2025-2026学年吉林省公主岭市高二上数学期末调研试题含解析.doc

2025-2026学年吉林省公主岭市高二上数学期末调研试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（）
A.2 B.1
C. D.
2． “”是“直线和直线垂直”的（）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
3．如图已知正方体，点是对角线上的一点且，，则（ ）

A.当时，平面 B.当时，平面
C.当为直角三角形时， D.当的面积最小时，
4． “”是“直线与圆相切”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线，点，连接交抛物线于点，，则的面积为（）
A.4 B.9
C. D.
6．雅言传承文明，经典浸润人生．某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：“诵读中国”经典诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆刻大赛．某人决定从这四类比赛中任选两类参赛，则“诵读中国”被选中的概率为（ ）
A. B.
C. D.
7．将函数图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）
A. B.
C. D.
8．如图，双曲线的左，右焦点分别为，，过作直线与C及其渐近线分别交于Q，P两点，且Q为的中点．若等腰三角形的底边的长等于C的半焦距．则C的离心率为（ ）

A. B.
C. D.
9．已知数列{}满足，则（）
A. B.
C. D.
10．函数在处有极值为，则的值为（）
A. B.
C. D.
11．已知是公差为3的等差数列.若，，成等比数列，则的前10项和（ ）
A.165 B.138
C.60 D.30
12．已知随机变量X的分布列如表所示，则（）
X
1
2
3
P
a
2a
3a
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知为椭圆上的一点，，分别为圆和圆上的点，则的最小值为______
14．已知为等比数列的前n项和，若，，则_____________.
15．函数的图象在点处的切线方程为___________.
16．设，，，则动点P的轨迹方程为______，P到坐标原点的距离的最小值为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前项和
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
18．（12分）已知椭圆过点，且离心率.

（1）求椭圆的方程；
（2）设直交椭圆于两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.
19．（12分）如图，直三棱柱中，，，是棱的中点，

（1）求异面直线所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值
20．（12分）已知数列的首项，且满足.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
21．（12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，，（）

（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值；
（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）
22．（10分）已知函数，记f（x）的导数为f′（x）．若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣3，且x＝2时y＝f（x）有极值，
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】先根据垂直关系设切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径列式解得结果.
【详解】因为切线与直线平行，所以切线方程可设为
因为切线过点P(2，2)，所以
因为与圆相切，所以
故选：C
2、A
【解析】根据直线垂直求出值即可得答案.
【详解】解：若直线和直线垂直，
则，解得或，
则“”是“直线和直线垂直”的充分非必要条件.
故选：A.
3、D
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得；
【详解】解：由题可知，如图令正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，因为，所以，所以，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以
对于A：若平面，则，则，解得，故A错误；
对于B：若平面，则，即，解得，故B错误；
当为直角三角形时，有，即，解得或（舍去），故C错误；
设到的距离为，则，
当的面积最小时，，故正确
故选：

4、A
【解析】根据题意，结合直线与圆的位置关系求出，即可求解.
【详解】根据题意，由直线与圆相切，
知圆心到直线的距离，解得或，
因此“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.
故选：A.
5、D
【解析】根据题意求得抛物线的方程为和焦点为，由，得到为的中点，得到，代入抛物线方程，求得，进而求得的面积.
【详解】由直线是抛物线的准线，可得，即，
所以抛物线的方程为，其焦点为，
因为，可得
可得三点共线，且为的中点，
又因为，，所以，
将点代入抛物线，可得，
所以的面积为.
故选：D.
6、B
【解析】由已知条件得基本事件总数为种，符合条件的事件数为3中，由古典概型公式直接计算即可.
【详解】从四类比赛中选两类参赛，共有种选择，其中“诵读中国”被选中的情况有3种，即
“诵读中国”和 “诗教中国” ，“诵读中国”和“笔墨中国”， “诵读中国”和“印记中国” ，由古典概型公式可得，
故选：.
7、A
【解析】根据三角函数图象的变换，由逆向变换即可求解.
【详解】由已知的函数逆向变换，
第一步，向左平移个单位长度，得到的图象；
第二步，图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，即的图象.
故.
故选：A
8、C
【解析】先根据等腰三角形的性质得，再根据双曲线定义以及勾股定理列方程，解得离心率.
【详解】
连接，由为等腰三角形且Q为的中点，得，由知．由双曲线的定义知，在中，， （负值舍去）
故选：C
【点睛】本题考查双曲线的定义、双曲线的离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.
9、B
【解析】先将通项公式化简然后用裂项相消法求解即可.
【详解】因为，
.
故选：B
10、B
【解析】根据函数在处有极值为，由，求解.
【详解因为函数，
所以，
所以，，
解得a=6,b=9，
=-3，
故选：B
11、A
【解析】由等差数列的定义与等比数列的性质求得首项，然后由等差数列的前项和公式计算
【详解】因为，，成等比数列，所以，
所以，解得，
所以
故选：A
12、C
【解析】根据分布列性质计算可得；
【详解】解：依题意，解得，所以；
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、8
【解析】根据椭圆的定义、点到圆上距离的最小值，即可得到答案；
【详解】设为椭圆的左右焦点，则
，
等号成立，当共线，共线，
的最小值为，
故答案为：
14、30
【解析】根据等比数列性质得 ， ， 也成等比，即可求得结果.
【详解】由等比数列的性质可知， ， ， 构成首项为10，公比为1 的等比数列，所以
【点睛】本题考查等比数列性质，考查基本求解能力，属基础题.
15、
【解析】求导得到，计算，根据点斜式可得到切线方程.
【详解】因此，则，故，又点在函数的图象上，
故切线方程为：，即.
故答案为：
16、 ①. ②.l
【解析】根据双曲线的定义得到动点的轨迹方程，从而求出到坐标原点的距离的最小值；
【详解】解：因为，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．因为，，所以，，，所以动点P的轨迹方程为
故P到坐标原点的距离的最小值为
故答案为：；；

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）利用与的关系求数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求和即可.
【小问1详解】
因为，故当时，，
两式相减得，
又由题设可得，
从而的通项公式为：；
【小问2详解】
因为，
，
两式相减得：
所以.
18、 (1) (2) 点G在以AB为直径的圆外
【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得
解得
所以椭圆E的方程为
（Ⅱ）设点AB中点为
由
所以从而.
所以.

,
故
所以，故G在以AB为直径的圆外

解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）设点，则
由所以
从而

所以不共线，所以锐角.
故点G在以AB为直径的圆外
考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系
19、（1）
（2）
【解析】(1)建立空间直角坐标系,求出相关各点坐标,求出,利用向量的夹角公式求得答案;
(2)求出平面平面和平面的一个法向量,利用向量夹角公式求得答案.
【小问1详解】
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
所以，
所以直线所成角的余弦值为；
【小问2详解】
设为平面的一个法向量， ,
则，
，
同理,
则,
可取平面的一个法向量为，
则,
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为 .
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）化简得到，由此证得数列为等差数列.
（2）先求得，然后利用错位相减求和法求得.
【小问1详解】
.又
数列是以1为首项，4为公差等差数列.
【小问2详解】
由（1）知：，
则数列的通项公式为，则，
①，
②，
①-②得：，
，
，
，
.
21、（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】（1）取得中点，连接，可证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得，即，又侧棱底面，可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）通过建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式即可得出；
（3）由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案，新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
，，
四边形是平行四边形，
，且，，
，，
又，
侧棱底面，，
，平面
（2）以为坐标原点，、、的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，

设与平面所成角为，则
，
解得，故所求
（3）由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案
写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出
【点睛本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，利用向量求线面角、柱体的定义应用和表面积的求法，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力及化归与转化能力，属于中档题
22、（Ⅰ）f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）最大值为1，最小值为﹣3
【解析】（Ⅰ）求导可得f′（x）的解析式，根据导数的几何意义，可得k=f′（1）=-3，又在x＝2处有极值，所以f′（2）＝0，即可求得a，b的值，即可得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）的解析式，令f′（x）=0，解得x＝0或x＝2，讨论f（x）在﹣1＜x＜0，0＜x＜1上的单调性，即可求得f（x）的极值，检验边界值，即可得答案.
【详解】（Ⅰ）由题意得：f′（x）＝3x2+2ax+b，
所以k=f′（1）＝3+2a+b＝﹣3，f′（2）＝12+4a+b＝0，
解得a＝﹣3，b＝0，
所以f（x）＝x3﹣3x2+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令f′（x）＝3x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝2，
当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）是增函数，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）是减函数，
所以f（x）的极大值为f（0）＝1，又f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝﹣3，
所以f（x）在[﹣1，1]上的最大值为1，最小值为﹣3