2025年江苏省南通巿高一数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025年江苏省南通巿高一数学第一学期期末质量跟踪监视试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若，，则等于（）
A. B.
C. D.
2．函数f(x)=-|sin 2x|在上零点的个数为(　　)
A.2 B.4
C.5 D.6
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于

A. B.
C. D.15
4．设集合，则（）
A. B.
C. D.
5．某几何体的三视图如图所示（图中小正方形网格的边长为），则该几何体的体积是

A. B.
C. D.
6．若函数的图象上存在一点满足，且，则称函数为“可相反函数”，在①；②； ③；④中，为“可相反函数”的全部序号是（ ）
A.①② B.②③
C.①③④ D.②③④
7．若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
8．函数（为自然对数的底）的零点所在的区间为
A. B.
C. D.
9．计算sin(－1380°)的值为（ ）
A. B.
C. D.
10．在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（）
A.2 B.3
C.4 D.5
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为____
12．我国古代数学名著《九章算术》中相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式.规定：“一个近似数与它准确数的差的绝对值叫这个近似数的绝对误差.”如果一个球体的体积为，那么用这个公式所求的直径d结果的绝对误差是___________.（参考数据：，结果精确到0.01）
13．已知一个扇形的弧长为，其圆心角为，则这扇形的面积为______

14．函数的图像恒过定点的坐标为_________.
15．已知函数.

（1）当函数取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）完成下表，并在平面直角坐标系内作出函数在的图象.
x
0

y

16．若，，则以、为根的一元二次方程可以是___________.（写出满足条件的一个一元二次方程即可）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知tanα＝，求下列各式的值
(1)＋；
(2)；
(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α.
18．已知集合，
（1），求实数的取值范围；
（2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围
19．已知，
（1）求，的值；
（2）求的值
20．已知正项数列的前项和为，且和满足：
（1）求的通项公式；
（2）设，求的前项和；
（3）在(2)的条件下，对任意,都成立，求整数的最大值
21．已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据三角函数的诱导公式即可化简求值.
【详解】∵，，
，，，
.
故选：D.
2、C
【解析】在同一坐标系内画出两个函数y1=与y2=|sin 2x|的图象，根据图象判断两个函数交点的个数，进而得到函数零点的个数
【详解】在同一直角坐标系中分别画出函数y1=与y2=|sin 2x|的图象，

结合图象可知两个函数的图象在上有5个交点，
故原函数有5个零点
故选C
【点睛】判断函数零点的个数时，可转化为判断函数和函数的图象的公共点的个数问题，解题时可画出两个函数的图象，通过观察图象可得结论，体现了数形结合在解题中的应用
3、B
【解析】根据三视图可知，该几何体为一个直四棱柱，底面是直角梯形，两底边长分别为，高为，直四棱柱的高为，所以底面周长为，故该几何体的表面积为，故选B
考点：1．三视图；2．几何体的表面积
4、D
【解析】根据绝对值不等式的解法和二次函数的性质，分别求得集合，即可求解.
【详解】由，解得，即，即，
又由，即，
所以.
故选：D.
5、A
【解析】利用已知条件，画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可
【详解】由题意可知几何体的直观图如图：是直四棱柱，底面是直角梯形，上底为：1，下底为2，高为2，棱柱的高为2，
几何体的体积为：V6
故选A

【点睛】本题考查几何体的直观图与三视图的关系，考查空间想象能力以及计算能力
6、D
【解析】根据已知条件把问题转化为函数与直线有不在坐标原点的交点，结合图象即可得到结论.
【详解】解：由定义可得函数为“可相反函数”，即函数与直线有不在坐标原点的交点
①的图象与直线有交点，但是交点在坐标原点，所以不是“可相反函数”；
②的图象与直线有交点在第四象限，且交点不在坐标原点，所以是“可相反函数”；
③与直线有交点在第二象限，且交点不在坐标原点，所以是“可相反函数”；
④的图象与直线有交点在第四象限，且交点不在坐标原点，所以是“可相反函数”.
结合图象可得：只有②③④符合要求；
故选：D

7、C
【解析】
先由，可得，结合，，可得，继而得到，，转化，利用两角差的正弦公式即得解
【详解】由题意，故
故
又
故
，
则

故选：C
【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式、同角三角函数关系综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
8、B
【解析】分析：先判断函数的单调性，然后结合选项，利用零点的存在定理，即可求解.
详解：由题意，函数为单调递减函数，
又因为，
由函数的零点判断可知，函数的零点在区间，故选B.
点睛：本题主要考查了函数的零点的判定定理及应用，其中熟记函数的零点的存在定理是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
9、D
【解析】根据诱导公式以及特殊角三角函数值求结果.
【详解】sin(－1380°) =sin(－1380°+1440°)= sin(60°)=
故选：D
【点睛】本题考查诱导公式以及特殊角三角函数值，考查基本求解能力，属基础题.
10、D
【解析】作出几何体的直观图观察即可.
【详解】解：连接CF，C1F1，与棱AB平行的有，共有5条，
故选：D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值
解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，
并延长OC交于D，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1
Rt△AOC中，r=AO==，
从而弧长为 α×r=2×
故答案为

考点：弧长公式
12、05
【解析】根据球的体积公式可求得准确直径，由近似公式可得近似直径，然后由绝对误差的定义即可求解.
【详解】解：由题意，，所以，
所以直径d结果的绝对误差是，
故答案为：0.05.
13、2
【解析】根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可.
【详解】设扇形的半径为，圆心角为，
弧长，可得=4，
这条弧所在的扇形面积为，故答案为.
【点睛】本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题.
14、 (1,2)
【解析】令真数，求出的值和此时的值即可得到定点坐标
【详解】令得：，
此时，
所以函数的图象恒过定点，
故答案为：
15、（1）
（2）答案见解析
【解析】( 1 )由三角恒等变换求出解析式，再求得最大值时的x的集合,
( 2)由五点法作图,列出表格,并画图即可.
【小问1详解】

令，函数取得最大值，
解得，
所以此时x的集合为.
【小问2详解】
表格如下：
x
0

y
1

1
作图如下，

16、
【解析】利用两数和的完全平方公式得到，再利用根与系数的关系写出一个满足条件的方程.
【详解】因为，，
所以
，
即该一元二次方程的两根之和为3，两根之积为2，
所以以、为根的一元二次方程可以是.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）（3）
【解析】(1) ＋＝＋
＝＋＝.
(2)＝＝＝.
(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α
＝＝
＝＝.
18、（1）
（2）
【解析】（1）化简集合，，由，利用两个集合左右端点的大小分类得出实数的取值范围
（2）根据题意可得，推不出，即是的真子集，进而得出实数的取值范围
【小问1详解】
由题意，

，
且，或，或，

实数的取值范围是
【小问2详解】
命题，命题，是的必要不充分条件，
，推不出，即是的真子集，
，解得：
实数的取值范围为
19、（1），
（2）
【解析】（1）首先利用诱导公式得到，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）利用诱导公式化简，再将弦化切，最后代入求值即可；
【小问1详解】
解：因为，，所以，又解得或，因为，所以
【小问2详解】
解：

20、（1）；（2）；（3）7.
【解析】（1）由4Sn=（an+1）2，知4Sn-1=（an-1+1）2（n≥2），由此得到（an+an-1）•（an-an-1-2）=0．从而能求出{an}的通项公式;（2）由（1）知，由此利用裂项求和法能求出Tn
（3）由（2）知 从而得到 ．由此能求出任意n∈N*，Tn都成立的整数m的最大值
【详解】（1）∵4Sn=（an+1）2，①
∴4Sn-1=（an-1+1）2（n≥2），②
①-②得
4（Sn-Sn-1）=（an+1）2-（an-1+1）2
∴4an=（an+1）2-（an-1+1）2
化简得（an+an-1）•（an-an-1-2）=0
∵an＞0，∴an-an-1=2（n≥2）
∴{an}是以1为首项，2为公差等差数列
∴an=1+（n-1）•2=2n-1
（2）
∴
（3）由（2）知，
∴数列{Tn}是递增数列
∴
∴
∴整数m的最大值是7
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查裂项相消法求数列的前n项和，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用
21、（1）；（2）.
【解析】（1）先由得，再由并集的概念，即可得出结果；
（2）根据，分别讨论，两种情况，即可得出结果.
【详解】（1）若，则，
又，所以；
（2）因为，
若，则，即；
若，只需，解得，
综上，取值范围为.
【点睛】本题主要考查求集合的并集，考查由集合的包含关系求参数，属于常考题型.