2025年江西省丰城九中数学高一第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2025年江西省丰城九中数学高一第一学期期末质量跟踪监视模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，，若对任意,或，则的取值范围是
A. B.
C. D.
2．已知，，则下列不等式中恒成立的是
A. B.
C. D.
3．下列命题中正确的是（）
A.第一象限角小于第二象限角 B.锐角一定是第一象限角
C.第二象限角是钝角 D.平角大于第二象限角
4．已知函数在区间上的值域为，对任意实数都有，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．已知，则的值为（）
A. B.
C.1 D.2
6．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数取值范围为　　
A. B.
C. D.
7．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．函数的零点为，，则的值为（）
A.1 B.2
C.3 D.4
9．函数的图象大致为（
A. B.
C. D.
10．设定义在R上的函数满足，且，当时，，则
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数满足，且当时，则______
12．在平面直角坐标系中，已知点A在单位圆上且位于第三象限，点A的纵坐标为，现将点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为，则点B的坐标为___________.
13．若关于的方程的一个根在区间上，另一个根在区间上，则实数的取值范围是__________
14．不等式的解为______
15．计算：__________.
16．若直线经过点，且与斜率为的直线垂直，则直线的方程为
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．对于两个函数：和，的最大值为M，若存在最小的正整数k，使得恒成立，则称是的“k阶上界函数”.
（1）若，是的“k阶上界函数”.求k的值；
（2）已知，设，，.
（i）求的最小值和最大值；
（ii）求证：是的“2阶上界函数”.
18．某旅游风景区发行的纪念章即将投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
上市时间x天
2
6
20
市场价y元
102
78
120
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①；②；③；
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；
（3）利用你选取的函数，若存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围.
19．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．若，
（）求向量，夹角的正切值
（）问点在什么位置时，向量，夹角最大？
20．设函数
（1）求函数的值域；
（2）设函数，若对，求正实数a的取值范围
21．如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATS是一座半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地.现有一开发商想在平地上建造一个两边分别落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】先判断函数g（x）的取值范围，然后根据或成立求得m的取值范围.
【详解】∵g（x）＝﹣2，当x<时,恒成立，
当x≥时，g（x）≥0，
又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，
∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立，
即m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立，
则二次函数y＝m（x﹣2m）（x+m+3）图象开口只能向下，且与x轴交点都在（，0）的左侧，
∴，
即，
解得＜m＜0，
∴实数m的取值范围是：（，0）
故选C
【点睛】本题主要考查指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立是解决本题的关键，综合性较强，难度较大
2、D
【解析】直接利用特殊值检验及其不等式的性质判断即可.
【详解】对于选项A，令，，但，则A错误；
对于选项B，令，，但，则B错误；
对于选项C，当时，，则C错误；
对于选项D，有不等式的可加性得，则D正确，
故选：D.
3、B
【解析】根据象限角的定义及锐角、钝角及平角的大小逐一分析判断即可得解.
【详解】解：为第一象限角，为第二象限角，故A错误；
因为锐角，所以锐角一定是第一象限角，故B正确；
因为钝角，平角，
为第二象限角，故CD错误.
故选：B.
4、D
【解析】根据关于对称，讨论与的关系，结合其区间单调性及对应值域求的范围.
【详解】由题设，，易知：关于对称，又恒成立，
当时，，则，可得；
当时，，则，可得；
当，即时，，则，即，可得；
当，即时，，则，即，可得；
综上，.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质，讨论其对称轴与给定区间的位置关系，结合对应值域及求参数范围.
5、A
【解析】先使用诱导公式，将要求的式子进行化简，然后再将带入即可完成求解.
【详解】由已知使用诱导公式化简得：，
将代入即.
故选：A.
6、B
【解析】分别求出在的值域，以及在的值域，令在的最大值不小于在的最大值，得到的关系式，解出即可.
【详解】对于函数，当时，，
由，可得，
当时，，
由，可得，
对任意，，
对于函数，
，
，
，
对于，使得，
对任意，总存在，使得成立，
，解得，
实数的取值范围为，故选B
【点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）只需；（2），只需；（3），只需；（4），，.
7、A
【解析】将写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出的取值范围.
【详解】因为，所以，
当在上单调递增时，，所以，
当在上单调递增时，，所以，
且，所以，
故选：A.
【点睛】思路点睛：根据分段函数单调性求解参数范围的步骤：
（1）先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围；
（2）根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系；
（3）结合（1）（2）求解出参数的最终范围.
8、C
【解析】根据零点存在性定理即可求解.
【详解】是上的增函数，
又，
函数的零点所在区间为，
又，
.
故选：C.
9、A
【解析】由函数的奇偶性质可知函数为偶函数，再结合时函数的符号即可得答案.
【详解】解：由题知函数的定义域为，关于原点对称，，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故排除B，D，当时，，故排除C，得A为正确选项.
故选：A
10、C
【解析】结合函数的周期性和奇偶性可得，代入解析式即可得解.
【详解】由，可得.
，所以.
由，可得.
故选C.
【点睛】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性，着重考查了学生的转化和运算能力，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1009
【解析】推导出，当时，从而当时，，，由此能求出的值
【详解】∵函数满足，
∴，
∵当时，
∴当时，，，
∴
故答案为1009
【点睛】本题主要考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题
12、
【解析】设点A是角终边与单位圆的交点，根据三角函数的定义及平方关系求出，，再利用诱导公式求出，即可得出答案.
【详解】解：设点A是角的终边与单位圆的交点，
因为点A在单位圆上且位于第三象限，点A的纵坐标为，
所以，，
因为点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为，
所以，
所以点的横坐标为，
纵坐标为，
即点B的坐标为.
故答案为：.

13、
【解析】设，时，方程只有一个根，不合题意，时，方程的根，就是函数的零点，方程的一个根在区间上，另一个根在区间上，且只需，即，解得，故答案为.
14、
【解析】根据幂函数的性质，分类讨论即可
【详解】将不等式转化成
（Ⅰ），解得；
（Ⅱ），解得；
（Ⅲ），此时无解；
综上，不等式的解集为：
故答案为：
15、
【解析】直接利用二倍角公式计算得到答案.
【详解】.
故答案为：.
16、
【解析】与斜率为的直线垂直，故得到直线斜率为又因为直线经过点，由点斜式故写出直线方程，化简为一般式：
故答案为．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）（i）时，，；时，，；时，，；（ii）证明部分见解析.
【解析】（1）先求，的范围，再求的最大值，利用恒成立问题的方式处理；（2）分类讨论对称轴是否落在上即可；先求的最大值，需观察发现最值在取得，不要尝试用三倍角公式，另外的最大值必定在端点或者在顶点处取得，通过讨论的范围，证明即可
【小问1详解】
时，单调递增，于是，于是
，则最大值为，又恒成立，故
，注意到是正整数，于是符合要求的为.
【小问2详解】
（i）依题意得，为开口向上，对称轴为的二次函数，于是在上递减，在上递增，由于，，下分类讨论：当，即时，，
；当，即时，
，；当，
即当，在上递减，，.
（ii），则，当，即取等号，，，则
，下令
，只需说明时，即可，分类如下：
当时，，且注意到
，此时
，显然时，单调递减，于是；
当，由基本不等式，，且
，，即，此时，而
，时，
由基本不等式，，故有：
综上，时，，即当时，最小正整数
【点睛】本题综合的考查了分类讨论思想，函数值域的求法等问题，特别是观察分析出的最大值，若用三倍角公式反倒会变得更加复杂.
18、（1）选择，理由见解析，（2）上市天数10天，最低价格70元，（3）
【解析】(1)根据函数的单调性选取即可.
(2) 把点代入中求解参数,再根据二次函数的最值求解即可.
(3)参变分离后再求解最值即可.
【详解】（1）随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中和显然都是单调函数，不满足题意，
∴选择.
（2）把点代入中，
得，
解得，

∴当时，y有最小值
故当纪念章上市10天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为70元 ，
（3）由题意，令，
若存在使得不等式成立，则须，
又，当且仅当时，等号成立，
所以.
【点睛】本题主要考查了二次函数模型解决实际问题的题型,需要根据题意求解对应的二次函数式再分析最值与求参数.属于中等题型.
19、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】分析：（）设向量与轴的正半轴所成的角分别为， 则向量所成的夹角为，由两角差的正切公式可得向量夹角的正切值为；（）由 （1）知 ，利用基本不等式即可的结果.
详解：（1）由题意知，A的坐标为A（0，6），B的坐标为B（0，4），C（x，0），x＞0
设向量，与x轴的正半轴所成的角分别为α，β，
则向量，所成的夹角为|β﹣α|=|α﹣β|，
由三角函数的定义知：tanα=，tanβ=，由公式tan（α﹣β）=，
得向量，的夹角的正切值等于tan（α﹣β）==，
故所求向量，夹角的正切值为tan（α﹣β）=；
（2）由 （1）知tan（α﹣β）==≤=，
所以tan（α﹣β）的最大值为时，夹角α﹣β|的值也最大，
当x=时，取得最大值成立，解得x=2，
故点C在x的正半轴，距离原点为2，
即点C的坐标为C（2，0）时，向量，夹角最大
点睛：本题主要考查利用平面向量的夹角、两角差的正切公式以及基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
20、（1）函数的值域为.
（2）
【解析】(1)由已知，利用基本不等式可求函数的值域；(2)由对可得函数函数在上的值域包含与函数在上的值域，由此可求正实数a的取值范围
【小问1详解】
，
，则，当且仅当时取“=”，
所以，即函数的值域为.
【小问2详解】
设，因为所以，函数在上单调递增，
则函数在上单调递增，，设时，函数的值域为A．由题意知．函数图象的对称轴为，
当，即时，函数在上递增，则，解得，
当时，即时，函数在上的最大值为，中的较大者，而且，不合题意，
当，即时，函数在上递减，则，满足条件的不存在，
综上，
21、14050−9000（m2）
【解析】设，然后表示出，进而表示出矩形PQCR的面积，再根据三角函数的相关知识化简求值，解决问题.
详解】解：如图，连接AP，

设，延长RP交AB于M，
则，，∴，
.
∴矩形PQCR的面积为

设，则，
∴，
∴当时，.，
故长方形停车场PQCR面积的最大值是.