2025年河南省正阳县第一高级中学高一上数学期末统考试题含解析.doc

2025年河南省正阳县第一高级中学高一上数学期末统考试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设集合A={-2，1}，B={-1，2}，定义集合AB={x|x=x1x2，x1∈A，x2∈B}，则AB中所有元素之积
A.-8
B.-16
C.8
D.16
2．已知全集,集合，集合，则
A. B.
C. D.
3．已知函数，若正实数、、、互不相等，且，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4．已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（）
A.{−2，3} B.{−2，2，3}
C.{−2，−1，0，3} D.{−2，−1，0，2，3}
5．已如集合，，，则（）
A. B.
C. D.
6．在平面直角坐标系中，角与角项点都在坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于y轴对称，若，则（）
A. B.
C. D.
7．下列各式中成立的是
A. B.
C. D
8．下列函数中，以为最小正周期且在区间上为增函数的函数是（ ）
A. B.
C. D.
9．已知函数，若正数，，满足，则（）
A.
B.
C.
D.
10．函数有（ ）
A.最大值 B.最小值
C.最大值2 D.最小值2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知角的终边过点，则______
12．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则__________.
13．已知向量,其中，若，则的值为_________.
14．已知正三棱柱的棱长均为2，则其外接球体积为__________
15．若，且，则上的最小值是___
16．设，，则的取值范围是______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）若，求的最大值;
（2）若，求关于不等式的解集.
18．如图1所示，在中，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使如图2所示.

（1）求证：//平面；
（2）求证：；
（3）线段上是否存在点，使平面？请说明理由.
19．已知圆C经过点，两点，且圆心在直线上
（1）求圆C的方程；
（2）已知、是过点且互相垂直的两条直线，且与C交于A，B两点，与C交于P、Q两点，求四边形APBQ面积的最大值

20．已知函数在上的最小值为
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，求的最大值以及此时x的取值集合
21．计算题

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】∵集合A={-2，1}，B={-1，2}，
定义集合AB={x|x=x1x2，x1∈A，x2∈B}，
∴AB={2，-4，-1}，
故AB中所有元素之积为：2×（-4）×（-1）=8
故选C
2、C
【解析】先求出，再和求交集即可.
【详解】因全集,集合，所以，
又，所以.
故选C
【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型.
3、A
【解析】利用分段函数的定义作出函数的图象，不妨设，根据图象可得出，，，的范围同时，还满足，即可得答案
【详解】解析：如图所示：正实数、、、互不相等，不妨设

∵
则，∴，∴
且，，∴
故选：A
4、A
【解析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.
【详解】由题意可得：，则.
故选：A.
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.
5、C
【解析】根据交集和补集的定义可求.
【详解】，故，
故选：C.
6、A
【解析】利用终边相同的角和诱导公式求解.
【详解】因为角与角的终边关于y轴对称，
所以，
所以，
故选：A
7、D
【解析】根据指数运算法则分别验证各个选项即可得到结果.
【详解】中，中，，中，；且等式不满足指数运算法则，错误；
中，，错误；
中，，则，错误；
中，，正确.
故选：
【点睛】本题考查指数运算法则的应用，属于基础题.
8、B
【解析】对四个选项依次判断最小正周期及单调区间,即可判断.
【详解】对于A, ,最小正周期为,单调递增区间为,即,在内不单调,所以A错误;
对于B, 的最小正周期为,单调递增区间为,即,在内单调递增,所以B正确;
对于C, 的最小正周期为,所以C错误;
对于D, 的最小正周期为,所以D错误.
综上可知,正确的为B
故选:B
【点睛】本题考查了函数的最小正周期及单调区间的判断,根据函数性质判断即可,属于基础题.
9、B
【解析】首先判断函数在上单调递增；然后根据，同时结合函数的单调性及放缩法即可证明选项B；通过举例说明可判断选项A，C，D.
【详解】因为，所以函数在上单调递增；
因为，，，均为正数，所以，
又，所以，
所以，所以，
又因为
，所以，选项B正确；
当时，满足，但不满足，故选项A错误；
当时，满足，但此时，不满足，故选项C错误；
当时，满足，但此时，不满足，故选项D错误.
故选：B.
10、D
【解析】分离常数后，用基本不等式可解.
【详解】（方法1则，当且仅当，即时，等号成立.
（方法2）令，，，.
将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据三角函数的定义求出r即可．
【详解】角的终边过点，
，
则，
故答案为
【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义是解决本题的关键．三角函数的定义将角的终边上的点的坐标和角的三角函数值联系到一起，.知道终边上的点的坐标即可求出角的三角函数值，反之也能求点的坐标.
12、0
【解析】根据题意，可知将函数的图象向右平移个单位长度后得到，由函数图象的平移得出的解析式，即可得出的结果.
【详解】解：由题意可知，将函数的图象向右平移个单位长度后得到，
则，
所以.
故答案为：0.
13、4
【解析】利用向量共线定理即可得出
【详解】∵∥，
∴＝8，
解得，其中，
故答案为
【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了向量的坐标运算，属于基础题
14、
【解析】
分别是上，下底面的中心，则的中点为几何体的外接球的球心，
15、
【解析】将的最小值转化为求的最小值，然后展开后利用基本不等式求得其最小值
【详解】解：因为，且，
，当且仅当时，即，时等号成立；
故答案为：
16、
【解析】由已知求得，然后应用诱导公式把求值式化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质求得范围
【详解】，，所以，
所以
，
，，，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）答案见解析
【解析】（1）由题得，利用基本不等式可求；
（2）不等式即，讨论的大小可求解.
【小问1详解】
由，得.
，
，即(当且仅当时“”成立.).
故的最大值为；
【小问2详解】
，即.
当时，即时，不等式的解集为
当时，即时，不等式的解集为;
当时，即时，不等式的解集为.
综上，当时，不等式的解集为;
当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为.
18、（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】（1）∵DE∥BC，由线面平行的判定定理得出
（2）可以先证，得出，∵ ∴
∴
(3)Q为的中点，由上问 ，易知,取 中点P，连接DP和QP，不难证出，∴∴ ,又∵∴
19、（1）
（2）7
【解析】（1）根据题意，求出MN的中垂线的方程为，分析可得圆心为直线和的交点，联立直线的方程可得圆心的坐标，进而求出圆的半径，由圆的标准方程可得答案；
（2）根据题意，分2种情况讨论：，当直线，，其中一条直线斜率为0时，另一条斜率不存在，分析可得四边形APBQ的面积；，当直线，斜率均存在时，设直线的斜率为k，则方程的方程为，用k表示四边形APBQ的面积，由二次函数分析其最值，综合即可得答案
【小问1详解】
根据题意，点，，则线段MN的中垂线方程为，
圆心为直线和的交点，
则有，解得，所以圆C的圆心坐标为；
半径，
所以圆C的方程为.
【小问2详解】
根据题意，已知、是互相垂直的两条直线，分2种情况讨论：
，当直线，，其中一条直线斜率为0时．另一条斜率不存在
不妨令的斜率为0，此时，
四边形APBQ的面积
，当直线，斜率均存在时，设直线的斜率为
则其方程为，圆心到直线的距离为，
于是，
又的方程为
同理，
所以四边形APBQ的面积
，
当且仅当即时，等号成立
因为
综上所述，四边形APBQ面积的最大值为7
20、（1）；
（2）最大值为，此时x的取值集合为.
【解析】(1)利用二倍角公式化简函数，再利用余弦函数性质列式计算作答.
(2)利用余弦函数性质直接计算作答.
【小问1详解】
依题意，，
令，，解得，
所以的单调递增区间为.
小问2详解】
由(1)知，当时，，，
解得，因此，，
当，，即，时，取得最大值1，则取得最大值，
所以的最大值为，此时x的取值集合为.
21、2
【解析】直接利用指数幂的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误.
【详解】化简

.
【点睛】本题主要考查指数幂的运算，属于中档题.指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）