辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学2026届数学高一第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学2026届数学高一第一学期期末学业质量监测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是（ ）

A. B.
C. D.
2．已知幂函数在上是增函数，则n的值为（ ）
A. B.1
C. D.1和
3．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当时，，则（）
A. B.6
C. D.7
4． “x>1”是“x>0”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（）
A. B.
C. D.
6．已知函数的部分图象如图所示，点，是该图象与轴的交点，过点作直线交该图象于两点，点是的图象的最高点在轴上的射影，则的值是

A B.
C.1 D.2
7．已知实数x，y满足，那么的最大值为（）
A. B.
C.1 D.2
8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　）

A. B.
C. D.
9．设，若，则的最小值为
A. B.
C. D.
10．函数的图象大致形状为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，则a的取值范围为________
12．函数，则__________.
13．实数的值为___________.
14．函数的最小值为______.
15．潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动.习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流.早先的人们为了表示生潮的时刻，把发生在早晨的高潮叫潮，发生在晚上的高潮叫汐，这是潮汐名称的由来.下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系（夜间零点开始计时）.
时刻（t）
0
2
4
6
8
10
12
水深（y）单位：米
5.0
4.8
4.7
4.6
4.4
4.3
4.2
时刻（t）
14
16
18
20
22
24

水深（y）单位米
4.3
4.4
4.6
4.7
4.8
5.0

用函数模型来近似地描述这些数据，则________.
16．已知函数f（x）=x2，若存在t∈R，对任意x∈[1，m]（m＞1，m∈N），都有f（x+t）≤2x，则m的最大值为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）设，证明：
18．设函数，
（1）根据定义证明在区间上单调递增；
（2）判断并证明的奇偶性；
（3）解关于x的不等式.
19．甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.
（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；
（2）求恰有一人破译密码的概率.
20．已知函数满足
（1）求的解析式，并求在上的值域；
（2）若对，且，都有成立，求实数k的取值范围
21．已知函数的图象如图

（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍得到的图象，且关于的方程在上有解，求的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】设点为外接圆的圆心，根据，得到是等边三角形，求得外接圆的半径r，再根据直三棱柱的顶点都在球上，由求得，直三棱柱的外接球的半径即可.
【详解】如图所示：

设点为外接圆的圆心，
因为，
所以，又，
所以等边三角形，
所以，
又直三棱柱的顶点都在球上，
所以外接球的半径为，
所以直三棱柱的外接球的表面积是，
故选：C
2、C
【解析】利用幂函数的定义与单调性即可得解.
【详解】因为函数是幂函数，所以
解得：或
当时，在上是增函数，符合题意.
当时，在上是减函数，不符合题意.
故选：C
【点睛】易错点睛：本题主要考查了幂函数的定义及性质，利用幂函数的定义知其系数为1，解方程即可，一定要验证是否符合在上是增函数的条件，考查了学生的运算求解的能力，属于基础题.
3、D
【解析】先求出，再求出即得解.
【详解】由已知，函数与函数互为反函数，则
由题设，当时，，则
因为为奇函数，所以.
故选：D
4、A
【解析】根据充分、必要条件间的推出关系，判断“x>1”与“x>0”的关系.
【详解】“x>1”，则“x>0”，反之不成立.
∴“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.
故选：A.
5、C
【解析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.
【详解】由，解得，也即函数的定义域为，由此排除A,B选项.当时，，由此排除D选项.所以正确的为C选项.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.
6、B
【解析】分析：由图象得到函数的周期，进而求得．又由条件得点D,E关于点B对称，可得，然后根据数量积的定义求解可得结果
详解：由图象得，
∴，
∴
又由图象可得点B为函数图象的对称中心，
∴点D,E关于点B对称，
∴，
∴
故选B
点睛：本题巧妙地将三角函数的图象、性质和向量数量积的运算综合在一起，考查学生分析问题和解决问题的能力．解题的关键是读懂题意，通过图象求得参数；另外，根据函数图象的对称中心将向量进行化简，从而达到能求向量数量积的目的
7、C
【解析】根据重要不等式即可求最值，注意等号成立条件.
【详解】由，可得，当且仅当或时等号成立.
故选：C.
8、A
【解析】由图观察出和后代入最高点，利用可得，进而得到解析式
【详解】解：由图可知：，，，，
代入点，得，，，
，，
，
故选．
【点睛】本题考查了由的部分图象确定其表达式，属基础题．
9、D
【解析】依题意，，根据基本不等式，有.
10、A
【解析】首先判断函数的奇偶性，再利用上的函数值的正负即可判断；
【详解】解：因为，定义域为，且
所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除、；
又当时，，，所以，则，所以，所以，即可排除C；
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 (－4，4]
【解析】根据复合函数的单调性，结合真数大于零，列出不等式求解即可.
【详解】令g(x)＝x2－ax＋3a，
因为f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，
所以函数g(x)在区间[2，＋∞)内单调递增，且恒大于0，
所以a≤2且g（2）＞0，
所以a≤4且4＋a＞0，所以－4＜a≤4
故答案为：.
【点睛】本题考查由对数型复合函数的单调性求参数范围，注意定义域即可，属基础题.
12、
【解析】先求的值，再求的值.
【详解】由题得，
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查指数对数运算和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
13、
【解析】直接根据指数幂运算与对数运算求解即可.
【详解】解：
故答案为：
14、
【解析】先根据二倍角余弦公式将函数转化为二次函数，再根据二次函数性质求最值.
【详解】
所以令，则
因此当时，取最小值，
故答案为：
【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
15、##
【解析】根据题意条件，结合表内给的数据，通过一天内水深的最大值和最小值，即可列出关于、之间的关系，通过解方程解出、，即可求解出答案.
【详解】由表中某市码头某一天水深与时间的关系近似为函数，从表中数据可知，函数的最大值为5.0，最小值为4.2，所以,解得，，故.
故答案为：或写成.
16、5
【解析】设g（x）=f（x+t）-2x=x2+（2t-2）x+t2≤0．从而得到g（1）≤0且g（m）≤0，求得t的范围，讨论t的最值，代入m的不等式求得m的范围，结合条件可得m的最大值
【详解】函数f（x）=x2，
那么f（x+t）=x2+2tx+t2，
对任意实数x∈[l，m]，都有f（x+t）≤2x成立，即有x2+（2t-2）x+t2≤0
令g（x）=x2+（2t-2）x+t2，从而得到g（1）≤0，且g（m）≤0，
由g（1）≤0可得，
由g（m）≤0，即m2+（2t-2）m+t2≤0
当时，；
当时，
综上可得，
由m为正整数，可得m的最大值为5
故答案为5
【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用二次函数的性质，考查运算求解能力，是中档题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）偶函数；理由见解析
（3）证明见解析
【解析】（1）根据对数函数的真数大于0建立不等式求解；
（2）根据函数的奇偶性定义判断即可；
（3）利用不等式的性质及对数函数的单调性证明即可.
【小问1详解】
因为，即，
所以函数的定义域是
【小问2详解】
因为，都有，
且，
所以函数为偶函数
【小问3详解】
因为，
所以
所以
所以
因为是增函数，
所以
因为，，
所以
18、（1）证明见解析
（2）奇函数，证明见解析
（3）
【解析】（1）根据函数单调性的定义，准确运算，即可求解；
（2）根据函数奇偶性的定义，准确化简，即可求解；
（3）根据函数的奇偶性和单调性，把不等式转化为，得到，即可求解
【小问1详解】
证明：，且，
则，
因为，，，所以，
即，所以在上单调递增
【小问2详解】
证明：由，即，解得，即的定义域为，
对于任意，函数，
则，
即，所以是奇函数.
【小问3详解】
解：由（1）知，函数在上单调递增，
又因为x是增函数，所以是上的增函数，
由，可得，
由，可得，
因为奇函数，所以，
所以原不等式可化为，则，解得，
所以原不等式的解集为
19、（1）0.42；（2）0.46.
【解析】（1）由相互独立事件概率的乘法公式运算即可得解；
（2）由互斥事件概率的加法公式及相互独立事件概率的乘法公式运算即可得解.
【详解】（1）事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB，事件A，B相互独立，
由题意可知，
所以；
（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且,互斥
所以
.
20、（1），
（2）
【解析】（1）由条件可得，然后可解出，然后利用对勾函数的知识可得答案；
（2）设，条件中的不等式可变形为，即可得在区间（2，4）递增，然后分、、三种情况讨论求解即可.
【小问1详解】
因为①，
所以②，联立①②解得.
当时为增函数，时为减函数，
因为
所以
【小问2详解】
对，，，都有，
不妨设，则由
恒成立，也即可得函数在区间（2，4）递增；
当，即时，满足题意；
当，即时，为两个在上单调递增函数的和，
则可得在单调递增，从而满足在（2，4）递增，符合题意；
当，即时，，其在递减，在递增，
若使在（2，4）递增，则只需；
综上可得：
21、（1）
（2）
【解析】（1）由函数图象先求出，，进而求出，代入一个特殊点求出的值；（2）先求出图象变换后的解析式，再求出在的取值范围，进而求出的取值范围.
【小问1详解】
由图象最高点函数值为1，最低点函数值为，且，可知，函数最小正周期，所以，因为，所以，故，将点代入，可得：，因为，所以，所以.
【小问2详解】
由图象变换得：，当时，，，关于的方程有解，则.