2025-2026学年江西省南昌市第二中学数学高一上期末综合测试模拟试题含解析.doc

2025-2026学年江西省南昌市第二中学数学高一上期末综合测试模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．函数的零点个数为（）
A.0 B.1
C.2 D.3
3．下列选项中，与最接近的数是
A. B.
C. D.
4．若直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程是
A. B.
C. D.
5．下列说法中正确的是（）
A.存在只有4个面的棱柱 B.棱柱的侧面都是四边形
C.正三棱锥的所有棱长都相等 D.所有几何体的表面都能展开成平面图形
6．已知，，则
A. B.
C. D.
7．函数在区间的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
8．设点分别是空间四边形的边的中点，且，，，则异面直线与所成角的正弦值是（ ）
A. B.
C. D.
9．函数y=log2的定义域
A.（，3） B.（，+∞）
C.（，3） D.[，3]
10．设函数的最小值为-1，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，则实数的值为______.
12．已知，则______.
13．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则__________.
14．已知函数（）的部分图象如图所示，则的解析式是___________.

15．在正三棱柱中，为棱的中点，若是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为__________
16．若坐标原点在圆的外部，则实数m的取值范围是___
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）当时，用定义法证明函数在上是减函数；
（2）已知二次函数满足，，若不等式恒成立，求的取值范围.
18．已知函数，.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，D为AC中点

（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；
（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1
20．设
（1）分别求
（2）若，求实数的取值范围
21．已知函数，函数的最小正周期为.
（1）求函数的解析式，及当时，的值域；
（2）当时，总有，使得，求实数m的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据对数函数的性质即可确定的范围.
【详解】由对数及不等式的性质知：，而，
所以.
故选：B
2、B
【解析】作出函数图像，数形结合求解即可.
【详解】解：根据题意，，故，
故函数与的图像如图，

由于函数与的图像只有一个交点，
所以方程有且只有一个实数根，
所以函数的零点个数为1个.
故选：B
3、C
【解析】，该值接近，选C.
4、B
【解析】直线l的斜率等于tan45°=1，
由点斜式求得直线l的方程为y-0=，
即
故选：B
5、B
【解析】对于A、B：由棱柱的定义直接判断；
对于C：由正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等，即可判断；
对于D：由球的表面不能展开成平面图形即可判断
【详解】对于A：棱柱最少有5个面，则A错误；
对于B：棱柱的所有侧面都是平行四边形，则B正确；
对于C：正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等，则C错误；
对于D：球的表面不能展开成平面图形，则D错误
故选：B
6、A
【解析】∵
∴
∴
∴
故选A
7、C
【解析】判断函数非奇非偶函数，排除选项A、B，在计算时的函数值可排除选项D，进而可得正确选项.
【详解】因为，且，
所以既不是奇函数也不是偶函数，排除选项A、B，
因为，排除选项D，
故选：C
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
8、C
【解析】取BD中点G，连结EG、FG
∵△ABD中，E、G分别为AB、BD的中点
∴EG∥AD且EG=AD=4，
同理可得：FG∥BC且FG=BC=3，
∴∠FEG（或其补角）就是异面直线AD与EF所成的角

∵△FGE中，EF=5，EG=4，FG=3，∴EF2=25=EG2+FG2，得
故答案为C．
9、A
【解析】由真数大于0，求解对分式不等式得答案；
【详解】函数y=log2的定义域需满足
故选A.
【点睛】】本题考查函数的定义域及其求法，考查分式不等式的解法，是中档题
10、C
【解析】当时，为增函数，最小值为，故当时，，分离参数得，函数开口向下，且对称轴为，故在递增，，即.
考点：分段函数的最值.
【思路点晴】本题主要考查分段函数值域问题，由于函数的最小值为，所以要在两段函数图象都要讨论最小值.首先考虑没有参数的一段，当时，为增函数，最小值为.由于这一段函数值域已经包括了最小值，故当时，值域应该不小于，分离常数后利用二次函数图象与性质可求得参数的取值范围.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由指数式与对数式的互化公式求解即可
【详解】因为，
所以，
故答案为：
12、
【解析】利用商数关系，由得到代入求解.
【详解】方法一：，则.
方法二：分子分母同除，得.
故答案为：
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
13、##
【解析】由，可得函数是以为一个周期的周期函数，再根据函数的周期性和奇偶性将所求转化为已知区间即可得解.
【详解】解：因为
所以函数是以为一个周期的周期函数，
所以，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
所以.
故答案为：.
14、
【解析】由图可知，，得，从而，所以，然后将代入，得，又，得，因此，，注意最后确定的值时，一定要代入，而不是，否则会产生增根.
考点：三角函数的图象与性质.
15、
【解析】由题，设 ，截面是面积为6的直角三角形，则由 得，又
则
故答案为
16、
【解析】方程表示圆，得，根据点在圆外，得不等式，解不等式可得结果.
【详解】圆的标准方程为，则，
若坐标原点在圆的外部，则，解得，则实数m的取值范围是，
故答案为：
【点睛】本题考查圆的一般方程，考查点与圆的位置关系的应用，属于简单题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）在上为减函数．运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号、下结论等步骤；
（2）设，由题意可得，，的方程，解得，，，可得，由参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围
【详解】解：（1）在上为减函数
证明：设，，
由，可得，，即，即有，
所以在上为减函数；
（2）设，则，
由，可得，
则，，
解得，，
即有，
不等式恒成立，即为，即对恒成立，
由，当时，取得最小值，
可得
即的取值范围是
18、 (1) ;(2) ,.
【解析】（1）将函数化为的形式后可得最小正周期．（2）由，可得，将作为一个整体，结合图象可得函数的最值
试题解析：
（1）

∴的最小正周期.
（2）∵，
∴
∴当，即时，，
当，即时，.
19、（1）见解析； （2）见解析.
【解析】（1）连接交于点，连接，可得为中位线，，结合线面平行的判定定理，得平面；（2）由底面，得,正三角形中，中线，结合线面垂直的判定定理，得平面，最后由面面垂直的判定定理，证出平面平面.
【详解】
（1）连接交于点，连接，则点为的中点
为中点，得为中位线，
，
平面平面，
∴直线平面；
（2）证明：底面，
，
∵底面正三角形，是中点
，
平面，
平面，∴平面平面
【点睛】本题考查了直三棱柱的性质，线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
20、（1）；或
（2）
【解析】（1）解不等式，直接计算集合的交集并集与补集；
（2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围.
【小问1详解】
解：解不等式可得，，
所以，或，或；
【小问2详解】
解：由可得，且，
所以，解得，即.
21、（1），值域为
（2）
【解析】（1）由正弦函数的周期求得得解析式，利用正弦函数的性质可得函数值域；
（2）利用时，的值域是集合的子集，分类讨论求得的最大值和最小值，得出不等关系，从而得出结论
【小问1详解】
，.
因为，所以，所以的值域为.
【小问2详解】
当时，总有，使得，
即时，函数的值域是的子集，即当时，.
函数，其对称轴，开口向上.
当时，即，可得，，
所以，解得；
当即时，在上单调递减，在上单调递增；
所以，所以.
当时，即，可得，，
所以，此时无解.
综上可得实数m的取值范围为.