2025年河南省滦南县第一中学高二上数学期末学业质量监测试题含解析.doc

2025年河南省滦南县第一中学高二上数学期末学业质量监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
2．若函数，当时，平均变化率为3，则等于（）
A. B.2
C.3 D.1
3．设，若函数，有大于零的极值点，则
A. B.
C. D.
4．在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（）

A.不存在点使得异面直线与所成角为90°
B.存在点使得异面直线与所成角为45°
C.存在点使得二面角的平面角为45°
D.当时，平面截正方体所得的截面面积为
5．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（）

A.1 B.2
C.-1 D.-2
6．已知平面，的法向量分别为，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
7．设集合，集合，当有且仅有一个元素时，则r的取值范围为（ ）
A.或 B.或
C.或 D.或
8．已知直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若满足，则直线的方程为（）
A. B.
C. D.
9．在长方体中，（）
A. B.
C. D.
10．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（）
A. B.
C. D.
11．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率（）
A. B.
C. D.
12．如图，双曲线的左，右焦点分别为，，过作直线与C及其渐近线分别交于Q，P两点，且Q为的中点．若等腰三角形的底边的长等于C的半焦距．则C的离心率为（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．将车行的30辆大巴车编号为01，02，…，30，采用系统抽样方法抽取一个容量为3的样本，且在某组随机抽得的一个号码为08，则剩下的两个号码依次是__________（按号码从小到大排列）
14．已知空间向量，，若，则______.
15．若不等式的解集为，则________
16．若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的离心率为，点P在双曲线C上，点，分别为双曲线C的左右焦点，.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知点，，设直线PA，PB的斜率分别为，.证明：为定值.
18．（12分）如图，在正方体中，E，F，G，H，K，L分别是AB，，，，，DA各棱的中点.

（1）求证：E，F，G，H，K，L共面：
（2）求证：平面EFGHKL；
（3）求与平面EFGHKL所成角的余弦值.
19．（12分）已知等差数列满足；正项等比数列满足，，
（1）求数列，的通项公式；
（2）数列满足，的前n项和为，求的最大值.
20．（12分）根据下列条件求圆的方程：
（1）圆心在点O（0，0），半径r＝3
（2）圆心在点O（0，0），且经过点M（3，4）
21．（12分）平面直角坐标系中，过椭圆：右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
（1）求椭圆M的方程；
（2）C，D为椭圆M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD与AB垂直，求四边形ACBD面积的最大值.
22．（10分）如图，在正方体中，，分别为棱，的中点

（1）求证：直线平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据点到直线的距离与点到点之间距离的关系化简即可.
【详解】定圆的圆心，半径为2，
设动圆圆心P点坐标为（x，y），动圆的半径为r，d为动圆圆心到直线的距离，即r，
则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，
所以，
化简得：
∴动圆圆心轨迹方程为
故选：D
2、B
【解析】直接利用平均变化率的公式求解.
【详解】解：由题得.
故选：B
3、B
【解析】设，则，若函数在x∈R上有大于零的极值点
即有正根，当有成立时，显然有，
此时．由，得参数a的范围为．故选B
考点：利用导数研究函数的极值
4、D
【解析】由正方体的性质可将异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，而当为的中点时可得，可判断A；与或重合时，直线与所成的角最小可判断B；当与重合时，二面角的平面角最小，通过计算可判断C；过作，交于，交于点，由题意可得四边形即为平面截正方体所得的截面，且四边形是等腰梯形，然后利用已知数据计算即可判断D.
【详解】异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，

当为中点时，，此时与所成的角为90°，所以A错误；
当与或重合时，直线与所成角最小，为60°，所以B错误；
当与重合时，二面角的平面角最小，，所以，所以C错误；

对于D，过作，交于，交于点，因为，所以、分别是、的中点，又，所以，四边形即为平面截正方体所得的截面，因为，且，所以四边形是等腰梯形，作交于点，所以，，所以梯形的面积为，所以D正确.
故选：D.

5、D
【解析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.
【详解】四面体所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，
则，
因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，
，
所以.
故选：D
6、D
【解析】由题得，解方程即得解.
【详解】解：因为，所以
所以，
所以，
所以.
故选：D
7、B
【解析】由已知得集合M表示以点圆心，以2半径左半圆，与y轴的交点为，集合N表示以点为圆心，以r为半径的圆，当圆C与圆O相外切于点P，有且仅有一个元素时，圆C过点M时，有且有两个元素，当圆C过点N，有且仅有一个元素，由此可求得r的取值范围.
【详解】解：由得，所以集合M表示以点圆心，以2半径的左半圆，与y轴的交点为，
集合表示以点为圆心，以r为半径的圆，
如下图所示，
当圆C与圆O相外切于点P时，有且仅有一个元素时，此时，
当圆C过点M时，有两个元素，此时，所以，
当圆C过点N时，有且仅有一个元素，此时，所以，
所以当有且仅有一个元素时，则r的取值范围为或，
故选：B.

8、C
【解析】求出抛物线的焦点，设出直线方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量坐标表示，解得，即可得出直线的方程.
【详解】解：抛物线的焦点，
设直线为，
则，整理得，
则，.
由可得，
代入上式即可得，
所以，整理得：.
故选：C.
【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，主要考查韦达定理和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题.
9、D
【解析】根据向量的运算法则得到，带入化简得到答案.
【详解】在长方体中，易知，
所以.

故选：D.
10、A
【解析】根据椭圆的标准方程求出，利用双曲线，结合建立方程求出，，即可求出双曲线的渐近线方程
【详解】椭圆的标准方程为，
椭圆中的，
双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线中，
双曲线满足，即
又在双曲线中，即，解得：，
所以双曲线的方程为，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题主要考查双曲线方程的求解，根据椭圆和双曲线的关系建立方程求出，，是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于基础题
11、A
【解析】先根据前三项的系数成等差数列求，再根据古典概型概率公式求结果
【详解】因为前三项的系数为，
，
，
当时，为有理项，从而概率为.
故选：A.
12、C
【解析】先根据等腰三角形的性质得，再根据双曲线定义以及勾股定理列方程，解得离心率.
【详解】
连接，由为等腰三角形且Q为的中点，得，由知．由双曲线的定义知，在中，， （负值舍去）
故选：C
【点睛】本题考查双曲线的定义、双曲线的离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、18，28
【解析】根据等距抽样的性质确定剩下的两个号码即可.
【详解】由于从30辆大巴车中抽取3辆车，故分组间距为10，又第一组的号码为08，
所以其它两个号码依次是18，28
故答案为：18，28.
14、2
【解析】依据向量垂直充要条件列方程，解之即可解决.
【详解】空间向量，，
由，可知，即，解之得
故答案为：2
15、11
【解析】根据题意得到2与3是方程的两个根，再根据两根之和与两根之积求出，进而求出答案.
【详解】由题意得：2与3是方程的两个根，则，，所以.
故答案为：11
16、3
【解析】解出不等式x2-x-6>0,由“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,求出a的最小值.
【详解】由x2-x-6>0，解得x<-2或x>3.
因为“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件，
所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集，即a≥3，
故答案为:3.
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的应用,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）证明见解析
【解析】(1)根据题意和双曲线的定义求出，结合离心率求出b，即可得出双曲线的标准方程；
(2)设，根据两点的坐标即可求出、，化简计算即可.
【小问1详解】
由题知：
由双曲线的定义知：，
又因为，所以，所以
所以，双曲线C的标准方程为
小问2详解】
设，则
因为，，所以，
所以
18、（1）证明见解析；
（2）证明见解析；（3）.
【解析】建立空间直角坐标系，求出各点的坐标；
（1）用向量的坐标运算证明向量共面，进而证明点共面；
（2）利用向量的数量积的坐标运算证明，即可；
（3）确定平面EFGHKL的一个法向量，利用空间角度的向量计算公式求得答案.
【小问1详解】
证明：以D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为2.
则，，，，，，，.
可得，，，，，.
可得，，，，，
所以，，，，共面，又它们过同一点E,
所以E，F，G，H，K，L共面.
【小问2详解】
证明：由（1）得，，
又

故，，又，
所以平面LEF，即平面EFGHKL.
【小问3详解】
由（2）知，是平面EFGHKL的一个法向量，
设与平面EFGHKL所成角为，
，,
.
所以,
所以与平面EFGHKL所成角的余弦值为.
19、（1），
（2）8
【解析】（1）利用已知的关系把替换成，再把两式作差后整理即得通项公式，的通项公式可由已知条件建立基本量的方程求解.
（2）由的通项公式可判断，，，当时，所有正项的和即为的最大项的值.
小问1详解】
，
，
两式相减得
所以，又也满足，
故；
设等比数列的公比为，
由得，即，
因为，即，，（负值舍去），
所以
【小问2详解】
由题意，，
则，，，且当时，
所以的最大值是.
20、（1）x2+y2＝9
（2）x2+y2＝25
【解析】（1）直接根据圆心坐标和半径，即可得到答案；
（2）利用两点间的距离公式，求出圆的半径，即可得到答案；
【小问1详解】
根据题意，圆心在点O（0，0），半径r＝3，则要求圆的方程为x2+y2＝9；
【小问2详解】
圆心在点O（0，0），且经过点M（3，4），要求圆的半径r＝＝5，
则要求圆的方程为x2+y2＝25；
21、（1）
（2）
【解析】（1）设，，的中点为，利用“点差法”求解；
（2）由求得A，B的坐标，进而得到的长，再根据，设直线的方程为，由，求得的长，然后由四边形的面积为求解.
【小问1详解】
解：把右焦点代入直线，得，
设，，的中点为，
则，，相减得，
即，
即，即.
又，，则.
又，解得，，
故椭圆的方程为.
【小问2详解】
联立消去，可得，解得或，
故交点为，.
所以.
因为，所以可设直线的方程为，，，
联立消去，得到，
因为直线与椭圆有两个不同的交点，则，
解得，且，
又，则
故四边形的面积为，
故当时，取得最大值，最大值为.所以四边形的面积的最大值为.
22、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）证明，则，可证明，由平面，可得，再由线面垂直的判定定理即可求证；
（2）连结，可知，所以或其补角即为异面直线与所成的角，在中由余弦定理计算的值即可求解.
【小问1详解】
在正方形中，，分别为棱，的中点，
则，，，
所以，则，
所以，
即，
又因为平面，面，所以，
因为，所以平面
【小问2详解】
连结，，可知，
所以或其补角即为异面直线与所成的角，
令，则，，，
在中，由余弦定理可得：，
故异面直线与所成角的余弦值为.