2025-2026学年江苏省常州市北郊高级中学高一数学第一学期期末教学质量检测试题含解析.doc

2025-2026学年江苏省常州市北郊高级中学高一数学第一学期期末教学质量检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知命题，，则p的否定是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
2．函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）.
A. B.
C. D.
3．下列函数中，能用二分法求零点的是（　　）
A. B.
C. D.
4．已知，点在轴上，，则点的坐标是
A. B.
C.或 D.
5．已知函数对任意都有，则等于
A.2或0 B.-2或0
C.0 D.-2或2
6．不等式的解集是（）
A B.
C.或 D.或
7．已知，则
A.-2 B.-1
C. D.2
8．若，则tanθ等于（ ）
A.1 B.-1
C.3 D.-3
9．与圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
10．角的终边过点，则等于
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知扇形周长为4，圆心角为，则扇形面积为__________.
12．已知集合，若，则________.
13．如图，在三棱锥中，已知，，，，则三棱锥的体积的最大值是________.

14．函数的定义域为_____________
15．已知集合A＝{﹣1，2，3}，f：x→2x是集合A到集合B的映射，则写出一个满足条件的集合B_____
16．已知，则满足f(x)＝的x的值为________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数（x∈R，(m>0)是奇函数.
（1）求m的值：
（2）用定义法证明：f（x）是R上的增函数.
18．已知向量、、是同一平面内的三个向量，且.
（1）若，且，求；
（2）若，且与互相垂直，求.
19．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示

（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围
20．在平面直角坐标系中,设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点,经过这三点的圆记为
(1)求圆的方程；
(2)若过点的直线与圆相交,所截得的弦长为4,求直线的方程.
21．已知角，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】由否定的定义写出即可.
【详解】p的否定是，.
故选：D
2、D
【解析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式化为，解得答案
【详解】解：由函数为奇函数，得，
不等式即为，
又单调递减，所以得，即，
故选：D.
3、D
【解析】利用零点判定定理以及函数的图象，判断选项即可
【详解】由题意以及零点判定定理可知：只有选项D能够应用二分法求解函数的零点，
故选D
【点睛】本题考查了零点判定定理的应用和二分法求解函数的零点，是基本知识的考查
4、C
【解析】依题意设，根据，解得，所以选.
5、D
【解析】分析：由条件可得，函数f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）等于函数的最值，从而得出结论
详解：由题意可得，函数f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）=±2，
故答案为±2
点睛：本题考查了函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题目．一般 函数的对称轴为a， 函数的对称中心为（a,0）.
6、D
【解析】将分式不等式移项、通分，再转化为等价一元二次不等式，解得即可；
【详解】解：∵，，即，等价于且，解得或，∴所求不等式的解集为或，
故选：D.
7、B
【解析】，，则，故选B.
8、D
【解析】由诱导公式及同角三角函数基本关系化简原式即可求解.
【详解】由已知
即

故选：D
【点睛】本题考查诱导公式及同角三角函数基本关系，属于简单题.
9、A
【解析】设所求圆的圆心坐标为，列出方程组，求得圆心关于的对称点，即可求解所求圆的方程.
【详解】由题意，圆的圆心坐标，
设所求圆的圆心坐标为，则圆心关于的对称点，
满足，解得，
即所求圆的圆心坐标为，且半径与圆相等，
所以所求圆方程为，故选A.
【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程，以及准确求解点关于直线的对称点的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10、B
【解析】由三角函数的定义知，x＝－1，y＝2，r＝＝，∴sinα＝＝.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】利用扇形的弧长公式求半径，再由扇形面积公式求其面积即可.
【详解】设扇形的半径为，则，可得，而扇形的弧长为，
所以扇形面积为.
故答案为：1.
12、0
【解析】若两个集合相等,则两个集合中的元素完全相同.
,
又,

故答案为0.
点睛：利用元素的性质求参数的方法
（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；
（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验.
13、
【解析】过作垂直于的平面，交于点，，作，通过三棱锥体积公式可得到，可分析出当最大时所求体积最大，利用椭圆定义可确定最大值，由此求得结果.
【详解】过作垂直于的平面，交于点，作，垂足为，

，
当取最大值时，三棱锥体积取得最大值，
由可知：当为中点时最大，
则当取最大值时，三棱锥体积取得最大值.
又，在以为焦点的椭圆上，此时，，
，，
三棱锥体积最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥体积最值的求解问题，解题关键是能够将所求体积的最值转化为线段长度最值的求解问题，通过确定线段最值得到结果.
14、
【解析】令解得答案即可.
【详解】令.
故答案为：.
15、{﹣2，4，6}
【解析】先利用应关系f：x→2x，根据原像求像的值，像的值即是满足条件的集合B中元素
【详解】∵对应关系为f：x→2x，={-1，2，3}，
∴2x=-2，4，6共3个值，
则-2，4，6这三个元素一定在集合B中，
根据映射的定义集合B中还可能有其他元素，
我们可以取其中一个满足条件的集合B，
不妨取集合B={-2，4，6}.
故答案为：{-2，4，6}
【点睛】本题考查映射的概念，像与原像的定义，集合A中所有元素的集合即为集合B中元素集合.
16、3
【解析】分和两种情况并结合分段函数的解析式求出x的值
【详解】由题意得(1) 或(2) ，
由(1)得x＝2，与x≤1矛盾，故舍去
由(2)得x＝3，符合x>1
∴x＝3
故答案为3
【点睛】已知分段函数的函数值求自变量的取值时，一般要进行分类讨论，根据自变量所在的范围选用相应的解析式进行求解，求解后要注意进行验证．本题同时还考查对数、指数的计算，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）2（2）证明见解析
【解析】(1) 因为是定义在R上的奇函数，则，即可得出答案.
(2)通过，来证明f（x）是R上的增函数.
【小问1详解】
因为函数是奇函数，
则，
解得，经检验，当时，为奇函数，所以值为2；
【小问2详解】
证明：由（1可知，，
设，则，
因为，所以，
故，即，
所以是R上的增函数.
18、（1）或（2），
【解析】（1）先设，根据题意有求解.
（2）根据，，得，，然后根据与互相垂直求解.
【详解】（1）设，依题意得，
解得或，
即或 .
（2）因为，
，
因为与互相垂直，
所以，
即，
所以，，
解得或.
【点睛】本题主要考查平面向量的向量表示和运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19、（1）
（2）
【解析】（1）利用可求时的解析式，当时，利用奇偶性可求得时的的解析式，由此可得结果；
（2）作出图象，将问题转化为与有个交点，数形结合可得结果.
【小问1详解】
由图象知：，即，解得：，当时，；
当时，，，
为上的偶函数，当时，；
综上所述：；
【小问2详解】
为偶函数，图象关于轴对称，可得图象如下图所示，

有个不相等的实数根，等价于与有个不同的交点，
由图象可知：，即实数的取值范围为.
20、 (1);(2)或
【解析】（1）先求得圆三个交点，，由和的垂直平分线得圆心，进而得半径；
（2）易得圆心到直线的距离为1，讨论直线斜率不存在和存在时，利用圆心到直线的距离求解即可.
试题解析：
二次函数的图像与两坐标轴轴的三个交点分别记为
(1)线段的垂直平分线为,线段的垂直平分线,
两条中垂线的交点为圆心,又半径,
∴圆的方程为:
(2)已知圆的半径,弦长为4,所以圆心到直线的距离为1,
若直线斜率不存在时,即时,满足题意;
当直线斜率存在时,设直线斜率存在为,直线方程为
,此时直线方程为:,
所以直线的方程为:或.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小
21、（1）
（2）
【解析】（1）依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得到的方程，解得，再根据的范围求出；
（2）根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【小问1详解】
解：由，有，
有，整理为，
有，解得或.
又由，有，可得；
【小问2详解】
解：

.