2026届上海师范大学附属外国语中学高一上数学期末统考模拟试题含解析.doc

2026届上海师范大学附属外国语中学高一上数学期末统考模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，，则的值域为（）
A. B.
C. D.
2．如图，，下列等式中成立的是（　　）

A. B.
C. D.
3．函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
4．函数的零点在　　
A. B.
C. D.
5．下列函数中，与函数的定义域与值域相同的是（ ）
A.y=sinx B.
C. D.
6．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）
A.y=sin2x+cos2x
B.y=sin2xcos2x
C.y=cos（4x+）
D.y=sin22x﹣cos22x
7．若且，则函数的图象一定过点（ ）
A. B.
C. D.
8．命题“，”的否定为（ ）

A.， B.，
C.， D.，
9．某校早上6：30开始跑操，假设该校学生小张与小王在早上6：00~6：30之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张与小王至少相差5分钟到校的概率为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知一组数据为20，30，40，50，50，50，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（ ）
A.平均数＝第60百分位数＞众数 B.平均数＜第60百分位数＝众数
C.第60百分位数＝众数＜平均数 D.平均数＝第60百分位数＝众数
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数是定义在上的奇函数，若时则时，__________
12．已知在上的最大值和最小值分别为和，则的最小值为__________
13．函数的最大值是____________.
14．已知在上是增函数，则的取值范围是___________.
15．已知正实数, ,且，若，则的值域为__________
16．已知，则函数的最大值为___________，最小值为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，已知四棱柱的底面是菱形，侧棱底面，是的中点，，.

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
18．已知是同一平面内的三个向量，其中
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与的夹角为，求的值
19．如图所示，在边长为8的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，，D，H，G为垂足，若将绕AD旋转，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积.

20．已知
（1）若函数f(x)的图象过点（1，1），求不等式f(x)＜1的解集；
（2）若函数只有一个零点，求实数a的取值范围
21．已知非空集合，.
（1）当时，求，；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据两角和的正弦公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得，结合和正弦函数的单调性即可求出函数的最大值和最小值.
【详解】由题意知，
，
由，得，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
有，
所以，
故的值域为.
故选：A
2、B
【解析】本题首先可结合向量减法的三角形法则对已知条件中的进行化简，化简为然后化简并代入即可得出答案
【详解】因为，
所以，
所以，即，故选B
【点睛】本题考查的知识点是平面向量的基本定理，考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想与化归思想，是简单题
3、B
【解析根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：B.
4、B
【解析】利用零点的判定定理检验所给的区间上两个端点的函数值，当两个函数值符号相反时，这个区间就是函数零点所在的区间．
【详解】函数定义域为，
，
，
，
，
因为，
根据零点定理可得，在有零点，
故选B．
【点睛】本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是看出函数在所给的区间上对应的函数值的符号，此题是一道基础题.
5、D
【解析】由函数的定义域为，值域依次对各选项判断即可
【详解】解：由函数的定义域为，值域，
对于定义域为，值域，，错误；
对于的定义域为，值域，错误；
对于的定义域为，，值域，，错误；
对于的定义域为，值域，正确，
故选：
6、D
【解析】A中，周期为,不是偶函数；
B中，周期为，函数为奇函数；
C中，周期为，函数为奇函数；
D中，周期为，函数为偶函数
7、C
【解析】令求出定点的横坐标，即得解.
【详解】解：令.
当时，，
所以函数的图象过点.
故选：C.
8、C
【解析】
由全称命题的否定是特称命题可得答案.
【详解】根据全称命题的否定是特称命题，
所以“，”的否定为 “，”.
故选：C.
9、A
【解析】设小张与小王的到校时间分别为6：00后第分钟，第分钟，由题意可画出图形，利用几何概型中面积比即可求解.
【详解】
设小张与小王的到校时间分别为6：00后第分钟，第分钟，
可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为
是一个正方形区域，
对应的面积，
则小张与小王至少相差5分钟到校事件(如阴影部分)
则符合题意的区域，
由几何概型可知小张与小王至少相差5分钟到校的概率为.
故选：A
【点睛】本题考查了几何概率模型，解题的关键是画出满足条件的区域，属于基础题.
10、B
【解析】从数据为20，30，40，50，50，50，70，80中计算出平均数、第60百分位数和众数，进行比较即可.
【详解】解：平均数为
，第5个数50即为第60百分位数.
又众数为50，
它们的大小关系是平均数第60百分位数众数.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】函数是定义在上的奇函数，当时，当时，则，，故答案为.
12、
【解析】如图：

则当时，
即时，
当时，原式
点睛：本题主要考查了分段函数求最值问题，在定义域为动区间的情况下进行分类讨论，先求出最大值与最小值的情况，然后计算，本题的关键是要注意数形结合，结合图形来研究最值问题，本题有一定的难度
13、
【解析】把函数化为的形式，然后结合辅助角公式可得
【详解】由已知，
令，则，
所以
故答案为：
14、
【解析】将整理分段函数形式,由在上单调递增,进而可得,即可求解
【详解】由题,,显然,在时,单调递增,
因为在上单调递增,所以,即,
故答案为:
【点睛】本题考查已知函数单调性求参数,考查分段函数,考查一次函数的单调性的应用
15、
【解析】因为，
所以.
因为且,.
所以，所以，
所以,.
则的值域为.
故答案为.
16、 ①. ②.
【解析】利用对勾函数的单调性直接计算函数的最大值和最小值作答.
【详解】因函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
即有当时，，而当时，，当时，，则，
所以函数的最大值为，最小值为.
故答案为：；

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）详见解析；（2）.
【解析】（1）连接交于点，连接，，可证明四边形是平行四边形，从而，再由线面平行的判定即可求解；（2）作出平面的垂线，即可作出线面角，求出相关线段的长度即可求解.
试题解析：（1）连接交于点，连接，，∵为菱形，∴点在上，
且，又∵，故四边形是平行四边形，则，
∴平面；（2）由于为菱形，∴，
又∵是直四棱柱，∴，平面，
∴平面平面，过点作平面和平面交线的垂线，垂足为，得平面，连接，则是直线平面所成的角，
设，∵是菱形且，则，，
在中，由，，得，
在中，由，，得，
∴.

考点：1.线面平行的判定；2.线面角的求解.
18、（1）或（2）
【解析】（1）由可设，再由可得答案
（2）由数量积的定义可得，代入即可得答案
【详解】解：（1）由可设，
∵，∴，
∴，∴或
（2）∵与的夹角为，∴，
∴
【点睛】本题考查向量的基本运算，属于简单题
19、表面积为：，体积为：
【解析】由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从上面挖去一个圆柱，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面，旋转体的体积为圆锥的体积减去圆柱的体积，结合题中的数据，代入圆柱和圆锥的侧面积公式和底面积公式及体积公式进行求解即可.
【详解】由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从上面挖去一个圆柱，
且圆锥的底面半径为4，高为，圆柱的底面半径为2，高为.
所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面.

故所求几何体的表面积为：
阴影部分形成的几何体的体积：

【点睛】本题考查简单组合体的表面积和体积的求解、圆柱和圆锥的体积和表面积公式；考查运算求解能力和空间想象能力；熟练掌握旋转体的形成过程和表面积和体积公式是求解本题的关键；属于中档题.
20、（1）（－1，1）
（2）a≥0或
【解析】（1）将点（1，1）代入函数解析式中可求出的值，然后根据对数函数的单调性解不等式即可，
（2）将问题转化为只有一解，再转化为关于x的方程ax2＋x＝1只有一个正根，然后分和分析求解
【小问1详解】
∵函数的图象过点（1，1），
，解得
此时
由f(x)＜1，得，解得
故f(x)＜1的解集为（－1，1）
【小问2详解】

∵函数只有一个零点，只有一解，
将代入ax＋1＞0，得x＞0，
∴关于x的方程ax2＋x＝1只有一个正根
当a＝0时，x＝1，满足题意；
当a≠0时，若ax2＋x－1＝0有两个相等的实数根，由，解得，此时x＝2，满足题意；
若方程ax2＋x－1＝0有两个相异实数根，则两根之和与积均为，
所以方程两根只能异号，所以，a＞0，此时方程有一个正根，满足题意
综上，a≥0或
21、（1），
（2）
【解析】（1）先解出集合B，再根据集合的运算求得答案;
（2）根据题意可知AÜ.B，由此列出相应的不等式组，解得答案.
【小问1详解】
，，
故，；
【小问2详解】
由题意A是非空集合，“”是“”的充分不必要条件，
故得AÜ.B，得，或或,
解得，故的取值范围为.