2025-2026学年山西省太原市小店区山西大学附属中学校数学高一上期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025-2026学年山西省太原市小店区山西大学附属中学校数学高一上期末质量跟踪监视试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1． “幸福感指数”是指某个人主观地评价自己对目前生活状态的满意程度的指标.常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高.甲、乙两位同学分别随机抽取位本地市民，调查他们的幸福感指数，甲得到位市民的幸福感指数分别为，，，，，，，，，，乙得到位市民的幸福感指数的平均数为，方差为，则这位市民幸福感指数的方差为（）
A. B.
C. D.
2．已知集合，则下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3．直线在轴上的截距是
A. B.
C. D.
4．幂函数图象经过点，则的值为（）
A. B.
C. D.
5．已知函数的图象如图所示，则函数的图象为　　

A.
B.
C.
D.
6．如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.2m，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为，则其中A，，K的值分别为（）

A.6，，2.2 B.6，，2.2
C.3，，2.2 D.3，，2.2
7．已知，若函数恰有两个零点、（），那么一定有（）
A. B.
C. D.
8．已知函数的定义域是且满足如果对于,都有不等式的解集为
A. B.
C. D.
9．如图所示的程序框图中，输入，则输出的结果是　　

A.1 B.2
C.3 D.4
10．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）
A.，
B.，
C.，
D.，
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数=___________
12．已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程是__________
13．已知点在角的终边上，则___________；
14．已知α为第二象限角，且则的值为______.
15．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为___

16．请写出一个同时满足下列两个条件的函数：____________.
（1） ，若则（2）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点.设，.

（1）用，表示，，
（2）求与夹角的余弦值.
18．设函数
（1）若不等式解集，求、的值；
（2）若，在上恒成立，求实数的取值范围
19．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）将的图象上的各点________得到的图象，当时，方程有解，求实数m的取值范围
在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分.
①向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半
②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
20．已知函数，.
（1）若函数的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）若函数是函数的反函数，当时，函数的最小值为，求实数m的值；
（3）用表示m，n中的最大值，设函数，有2个零点，求实数m的范围.
21．函数的最小值为.
（1）求；
（2）若，求a及此时的最大值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】设乙得到位市民的幸福感指数为，甲得到位市民的幸福感指数为，求出，，由甲的方差可得的值，再求出的值，由方差公式即可求解.
【详解】设乙得到位市民的幸福感指数为，则，
甲得到位市民的幸福感指数为，可得，，
所以这位市民的幸福感指数之和为，平均数为，
由方差的定义，乙所得数据的方差：，
由于，解得：.
因为甲得到位市民的幸福感指数为，，，，，，，，，，
所以，
所以这位市民的幸福感指数的方差为：

，
故选：C.
2、C
【解析】
利用元素与集合、集合与集合的关系可判断各选项的正误.
详解】∵，∴，所以选项A、B、D错误，
由空集是任何集合的子集，可得选项C正确.
故选：C.

【点睛】本题考查元素与集合、集合与集合关系的判断，属于基础题.
3、B
【解析】由题意，令，则，即，所以直线在轴上的截距为，故选B.
4、D
【解析】设，由点幂函数上求出参数n，即可得函数解析式，进而求.
【详解】设，又在图象上，则，可得，
所以，则.
故选：D
5、A
【解析】根据函数的图象，可得a，b的范围，结合指数函数的性质，即可得函数的图象.
【详解】解：通过函数的图象可知：，当时，可得，即．函数是递增函数；排除C，D．当时，可得，，，
故选A
【点睛】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题.
6、D
【解析】根据实际含义分别求的值即可.
【详解】振幅即为半径，即；
因为逆时针方向每分转1.5圈，所以；
；
故选：D.
7、A
【解析】构造两个函数和，根据两个函数的图象恰有两个交点，在同一坐标系内作出函数的图象，结合图象，即可求解.
【详解】根据题意，构造两个函数和，
则两个函数的图象恰有两个交点，在同一坐标系内作出函数的图象，
如图所示，结合图象可得.
故选：A.

8、D
【解析】令x=，y=1，则有f（）=f（）+f（1），
故f（1）=0；
令x=，y=2，则有f（1）=f（）+f（2），
解得，f（2）=﹣1，
令x=y=2，则有f（4）=f（2）+f（2）=﹣2；
∵对于0＜x＜y，都有f（x＞f（y），
∴函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
故f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2可化为f（﹣x（3﹣x））≥f（4），
故，
解得，﹣1≤x＜0．∴不等式的解集为
故选D
点睛：本题重点考查了抽象函数的性质及应用，的原型函数为的原型函数为，.
9、B
【解析】输入x＝2后，该程序框图的执行过程是：
输入x＝2，
x＝2>1成立，
y＝＝2，
输出y＝2
选B.
10、C
【解析】根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.
【详解】解：由题意得：
对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误
对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；
对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.
故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2
【解析】，
所以
点睛：本题考查函数对称性的应用．由题目问题可以猜想为定值，所以只需代入计算，得．函数对称性的问题要大胆猜想，小心求证
12、
【解析】，，中点坐标为，圆的半径以为直径的圆的标准方程为故答案为.
13、##
【解析】根据三角函数得定义即可的解.
【详解】解：因为点在角的终边上，
所以.
故答案为：.
14、
【解析】根据已知求解得出，再利用诱导公式和商数关系化简可求
【详解】由，得，得或.
α为第二象限角，，
.
故答案：.
15、
【解析】先判断为奇函数，且在R上为增函数，然后将转化为，从而有，进而可求出m的取值范围
【详解】由题意可知，的定义域为R，
因为，所以为奇函数.
因为，且在R上为减函数，
所以由复合函数的单调性可知在R上为增函数.
又，所以，
所以，解得.
故答案为：.
16、，答案不唯一
【解析】由条件（1） ，若则.可知函数为R上增函数；
由条件（2）.可知函数可能为指数型函数.
【详解】令，
则为R上增函数，满足条件（1）.
又，
故
即成立.
故答案为：，（，等均满足题意）

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）.
【解析】（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定，与，的关系；
（2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值；解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值.
【详解】解法一：
（1）由图可知.
因为E是CD的中点，所以.
（2）因为，为等边三角形，所以，，
所以，
所以，
.
设与的夹角为，则，
所以在与夹角的余弦值为.
解法二：（1）同解法一.
（2）以A为原点，AD所在直线为x轴，过A且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，，，.
因为E是CD的中点，所以，
所以，，
所以，
.
设与的夹角为，则，
所以与夹角的余弦值为.
【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用
18、（1），；（2）.
【解析】（1）分析可知的两根是、，利用韦达定理可求得实数、的值；
（2）分析可知不等式在上恒成立，可得出，由此可解得实数的取值范围.
【详解】由已知可知，方程的两根是、且，
所以，解得；
（2），可得，，
因为在上恒成立，则在上恒成立，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
19、（1）；
（2）答案见解析.
【解析】（1）根据三角恒等变换化简，再求其最小正周期即可；
（2）选择不同的条件，根据三角函数的图象变换求得的解析式，再求其在区间上的值域即可.
【小问1详解】
因为
所以函数的最小正周期
【小问2详解】
若选择①，
由（1）知，那么将图象上各点向左平移个单位，
再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到
当时，可得，，，
由方程有解，可得实数m的取值范围为
若选择②，
由（1）知，那么将图象上各点纵坐标保持不变，
横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，得到
当时，，，
由方程有解，可得实数m的取值范围为
20、（1）
（2）
（3）
【解析】( 1 )函数的值域为R,可得,求解即可;
( 2)设分类论可得m的值;
(3)对m分类讨论可得结论.
【小问1详解】
值域为R,

∴
【小问2详解】
，.
设，，
①若即时，，
②若，即时，，舍去
③若即时，，无解，舍去
综上所示：
【小问3详解】
①显然，当时，在无零点，舍去
②当时，，舍去
③时，解分别为，，
只需控制，不要均大于等于1即可
Ⅰ：，，，舍去
Ⅱ：，无解，
综上：
21、（1）
（2），的最大值5
【解析】（1）通过配方得，再通过对范围的讨论，利用二次函数的单调性即可求得；
（2）由于，对分与进行讨论，即可求得的值及的最大值
【小问1详解】
∵，
∴，且，
∴若，即，当时，；
若，即，当时，；
若，即，当时，.
综上所述，.
【小问2详解】
∵，
∴若，则有，得，与矛盾；
若，则有，即，解得或（舍），
∴时，，即，
∵，
∴当时，取得最大值5.