云南省文山州马关县一中2026届数学高二第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

云南省文山州马关县一中2026届数学高二第一学期期末学业水平测试模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，则输出的

A. B.
C. D.
2．函数的图象如图所示，则下列大小关系正确的是（ ）

A.
B.
C.
D.
3． “”是直线与直线平行的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．已知命题p：函数在（0，1）内恰有一个零点；
命题q：函数在上是减函数，若p且为真命题，则实数的取值范围是
A. B.2
C.1<≤ 2 D.≤ l或>2
5．已知，，若，则实数（）
A. B.
C.2 D.
6．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7．执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（）

A. B.
C. D.
8．在等差数列中，已知，，则使数列的前n项和成立时n的最小值为（ ）
A.6 B.7
C.9 D.10
9．在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（）
A.12 B.32
C.36 D.37
10．函数，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
11．如图，在正方体ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为A-l-P为θ，已知初始状态下x=0，d=0，则（）

A.当x增大时，θ先增大后减小 B.当x增大时，θ先减小后增大
C.当d增大时，θ先增大后减小 D.当d增大时，θ先减小后增大
12．等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知正方体,点在底面内运动,且始终保持平面,设直线与底面所成的角为,则的最大值为______.
14．已知等比数列的前n项和为，且满足，则_____________
15．直线与圆交于A、B两点，当弦AB的长度最短时，则三角形ABC的面积为________
16．数列的前项和为，若，则=____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆与直线相切，点G为椭圆上任意一点，，，且的最大值为3
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线与椭圆C交于不同两点E，F，点O为坐标原点，且，当的面积取最大值时，求的取值范围
18．（12分）已知函数在处有极值，且其图象经过点.
（1）求的解析式；
（2）求在的最值.
19．（12分）已知椭圆：经过点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.已知点，且，求此时的值.
20．（12分）如图1，在中，，，，分别是，边上的中点，将沿折起到的位置，使，如图2

（1）求点到平面距离；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为．若存在，求出长；若不存在，请说明理由
21．（12分）已知二次函数，.
（1）若，求函数的最小值；
（2）若，解关于x的不等式.
22．（10分）已知数列中，，___________，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求证：数列是等比数列；
（3）求数列的前n项和.
从①前n项和，②，③且，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据输入的条件执行循环，并且每一次都要判断结论是或否，直至退出循环.
【详解】，，，；，
【点睛】本题考查程序框图，执行循环，属于基础题.
2、C
【解析】根据导数的几何意义可得答案.
【详解】因为函数在某点处的导数值表示的是此点处切线的斜率，
所以由图可得，
故选：C
3、C
【解析】先根据直线平行的充要条件求出a，然后可得.
【详解】若，则，，显然平行；
若直线，则且，即.
故“”是直线与直线平行的充要条件.
故选：C
4、C
【解析】命题p为真时：；命题q为真时：，因为p且为真命题，所以命题p为真，命题q为假，即，选C
考点：命题真假
5、D
【解析】根据给定条件利用空间向量平行的坐标表示计算作答.
【详解】因，又，则，解得，
所以实数.
故选：D
6、D
【解析】根据题意参变分离得到，求出的最小值，进而求出实数a的取值范围.
【详解】由题意得：在上恒成立，即，其中在处取得最小值，，所以，解得：，
故选：D
7、B
【解析】列举出循环的每一步，利用裂项相消法可求得输出结果.
【详解】第一次循环，不成立，，；
第二次循环，不成立，，；
第三次循环，不成立，，；

以此类推，最后一次循环，不成立，
，.
成立，跳出循环体，输出.
故选：B.
8、D
【解析】根据等差数列的性质及等差中项结合前项和公式求得，,从而得出结论.
【详解】，，，，，
，,使数列的前n项和成立时n的最小值为10，
故选：D.
9、C
【解析】直接按照等差数列项数性质求解即可.
【详解】数列的前6项之和为.
故选：C.
10、B
【解析】求出函数的导数，代入求值即可.
【详解】函数,故，
所以，
故选：B
11、C
【解析】以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(2, x, 0)，A (2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，，求得平面AMN的法向量为，平面PMN的法向量，由空间向量的夹角公式表示出，对于A，B选项，令d =0，则
，由函数的单调性可判断；对于C，D，当x=0时，则，令利用导函数研究函数的单调性可判断.
【详解】解：由题意，以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示,

设正方体的棱长为2，则P(2, x, 0)，A (2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，
则，
所以，
，
设平面AMN的法向量为，
则，即，
令，则，
设平面PMN的法向量为，
则，即，
令，则，
，
对于A，B选项，令d =0，则
，
显示函数在是为减函数，即减小，则增大，故选项A，B错误；
对于C，D，

对于给定的，如图，过作，垂足为，过作，垂足为，
过作，垂足为，
当在下方时，，
设，则对于给定的，为定值，
此时设二面角为，二面角为，
则二面角为，且，
故，
而，故即，
当时，为减函数，故为增函数，
当时，为增函数，故为减函数，
故先增后减，故D错误.
当在上方时，，
则对于给定的，为定值，则有二面角为，
且，
因，故为增函数，故为减函数，
综上，对于给定的，随的增大而减少，

故选：C.
12、B
【解析】由等差数列的性质将转化为，而，可知数列是递增数，从而可求得结果
【详解】∵等差数列中，，
∴，即．又，
∴的前项和的最小值为
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】画出立体图形,因为面面,在底面内运动,且始终保持平面,可得点在线段上运动,因为面面,直线与底面所成的角和直线与底面所成的角相等,即可求得答案.
【详解】连接和

,
面面
在底面内运动,且始终保持平面
可得点在线段上运动,
面面,
直线与底面所成的角和直线与底面所成的角相等
面
直线与底面所成的角为:
有图像可知:
长是定值,
当最短时,,即最大,即角最大
设正方体的边长为

,

故
故答案为:
【点睛】本题考查了求线面角的最大值,解题是掌握线面角的定义和处理动点问题时,应画出图形,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
14、##31.5
【解析】根据等比数列通项公式，求出，代入求和公式，即可得答案.
【详解】因为数列为等比数列，
所以，又，
所以，
所以.
故答案为：
15、
【解析】由于直线过定点，所以当时，弦AB的长度最短，然后先求出的长，再利用勾股定理可求出的长，从而可求出三角形ABC的面积
【详解】因为直线恒过定点，圆的圆心，半径为，
所以当时，弦AB的长度最短，
因为，
所以，
所以三角形ABC的面积为，
故答案为：
16、
【解析】利用裂项相消法求和即可.
【详解】解：因为，
所以.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2
【解析】（1）设点，根据题意，得到，根据向量数量积的坐标表示，得到，根据其最小值，求出，即可得出椭圆方程；
（2）设，，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，由弦长公式，以及点到直线距离公式，求出的面积的最值，得到；得出点的轨迹为椭圆，且点为椭圆的左、右焦点，记，则，得到，根据对勾函数求出最值.
【小问1详解】
设点，由题意知，
所以：，则，
当时，取得最大值，即，
故椭圆C的标准方程是
【小问2详解】
设，，，则由得
(，
，点O到直线l的距离，

对用均值不等式，则：
当且仅当即，①
，S取得最大值．此时，，
，即，代入①式整理得，
即点M的轨迹为椭圆
且点，为椭圆的左、右焦点，即
记，则于是：
，

由对勾函数的性质：当时，，
且，
故的取值范围为
18、（1）（2），
【解析】（1）由与解方程组即可得解；
（2）求导后得到函数的单调区间与极值后，比较端点值即可得解.
【详解】（1）求导得，处有极值，即，
又 图象过点，代入可得.
.
（2）由（1）知，令得
又 ，.
列表如下：

0

2

3

0
+

4
↘
极小值
↗
1
在时，，.
【点睛】本题考查了导数的简单应用，属于基础题.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）根据椭圆离心率公式，结合代入法进行求解即可；
（2）根据直线与椭圆的位置关系求出点的坐标，结合平面向量垂直的性质进行求解即可.
【详解】（1）由已知得，，而，解得，
椭圆的方程为；
（2）设直线方程为
代入得，
化简得
由，
得，，

设，则，，
则
设，则，则，
所以在轴存在使.
，

，所以在.
20、（1）
（2）存在，
【解析】（1）根据题意分别由已知条件计算出的面积和的面积，利用求解，
（2）如图建立空间直角坐标系，设，然后求出平面与平面的法向量，利用向量平夹角公式列方程可求得结果
【小问1详解】
在中，，因为，分别是，边上的中点，
所以∥，，
所以，
所以，
因为，所以平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以，
因为平面，平面，
所以平面平面，
因为，所以，
因为，所以是等边三角形，
取的中点，连接，则，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
在中，，
所以边上的高为，
所以，
在梯形中，，
设点到平面的距离为，
因为，所以，
所以，得，
所以点到平面的距离为
【小问2详解】
由（1）可知平面，，
所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
,
设，则
，
设平面的法向量为，则
，令，则，
设平面的法向量为，则
，令，则，
则平面与平面夹角的余弦值为
，
两边平方得
解得或（舍去），
所以，所以

21、（1）
（2）当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
【解析】（1）带入，将化解为，再利用基本不等式求最值即可；
（2）将不等式移项整理为，再对a分类讨论，比较两根的大小，即可求得解集.
【小问1详解】
当a=3时，函数可整理为，因为，所以利用基本不等式，当且仅当，即时，y取到最小值.所以，当时，函数的最小值为.
【小问2详解】
将不等式整理为，令，即，解得两根为与1，
因为，
当时，即时，此时的解集为；
当时，即时，此时的解集为；
当时，即时，此时的解集为.
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
22、（1）
（2）见解析（3）
【解析】（1）选①，根据与的关系即可得出答案；
选②，根据与的关系结合等差数列的定义即可得出答案；
选③，利用等差中项法可得数列是等差数列，再求出公差，即可得解；
（2）求出数列的通项公式，再根据等比数列的定义即可得证；
（3）求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可得出答案.
【小问1详解】
解：选①，
当时，，
当时，也成立，
所以；
选②，
因为，
所以，
所以数列是以为公差的等差数列，
所以；
选③且，
因为，所以数列是等差数列，
公差，
所以；
【小问2详解】
解：由（1）得，
则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
【小问3详解】
解：，
，①
，②
由①②得，
所以.