2025-2026学年安徽省亳州市黉学高级中学数学高一第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

2025-2026学年安徽省亳州市黉学高级中学数学高一第一学期期末学业水平测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在空间直角坐标系中，已知球的球心为，且点在球的球面上，则球的半径为（）
A.4 B.5
C.16 D.25
2．，，则p是q的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．函数为定义在R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4．已知集合， ，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5．如果且，那么直线不经过（）
A第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6．若直线l1：2x+y-1=0与l2：y=kx-1平行，则l1，l2之间的距离等于（　　）
A. B.
C. D.
7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线所成的角等于(　　)
A30° B.45°
C.60° D.90°
8．已知，若，则
A.1 B.2
C.3 D.4
9．已知第二象限角的终边上有异于原点的两点，，且，若，则的最小值为（）
A. B.3
C. D.4
10．已知平面直角坐标系中，点，，，、、，，是线段AB的九等分点，则（ ）
A.45 B.50
C.90 D.100
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图所示，中，，边AC上的高，则其水平放置的直观图的面积为______

12．已知函数，则______
13．边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为______
14．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________
15．已知A，B，C为的内角.
（1）若，求的取值范围；
（2）求证：；
（3）设，且，，，求证：
16．已知，则的值为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知二次函数图象经过原点，函数是偶函数，方程有两相等实根.
（1）求的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围.
18．如图，甲、乙是边长为的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）

（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；
（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论
19．某汽车配件厂拟引进智能机器人来代替人工进行某个操作，以提高运作效率和降低人工成本，已知购买x台机器人的总成本为（万元）
（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（2）现按（1）中求得的数量购买机器人，需要安排m人协助机器人，经实验知，每台机器人的日平均工作量（单位：次），已知传统人工每人每日的平均工作量为400次，问引进机器人后，日平均工作量达最大值时，用人数量比引进机器人前工作量达此最大值时的用人数量减少百分之几？
20．已知函数满足：.
（1）证明：；
（2）对满足已知的任意值，都有成立，求m的最小值.
21．已知函数是奇函数，且；
（1）判断函数在区间的单调性，并给予证明；
（2）已知函数（且），已知在的最大值为2，求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据空间中两点间距离公式,即可求得球的半径.
【详解】球的球心为,且点在球的球面上,
所以设球的半径为
则.
故选:B
【点睛】本题考查了空间中两点间距离公式的简单应用,属于基础题.
2、B
【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】解：因为，，
所以由不能推出，由能推出，故是的必要不充分条件
故选：B
3、B
【解析】由在单调递增可得函数为增函数，保证两个函数分别单调递增，且连接点处左端小于等于右端的函数值即可
【详解】由题意，函数为定义在R上的单调函数
且在单调递增
故在单调递增，即
且在处，
综上：
解得
故选：B
4、A
【解析】集合表示到的线段，集合表示过定点的直线，，说明线段和过定点的直线有交点，由此能求出实数的取值范围
【详解】由题意可得，集合表示到的线段上的点，集合表示恒过定点的直线.
∵
∴线段和过定点的直线有交点
∴根据图像得到只需满足，或
故选A．
【点睛】本题考查交集定义等基础知识，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．解答本题的关键是理解集合表示到的线段，集合表示过定点的直线，再通过得出直线与线段有交点，通过对应的斜率求解.
5、C
【解析】由条件可得直线的斜率的正负，直线在轴上的截距的正负，进而可得直线不经过的象限
【详解】解：由且，可得直线斜率为，直线在y轴上的截距，故直线不经过第三象限，
故选C
【点睛】本题主要考查确定直线位置的几何要素，属于基础题
6、B
【解析】根据两直线平行求得k的值，再求两直线之间的距离
【详解】直线l2的方程可化为kx-y-1=0，
由两直线平行得，k=-2；
∴l2的方程为2x+y+1=0，
∴l1，l2之间的距离为
故选B
【点睛】本题考查了直线平行以及平行线之间的距离应用问题，是基础题
7、C
【解析】在正方体中，连接，则，
则异面直线和所成的角就是相交直线和所成的角，即，
在等边三角形中，，故选C
8、A
【解析】构造函数，则为奇函数，根据可求得，进而可得到
【详解】令，则为奇函数，且，
由题意得，
∴，
∴，
∴.
故选A
【点睛】本题考查运用奇函数的性质求函数值，解题的关键是根据题意构造函数，体现了转化思想在解题中的应用，同时也考查观察、构造的能力，属于基础题
9、B
【解析】根据，得到，从而得到，进而得到，再利用“1”的代换以及基本不等式求解.
【详解】解：因为，
所以，
又第二象限角的终边上有异于原点的两点，，
所以，则，
因为，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：B
10、B
【解析】利用向量的加法以及数乘运算可得，再由向量模的坐标表示即可求解.
【详解】

，
∴

故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、.
【解析】直接根据直观图与原图像面积的关系求解即可.
【详解】的面积为，
由平面图形的面积与直观图的面积间的关系.
故答案为:.
12、
【解析】由分段函数解析式先求，再求.
【详解】由已知可得，故.
故答案为：2.
13、2
【解析】

取的中点，连接，，
则，
则为二面角的平面角

点睛：取的中点，连接，，根据正方形可知，，则为二面角的平面角，在三角形中求出的长．本题主要是在折叠问题中考查了两点间的距离．折叠问题要注意分清在折叠前后哪些量发生了变化，哪里量没变
14、0
【解析】由于正三角形的内角都为，且边BC所在直线的斜率是0，不妨设边AB所在直线的倾斜角为，则斜率为，则边AC所在直线的倾斜角为，斜率为，所以AC，AB所在直线的斜率之和为
15、（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）根据两角和的正切公式及均值不等式求解；
（2）先证明，
再由不等式证明即可；
（3）找出不等式的等价条件，换元后再根据函数的单调性构造不等式，利用不等式性质即可得证.
【小问1详解】
,
为锐角，

，
，

解得，当且仅当时，等号成立，
即.
【小问2详解】
在中，，

, ,
.
【小问3详解】
由（2）知

，
令，
原不等式等价为，
在上为增函数，
，
，
同理可得，
，，
，
故不等式成立，
问题得证
【点睛】本题第3问的证明需要用到，换元后转换为，再构造不等式是证明的关键，本题的难点就在利用函数单调性构造出不等式.
16、
【解析】用诱导公式计算
【详解】，，

故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）；（3）.
【解析】(1)运用待定系数法，结合题目条件计算得，
(2)分离参量，计算在上的最大值
(3)转化为有且只有一个实数根，换元，关于的方程只有一个正实根，转化为函数问题
解析：（1）设.由题意，得.
∴，
∵是偶函数，∴ 即.①
∵有两相等实根，∴且②
由①②，解得，∴.
（2）若对任意，恒成立，
只须在恒成立.
令，，则.
若对任意，恒成立，
只须满足.
∴.
（3）函数与的图像有且只有一个公共点，
即有且只有一个实数根，
即有且只有一个实数根.
令，则关于的方程 (记为式)只有一个正实根.
若，则不符合题意，舍去.
若，则方程的两根异号，∴即.
或者方程有两相等正根.
解得
∴.
综上，实数取值范围是.
点睛:本题是道综合题
18、 (1)见解析(2) 正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大
【解析】该四棱柱的底面为正方体，侧棱垂直底面，可知其由两个一样的正方形和四个完全相同的长方形组成，对图形进行切割，画出图形即可，画法不唯一；
正四棱柱的底面边长为，高为，正四棱锥的底面边长为，高为，结合体积公式求得体积，然后比较大小即可；
解析：（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为，高为的正四棱柱
将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面板长为，斜高为的正四棱锥

（2）∵正四棱柱的底面边长为，高为，∴其体积，
又∵正四棱锥的底面边长为，高为，
∴其体积
∵，
即，，∴，
故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大
（说明：裁剪方式不唯一，计算的体积也不一定相等）
点睛：本题考查了四棱锥和四棱柱的知识，需要掌握二者的特征以及其体积的求法，对于图形进行分割，画出图形即可，注意画法不唯一，结合体积公式求得体积，然后比较大小即完成解答
19、（1）8台 （2）
【解析】（1）根据题意将问题转化为对的求解，利用基本不等式即可；
（2）先求出一台机器人的最大日工作量，根据最大工作量再求出所需要的人数，通过比较即可求解.
【小问1详解】
由题意
当且仅当，即时，等号成立，
所以应购买8台，可使每台机器人的平均成本最低
【小问2详解】
由，
可得当时，，
所以时，
每台机器人的日平均工作量最大时，安排的人工数最小为20人，
而此时人工操作需要的人工数为，
所以可减少
20、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由二次不等式恒成立，可得判别式小于等于0，化简即可得证；
（2）由（1）可得，分别讨论或，运用参数分离和函数的单调性，可求得所求的最小值.
【详解】（1）证明：.即恒成立.则，化简得；
（2）由（1）得，
当时，，
令，则，令在上单调递增，所以，所以；
当时，，所以，此时或0，，从而有，
综上可得，m的最小值为.
【点睛】方法点睛：本题考查不等式的证明，以及不等式恒成立问题，常运用参变分离的方法，运用函数的单调性，最值的方法得以解决.
21、（1）函数在区间是递增函数；证明见解析；（2）或
【解析】（1）由奇函数定义建立方程组可求出，再用定义法证明单调性即可；
（2）根据复合函数的单调性，分类讨论的单调性，结合函数的单调性研究最值即可求解
【详解】（1）∵是奇函数，∴，
又，且，
所以，，经检验，满足题意
得，所以函数在区间是递增函数
证明如下：且，所以有：

由，得，，又，故，
所以，即，所以函数在区间是递增函数
（2）令，由（1）可得在区间递增函数，
①当时，是减函数，故当取得最小值时，
（且）取得最大值2，
在区间的最小值为，故的最大值是，∴
②当时，是增函数，故当取得最大值时，（且）取得最大值2，
在区间的最大值为，故的最大值是，
∴或