2025年湖北省荆州市公安县数学高一第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

2025年湖北省荆州市公安县数学高一第一学期期末统考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知是函数的反函数，则的值为（）
A.0 B.1
C.10 D.100
2．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（ ）（参考数据：）
A.分钟 B.分钟
C.分钟 D.分钟
3．若函数（）在有最大值无最小值，则的取值范围是（）
A. B.
C. D
4．设集合，则（）
A. B.
C.{2} D.{-2，2}
5．若集合，则集合的所有子集个数是
A.1 B.2
C.3 D.4
6．已知直线：与：平行，则的值是（ ）.
A.或 B.或
C.或 D.或
7．已知函数，若关于x的方程恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．函数f（x）=2ax+1–1（a>0，且a≠1）恒过定点
A.（–1，–1） B.（–1，1）
C.（0，2a–1） D.（0，1）
9．已知定义在R上的奇函数f(x)满足，当时,,则（　　）
A. B.
C. D.
10．已知，那么（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数(，，)的部分图象如图，则函数的单调递增区间为______.

12．命题，，则为______.
13．若函数在上单调递增，则的取值范围是__________
14．函数的定义域为______.
15．如图，已知圆柱的轴截面是矩形，，是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为__________

16． (2016·桂林高二检测)如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是________.

(1)A′C⊥BD.(2)∠BA′C=90°.
(3)CA′与平面A′BD所成的角为30°.
(4)四面体A′-BCD的体积为.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．若存在实数、使得，则称函数为、的“函数”
（1）若．为、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求、的解析式；
（2）设函数，，是否存在实数、使得为、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，请求出、的值；若不存在，请说明理由．（注：为自然数．）
18．素有“天府之国”美称的四川省成都市，属于亚热带季风性湿润气候.据成都市气象局多年的统计资料显示，成都市从1月份到12月份的平均温(℃)与月份数(月)近似满足函数，从1月份到7月份的月平均气温的散点图如下图所示，且1月份和7月份的平均气温分别为成都全年的最低和最高的月平均气温.

（1）求月平均气温(℃)与月份数(月)的函数解析式；
（2）推算出成都全年月平均气温低于但又不低于的是哪些月份.
19．已知，且是第________象限角.
从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：
（1）求的值；
（2）化简求值：.
20．已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，
集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}
(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.
(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若an作答.
【详解】因是函数的反函数，则，，
所以的值为0.
故选：A
2、D
【解析】由已知条件得出，，，代入等式，求出即可得出结论.
【详解】由题知，，，所以，，可得，
所以，，.
故选：D.
3、B
【解析】求出，根据题意结合正弦函数图象可得答案.
【详解】∵，∴，
根据题意结合正弦函数图象可得
，解得.
故选：B.
4、C
【解析】解一元二次不等式,求出集合B，解得集合A,根据集合的交集运算求得答案.
【详解】由题意解得：，
故，或，
所以，
故选：C
5、D
【解析】根据题意，集合的所有子集个数，选
6、C
【解析】当k-3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k-3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值
解：由两直线平行得，当k-3=0时，两直线方程分别为 y=-1 和 y=3/2，显然两直线平行．当k-3≠0时，由，可得 k=5．综上，k的值是 3或5，
故选 C
7、D
【解析】根据题意，函数与图像有两个交点，进而作出函数图像，数形结合求解即可.
【详解】解：因为关于x的方程恰有两个不同的实数解，
所以函数与图像有两个交点，
作出函数图像，如图，

所以时，函数与图像有两个交点，
所以实数m的取值范围是
故选：D
8、B
【解析】令x+1=0，求得x和y的值，从而求得函数fx）=2ax+1–1（a>0，且a≠1）恒过定点的坐标
【详解】令x+1=0，求得 x=-1，且y=1，
故函数f（x）=2ax+1–1（a＞0且a≠1）恒过定点（-1，1），
故选B.
【点睛】】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题
9、B
【解析】 由题意得，因为，则，
所以函数表示以为周期的周期函数，
又因为为奇函数，所以，
所以，，
，
所以，故选B.
10、B
【解析】先利用指数函数单调性判断b，c和1大小关系，再判断a与1的关系，即得结果.
【详解】因为在单调递增，，故，即，
而，故.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由函数的图象得到函数的周期，同时根据图象的性质求得一个单调增区间，然后利用周期性即可写出所有的增区间.
【详解】由图可知函数f(x)的最小正周期.
如图所示，一个周期内的最低点和最高点分别记作，
分别作在轴上的射影，记作,
根据的对称性可得的横坐标分别为,
∴是函数f(x)的一个单调增区间，
∴函数的单调增区间是,
故答案为：,

【点睛】本题关键在于掌握函数图象的对称性和周期性.一般往往先从函数的图象确定函数中的各个参数的值，再利用函数的解析式和正弦函数的性质求得单调区间，但是直接由图象得到函数的周期，并根据函数的图象的性质求得一个单调增区间，进而写出所有的增区间，更为简洁.
12、，
【解析】由全称命题的否定即可得解.
【详解】因为命题为全称命题，
所以为“，”.
故答案为：，.
13、
【解析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征，可求得的取值范围
【详解】∵函数在上单调递增，
∴函数在区间上为增函数，
∴，解得，
∴实数的取值范围是
故答案为
【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数在上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题
14、且
【解析】由根式函数和分式函数的定义域求解.
【详解】由，解得且，
所以函数的定义域为且
故答案为：且
15、
【解析】
取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，
因为C是圆柱下底面弧AB中点，所以AD∥BC，
所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，
因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，
所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，
因为圆柱的轴截面ABB1A1是矩形， AA1=2AB
所以C1D＝2AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2
故答案为：2.
点睛：求两条异面直线所成角关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置.
16、 (2)(4)
【解析】详解】若A′C⊥BD，又BD⊥CD，
则BD⊥平面A′CD，则BD⊥A′D，显然不可能，故(1)错误.
因为BA′⊥A′D，BA′⊥CD，故BA′⊥平面A′CD，
所以BA′⊥A′C，所以∠BA′C=90°，故(2)正确.
因为平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，
所以CD⊥平面A′BD，CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D，
因为A′D=CD，
所以∠CA′D=，故(3)错误.
四面体A′-BCD的体积为V=S△BDA′·h=××1=，
因为AB=AD=1，DB=，
所以A′C⊥BD，综上(2)(4)成立.
点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；
（2）存在；，.
【解析】（1）由已知条件可得出关于、的等式组，由此可解得函数、的解析式；
（2）由偶函数的定义可得出，由函数的值域结合基本不等式以及对数函数的单调性可求得的值，进而可求得的值，即可得解.
【小问1详解】
解：因为为、的“函数”，
所以①，所以
因为为奇函数，为偶函数，所以，
所以②
联立①②解得，
【小问2详解】
解：假设存在实数、，使得为，的“函数”
则
①因为是偶函数，所以
即，即，
因为，整理得
因为对恒成立，所
②，
因为，当且仅当，即时取等号
所以，
由于的值域为，所以，且
又因为，所以，
综上，存在，满足要求
18、（1）．（2）3月、4月、9月、10月
【解析】（1）利用五点法求出函数解析式；
（2）解不等式可得结论
【详解】（1）由题意，，，，又，而，∴
∴
（2）由，解得或
或，又，∴3，4，9，10
∴全年月平均气温低于但又不低于的是3月、4月、9月、10月
【点睛】方法点睛：本题三角函数应用，解题关键是根据已知函数模型求出函数解析式，掌握五点法是解题基础，然后根据函数解析式列式（方程或不等式）计算求解
19、（1）答案不唯一，具体见解析（2）
【解析】（1）考虑为第三象限或第四象限角两种情况，根据同角三角函数关系计算得到答案.
（2）化简得到原式，代入数据计算得到答案.
【详解】（1）因为，所以为第三象限或第四象限角；
若选③，；
若选④，；
（2）原式.
【点睛】本题考查了同角三角函数关系，诱导公式化简，意在考查学生的计算能力和转化能力.
20、（1）A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}；（2）见解析.
【解析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，xi∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A；
（Ⅱ）由于ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an}
(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1，2，…，n及an