标为0的点.
【详解】点在坐标平面内的射影为，故点M的坐标是
故选：C
5、A
【解析】直接根据全称命题的否定写出结论.
【详解】命题，为全称命题，故p的否定是：.
故选：A
【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题
6、A
【解析】根据远地点和近地点，求出轨道即椭圆的半长轴和半焦距，即可求得答案.
【详解】设椭圆的半长轴为a，半焦距为c.
则根据题意得;
解得，
故该轨道即椭圆的离心率为，
故选：A
7、B
【解析】由,
所以.
8、B
【解析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解
【详解】因为N为BC中点，所以,
因为M在线段OA上，且，
所以，
所以，
故选：B

9、C
【解析】根据双曲线的定义和性质，当弦垂直于轴时，即可求出三角形的周长的最小值.
【详解】
由双曲线可知：

的周长为.
当轴时,周长最小值为
故选：C
10、D
【解析】先由抛物线方程求出点的坐标，准线方程为，再由可求得点的横坐标为4，从而可求出点的纵坐标，进而可求出的面积
【详解】由题意可得点的坐标，准线方程为，
因为为抛物线上一点，，
所以点的横坐标为4，
当时，，所以，
所以的面积为，
故选：D
11、A
【解析】由周期函数得，再由奇函数的性质通过得结论
【详解】∵函数是周期为2的周期函数，∴，而，
又函数为奇函数，∴．故选A
【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性，属于基础题．此类题型，求函数值时，一般先用周期性化自变量到已知区间关于原点对称的区间，然后再由奇函数性质求得函数值
12、C
【解析】根据等比数列的求和公式求解即可.
【详解】从第1次着地到第2次着地经过的路程为 ，第2次着地到第3次着地经过的路程为，组成以为首项，公比为的等比数列，所以第1次着地到第8次着地经过的路程为，所以经过的总路程是.
故答案为：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设与平行的直线与相切，求解出此时的方程，则点到直线距离的最大值可根据平行直线间的距离公式求解出.
【详解】设与平行的直线，当与椭圆相切时有：
，所以，
所以，所以，
由题意取时，到直线的距离较小
此时与（即）的距离为，
所以点到直线距离的最小值为，
故答案为：.
14、25
【解析】根据表格数据求出，代入，即可求出.
【详解】解：由题意知：，
，
将代入线性回归方程，
即，
解得：.
故答案为：5.25.
15、①②
【解析】利用线面垂直的性质可判断命题①、②的正误；利用特例法可判断命题③的正误.综合可得出结论.
【详解】、、是三个不同的平面，、是两条不同的直线.
对于①，若，，由同垂直于同一平面的两直线平行，可得，故①正确；
对于②，若，，由同垂直于同一直线的两平面平行，可得，故②正确；
对于③，若，，考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断、相交，则不正确
故答案为：①②
【点睛】本题考查空间中线面、面面位置关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于基础题.
16、
【解析】由直线平行求参数m，再利用平行直线的距离公式求与之间的距离.
【详解】由题设，，即，
所以，，
所以直线与之间的距离为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】(1)先求出直线过的定点,再根据弦长|AB|最短时,求解.
(2)用直译法求解
【小问1详解】
直线即,所以直线过定点.
当弦长|AB|最短时,
因为直线PC的斜率
所以此时直线的斜率
所以当弦长|AB|最短时,求直线的方程为,即
小问2详解】

设,易知圆心D在轴上方,圆D半径为
因为圆与圆外切,所以
即
整理得点的轨迹方程为
18、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）设为中点，连接，根据，证明平面得到答案.
（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，计算各点坐标，计算平面和平面的法向量，根据向量夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）设为中点，连接，，∵，∴，
又∵底面四边形为菱形，，∴为等边三角形，
∴，
又∴，，平面，∴平面，
而平面，∴.

（2）∵平面平面，平面平面，，
∴平面
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
由，，，即，

∴，，，
设为平面的法向量，则由，
令，得，，∴，
设为平面的法向量，则由，
令，得，，∴，
设二面角的平面角为，则，
∴二面角的的余弦值为.

【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，建立空间直角坐标系是解题的关键.
19、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）解方程和即得解；
（2）设，，将与圆P方程联立得到韦达定理，再写出直线的方程即得解.
【小问1详解】
解：因为为抛物线C上一点，且，
所以到抛物线C的准线的距离为2
则，，
则，所以，故抛物线C的方程为
【小问2详解】
证明：由（1）知，则圆P的方程为
设，，将与圆P的方程联立，可得，
则，
当时，，不妨令，
则，此时；
当时，直线DE的斜率为，
则直线DE的方程为，
即，
即，令且，得，直线过点；
综上，直线DE过定点
20、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）直接利用数列的递推关系式，结合等差数列的定义，即可求得数列的通项公式；
（2）化简，结合裂项相消法求出数列的和；
（3）利用分组法求得，结合，即可求得的最小值.
【小问1详解】
解：因为各项都为正数的数列的前项和为，且满足，
当时，解得；
当时，；
两式相减可得，整理得（常数），
故数列是以2为首项，2为公差的等差数列；
所以.
【小问2详解】
解：由，可得，所以，
所以.
【小问3详解】
解：由，可得，
所以当为偶数时，，
因为，且为偶数，所以的最小值为48；
当为奇数时，，不存在最小的值，
故当为48时，满足条件.
21、（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）求得，分，和三种情况讨论，求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解；
（Ⅱ）由不等式，转化为当时，不等式恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】（Ⅰ）由题意，函数的定义域为，
且，
当时，令，解得，
令，解得或，
故在上单调递减，在，上单调递增，
所以有一个极值点；
当时，令，解得或，

令，得，
故在，上单调递减，在上单调递增，
所以有一个极值点；
当时，上单调递增，在上单调递减，
所以没有极值点
综上所述，当时，有个极值点；当时，没有极值点.
（Ⅱ）由，即，可得，
即当时，不等式恒成立，
设，则
设，则
因为，所以，所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以
所以的取值范围是.
【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题
3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
22、（1）
（2）
【解析】(1)由圆心到直线的距离等于半径即可求出.
(2)由相关点法即可求出轨迹方程.
【小问1详解】
已知圆与直线相切，所以圆心到直线的距离为半径．所以，所以圆O的标准方程为：
【小问2详解】
设因为AB的中点是M，则，所以，
又因A在圆O上运动，则，所以带入有：，化简得：
．线段AB的中点M的轨迹方程为:.