2025-2026学年江苏南通中学数学高一第一学期期末考试试题含解析.doc

2025-2026学年江苏南通中学数学高一第一学期期末考试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．不等式的解集是（）
A B.
C.或 D.或
2．设全集，集合，集合，则集合（）
A. B.
C. D.
3．将函数，且，下列说法错误的是（ ）
A.为偶函数 B.
C.若在上单调递减，则的最大值为9 D.当时，在上有3个零点
4． (程序如下图）程序的输出结果为

A.3，4 B.7，7
C.7，8 D.7，11
5．已知角x的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角x的最小正值为(　　)
A. B.
C. D.
6．当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（）
A. B.
C. D.
7．甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（）

A.甲得分的极差大于乙得分的极差 B.甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数
C.甲得分的平均数小于乙得分的平均数 D.甲得分的标准差小于乙得分的标准差
8．已知指数函数是减函数，若，，，则m，n，p的大小关系是（）
A. B.
C. D.
9．直线l过点，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．设函数，则当时，的取值为
A.-4 B.4
C.-10 D.10
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为______
12．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”．若函数为 “倍缩函数”，则实数的取值范围是_______
13．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（时）之间近似满足如图所示的图象．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为___________小时．

14．集合，用列举法可以表示为_________
15．在平面直角坐标系中，已知点A在单位圆上且位于第三象限，点A的纵坐标为，现将点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为，则点B的坐标为___________.
16．已知，则_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数在区间上单调，当时， 取得最大值5，当时， 取得最小值-1.
（1）求的解析式
（2）当时， 函数有8个零点， 求实数的取值范围
18．已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）若，求的值.
19．已知两点，，两直线：，：
求：（1）过点且与直线平行的直线方程；
（2）过线段的中点以及直线与的交点的直线方程
20．已知全集，集合，
（1）求，；
（2）若，，求实数m的取值范围.
21．如图，三棱锥中，平面平面，，，

（1）求三棱锥的体积；
（2）在平面内经过点，画一条直线，使，请写出作法，并说明理由
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】将分式不等式移项、通分，再转化为等价一元二次不等式，解得即可；
【详解】解：∵，，即，等价于且，解得或，∴所求不等式的解集为或，
故选：D.
2、D
【解析】利用补集和交集的定义可求得结果.
【详解】由已知可得或，因此，，
故选：D.
3、C
【解析】先求得，然后结合函数的奇偶性、单调性、零点对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】，

，
所以，为偶函数，A选项正确.
，B选项正确.
，若在上单调递减，
则，，
由于，所以，
所以的最大值为，的最大值为，C选项错误.
当时，，
，当时，，所以D选项正确.
故选：C
4、D
【解析】∵变量初始值X=3，Y=4，
∴根据X=X+Y得输出的X=7.
又∵Y=X+Y，
∴输出的Y=11.
故选D.
5、B
【解析】先根据角终边上点的坐标判断出角的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角的最小正值
【详解】因为，，所以角的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知
，故角的最小正值为
故选：B
【点睛】本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题
6、B
【解析】由定义域和，使用排除法可得.
【详解】的定义域为，故AD错误；BC中，又因为，所以，故C错误，B正确.
故选：B
7、B
【解析】根据图表数据特征进行判断即可得解.
【详解】乙组数据最大值29，最小值5，极差24，甲组最大值小于29，最小值大于5，所以A选项说法错误；
甲得分的75%分位数是20，,乙得分的75%分位数17，所以B选项说法正确；
甲组具体数据不易看出，不能判断C选项；
乙组数据更集中，标准差更小，所以D选项错误
故选：B
8、B
【解析】由已知可知，再利用指对幂函数的性质，比较m，n，p与0，1的大小，即可得解.
【详解】由指数函数是减函数，可知，
结合幂函数的性质可知，即
结合指数函数的性质可知，即
结合对数函数的性质可知，即，
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题考查比较大小，比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法，解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
9、D
【解析】作出图形，并将直线l绕着点M进行旋转，使其与线段PQ相交，进而得到l斜率的取值范围.
【详解】∵直线l过点，且与以，为端点的线段相交，如图所示：

∴所求直线l的斜率k满足或，
，
则或，
∴，
故选：D
10、C
【解析】详解】令，则，选C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】根据题意，由函数在（﹣∞，0）上的解析式可得f（﹣1）的值，又由函数为奇函数可得f（1）=﹣f（﹣1），即可得答案
【详解】根据题意，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，
则f（﹣1）=2×（﹣1）3+（﹣1）2=﹣1，
又由函数奇函数，
则f（1）=﹣f（﹣1）=1；
故答案为1
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，注意利用奇偶性明确f（1）与f（﹣1）的关系
12、
【解析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围.
【详解】因为函数为“倍缩函数”，即满足存在，使在上的值域是，
由复合函数单调性可知函数在上是增函数
所以，则，即
所以方程有两个不等实根，且两根都大于0.
令，则，所以方程变为：.
则，解得
所以实数的取值范围是.
故答案为：
13、
【解析】根据图象先求出函数的解析式，然后由已知构造不等式0.25，解不等式可得每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，他们之间的差值即为服药一次治疗疾病有效的时间
【详解】解：当时，函数图象是一个线段，由于过原点与点，
故其解析式为，
当时，函数的解析式为，
因为在曲线上，所以，解得，
所以函数的解析式为，
综上，，
由题意有，解得，所以，
所以服药一次治疗疾病有效的时间为个小时，
故答案为：．
14、##
【解析】根据集合元素属性特征进行求解即可.
【详解】因为，所以，可得，因为，所以，集合
故答案为：
15、
【解析】设点A是角终边与单位圆的交点，根据三角函数的定义及平方关系求出，，再利用诱导公式求出，即可得出答案.
【详解】解：设点A是角的终边与单位圆的交点，
因为点A在单位圆上且位于第三象限，点A的纵坐标为，
所以，，
因为点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为，
所以，
所以点的横坐标为，
纵坐标为，
即点B的坐标为.
故答案为：.

16、

【解析】
将条件平方可得答案.
【详解】因为，所以，所以
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】(1)由函数的最大值和最小值求出,由周期求出ω,由特殊点的坐标出φ的值,可得函数的解析式
(2)等价于时,方程有个不同的解.即与有个不同交点,画图数形结合即可解得
【详解】(1)由题知, ..又,即,的解析式为.
(2)当时,函数有个零点,
等价于时,方程有个不同的解.
即与有个不同交点.
由图知必有,

即.实数的取值范围是.
【点睛】已知函数有零点求参数常用的方法和思路：

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离,转化成函数的值域问题解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形,在同一个平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.
18、（1），；（2）
【解析】（1）根据对称轴和周期可求和的值
（2）由题设可得，利用同角的三角函数的基本关系式可得，利用诱导公式和两角和的正弦可求的值
【详解】（1）因为图象相邻两个最高点的距离为，故周期为，
所以，故
又图象关于直线，故，
所以，因为，故
（2）由（1）得，
因为，故，
因为，故，故
又

【点睛】方法点睛三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.
19、（1）（2）
【解析】【试题分析】（1）设所求直线方程为：，将点坐标代入，求得的值，即得所求.（2）求得中点坐标和直线交点的坐标，利用点斜式得到所求直线方程.
【试题解析】
（1）设与：平行的直线方程为：，
将代入，得，解得，
故所求直线方程是：
（2）∵，，∴线段的中点是，
设两直线的交点为，联立解得交点，
则，
故所求直线的方程为：，即
20、（1），或
（2）
【解析】（1）首先解指数不等式求出集合，再根据交集、并集、补集的定义计算可得；
（2）依题意可得，即可得到不等式，解得即可；
小问1详解】
解：由，即，解得，
所以，
又，所以，
或，所以或；
【小问2详解】
解：因为，所以，所以，解得，即；
21、（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）取的中点，连接，因为，所以，由面面垂直的性质可得平面，求出的值，利用三角形面积公式求出底面积，从而根据棱锥的条件公式可得三棱锥的体积；（2）在平面中，过点作，交于点，
在平面中，过点作，交于点，连结，则直线就是所求的直线，根据作法，利用线面垂直的判定定理与性质可证明.
试题解析：（1）取的中点，连接，
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为，，所以，
因为，所以的面积，
所以三棱锥的体积
（2）在平面中，过点作，交于点，
在平面中，过点作，交于点，
连结，则直线就是所求的直线，
由作法可知，，
又因为，所以平面，所以，即