山东省济南第一中学2025年高一上数学期末联考模拟试题含解析.doc

山东省济南第一中学2025年高一上数学期末联考模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为2，则扇形的弧长等于　　
A. B.
C. D.
2．已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围是
A. B.
C. D.
3．已知函数，的图象如图，若，，且，则（　　）

A.0 B.1
C. D.
4．已知O是所在平面内的一定点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（ ）
A.内心 B.外心
C.重心 D.垂心
5．已知函数，且f（5a﹣2）＞﹣f（a﹣2），则a的取值范围是（　　）
A.（0，+∞） B.（﹣∞，0）
C. D.
6．若，则的值是（）
A. B.
C. D.1
7．借助信息技术画出函数和（a为实数）的图象，当时图象如图所示，则函数的零点个数为（）

A.3 B.2
C.1 D.0
8．如下图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中
① ②与成角
③与为异面直线 ④
以上四个命题中，正确的序号是

A.①②③ B.②④
C.③④ D.②③④
9．下列函数中，最小正周期为的是（）
A. B.
C. D.
10．已知函数为偶函数，在单调递减，且在该区间上没有零点，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数关于对称，则常数的最大负值为________
12．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为______
13．如果，且，则化简为_____.
14．直线与平行，则的值为_________.
15．如果在实数运算中定义新运算“”：当时，；当时，．那么函数的零点个数为______
16．函数f(x)＝＋的定义域为____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算：（1）.
（2）（是自然对数的底数）.
18．某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x与利润y（单位：万元）分别满足函数关系与

（1）求，与，的值；
（2）该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值
19．已知集合，，
（1）求；
（2）若，求m的取值范围
20．已知二次函数
（）若函数在上单调递减，求实数的取值范围
（）是否存在常数，当时，在值域为区间且？
21．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为，边界忽略不计)即为中奖.
乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖.问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据题意画出图形，结合图形求出半径r，再计算弧长
【详解】如图所示，

，，过点O作，C垂足，
延长OC交于D，则，；
中，，
从而弧长为，故选A
【点睛】本题考查了弧长公式的应用问题，求出扇形的半径是解题的关键，属于基础题
2、B
【解析】不妨设，的图像如图所示，
则，，
其中，
故，也就是，
则，
因，故.
故选：B.

【点睛】函数有四个不同零点可以转化为的图像与动直线有四个不同的交点，注意函数的图像有局部对称性，而且还是倒数关系.
3、A
【解析】根据图象求得函数解析式，再由，，且，
得到的图象关于对称求解.
【详解】由图象知：，
则，，
所以，
因在函数图象上，
所以，
则，
解得，
因为，则，
所以，
因为，，且，
所以的图象关于对称，
所以，
故选：A
4、A
【解析】表示的是方向上的单位向量，画图象，根据图象可知点在的角平分线上，故动点必过三角形的内心.
【详解】如图，设，，
已知均为单位向量，

故四边形为菱形，所以平分，
由
得，又与有公共点，
故三点共线，
所以点在的角平分线上，故动点的轨迹经过的内心.
故选：A.
5、D
【解析】由定义可求函数的奇偶性，进而将所求不等式转化为f（5a﹣2）＞f（﹣a+2），结合函数的单调性可得关于a的不等式，从而可求出a的取值范围.
【详解】解：根据题意，函数，其定义域为R，
又由f（﹣x）f（x），f（x）为奇函数，
又，函数y＝9x+1为增函数，则f（x）在R上单调递增；
f（5a﹣2）＞﹣f（a﹣2）⇒f（5a﹣2）＞f（﹣a+2）⇒5a﹣2＞﹣a+2，解可得，
故选:D.
【点睛】关键点睛：本题的关键是由奇偶性转化已知不等式，再求出函数单调性求出关于a的不等式.
6、D
【解析】由求出a、b，表示出，进而求出的值.
详解】由,

.
故选：D
7、B
【解析】由转化为与的图象交点个数来确定正确选项.
【详解】令，，
所以函数的零点个数即与的图象交点个数，
结合图象可知与的图象有个交点，
所以函数有个零点.
故选：B
8、D
【解析】
由已知中正方体的平面展开图，得到正方体的直观图如上图所示：
由正方体的几何特征可得：①不平行，不正确；  ②AN∥BM，所以，CN与BM所成的角就是∠ANC=60°角，正确；③与不平行、不相交，故异面直线与为异面直线，正确；
④易证，故，正确；故选D
9、D
【解析】利用三角函数的周期性求解.
【详解】A.周期为，
B.的周期为，
C.的周期为，
D.的周期为，
故选：D
10、D
【解析】根据函数为偶函数，得到，再根据函数在单调递减，且在该区间上没有零点，由求解.
【详解】因为函数为偶函数，
所以，
由，
得，
因为函数在单调递减，且在该区间上没有零点，
所以，
解得，
所以的取值范围为，
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据函数的对称性，利用，建立方程进行求解即可
【详解】若关于对称，
则，
即，
即，
则，
则，，
当时，，
故答案为：
12、
【解析】计算得出，利用海伦—秦九韶公式可得出，利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】，所以，.
当且仅当时，等号成立，且此时三边可以构成三角形.
因此，该三角形面积的最大值为.
故答案为：.
13、
【解析】由，且，得到是第二象限角，由此能化简
【详解】解：∵，且，∴是第二象限角，
∴
故答案为：
14、
【解析】根据两直线平行得出实数满足的等式与不等式，解出即可.
【详解】由于直线与平行，则，
解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查运算求解能力，属于基础题.
15、
【解析】化简函数的解析式，解方程，即可得解.
【详解】当时，即当时，由，可得；
当时，即当时，由，可得（舍）.
综上所述，函数的零点个数为.
故答案为：.
16、
【解析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.
【详解】根据题意，由，解得且，因此定义域为.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）4.
【解析】（1）根据指数幂的运算法则逐一进行化简；
（2）根据对数幂的运算法则进行化简；
【详解解：（1）原式；
（2）原式.
【点睛】指数幂运算的一般原则
（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；
（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
（3）底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；
（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.
18、（1），，，
（2）分配生产乙商品的投资为1万元，甲商品的投资为万元，此时总利润的最大值为31.5万元.
【解析】（1）代入点的坐标，求出，与，的值；（2）在第一问的基础上，表达出总利润的关系式，利用配方求出最大值.
【小问1详解】
将代入中，
，解得：，
将代入中，
，解得：，
所以，，，.
【小问2详解】
设分配生产乙商品的投资为m（0≤m≤20）万元、甲商品的投资为万元，此时的总利润为w，
则，
因为0≤m≤20，所以当，即时，w取得最大值，即分配生产乙商品的投资为1万元，甲商品的投资为万元，此时总利润的最大值为31.5万元.
19、（1）
（2）
【解析】（1）先求得集合A，再由集合的补集运算和交集运算可求得答案；
（2）根据条件建立不等式组，可求得所求范围.
【小问1详解】
因为，，
所以，
【小问2详解】
因为，所以
解得．故m的取值范围是
20、 (1)．(2)存在常数，，满足条件
【解析】(1)结合二次函数的对称轴得到关于实数m的不等式，求解不等式可得实数的取值范围为
(2)在区间上是减函数，在区间上是增函数．据此分类讨论：
①当时，
②当时，
③当，
综上可知，存在常数，，满足条件
试题解析：
（）∵二次函数的对称轴为，
又∵在上单调递减，
∴，，
即实数的取值范围为
（）在区间上是减函数，在区间上是增函数
①当时，在区间上，最大，最小，
∴，即，
解得
②当时，在区间上，最大，最小，
∴，解得
③当，在区间上，最大，最小，
∴，即，
解得或，
∴
综上可知，存在常数，，满足条件
点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析
21、乙商场中奖的可能性大.
【解析】分别计算两种方案中奖的概率．先记出事件，得到试验发生包含的所有事件，和符合条件的事件，由等可能事件的概率公式得到
试题解析：
如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积，阴影部分的面积为，
则在甲商场中奖的概率为；
如果顾客去乙商场，记3个白球为，，，3个红球为，，，记(，)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：
，，，，，，，，，，，，，，，共15种，
摸到的是2个红球有，，，共3种，
则在乙商场中奖的概率为，
又，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大.