广东省广州市真光中学2026届数学高一第一学期期末考试试题含解析.doc

广东省广州市真光中学2026届数学高一第一学期期末考试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，且，则
A.3 B.
C.9 D.
2．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（）

A. B.
C. D.
3．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A.7
B.9
C.11
D.13
4．设函数，则下列结论错误的是（）
A.的一个周期为
B.的图像关于直线对称
C.的图像关于点对称
D.在有3个零点
5．若直线经过两点，且倾斜角为45°，则m的值为
A. B.1
C.2 D.
6．已知全集，集合，，它们的关系如图（Venn图）所示，则阴影部分表示的集合为（ ）

A. B.
C. D.
7．设函数，则满足的x的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．若，则（）
A. B.
C. D.
9．设集合M={a|x∈R，x2+ax+1＞0}，集合N={a|x∈R，（a-3）x+1=0}，若命题p：a∈M，命题q：a∈N，那么命题p是命题q的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
10．幂函数在上是减函数．则实数的值为　　
A.2或 B.
C.2 D.或1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若偶函数在区间上单调递增，且，，则不等式的解集是___________.
12．已知函数，若正实数，满足，则的最小值是____________
13．若“”是真命题，则实数的最小值为_____________.
14．已知样本9，10，11，，的平均数是10，标准差是，则______，______.
15．已知向量，若，则m=____.
16．设，，则______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）当时，求该函数的值域；
（2）求不等式的解集；
（3）若存在，使得不等式成立，求的取值范围
18．2021年起，辽宁省将实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分A等级排名占比15%，赋分分数区间是86-100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71-85；C等级排名占比35%，赋分分数区间是56-70；D等级排名占比13%，赋分分数区间是41-55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30-40；现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未赋分)进行分析，其频率分布直方图如图所示：

（1）求图中a的值；
（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上(含C等级)？（结果保留整数）
（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50)和[50，60)内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在[40，50)内的概率.
19．在①，，②，，两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题.
已知函数_________填序号即可）.
（1）求函数的解析式及定义域；
（2）解不等式.
20．如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，.

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
21．已知二次函数.
（1）若为偶函数，求在上的值域：
（2）若时，的图象恒在直线的上方，求实数a的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】利用函数的奇偶性以及已知条件转化求解即可
【详解】函数g（x）＝ax3+btanx是奇函数，且,
因为函数f（x）＝ax3+btanx+6（a，b∈R），且，可得＝﹣3，
则＝﹣g（）+6＝3+6＝9
故选C
【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．已知函数解析式求函数值，可以直接将变量直接代入解析式从而得到函数值，直接代入较为繁琐的题目，可以考虑函数的奇偶性的应用，利用部分具有奇偶性的特点进行求解，就如这个题目.
2、D
【解析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.
【详解】因为点C为的中点，，所以，
所以
，
因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，
所以的取值范围是,
故选：D.
3、B
【解析】该几何体是一个圆上面挖掉一个半球，S=2π×3+π×12+=9π.
4、D
【解析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐个判断即可
【详解】，
对A，最小周期为，故也为周期，故A正确；
对B，当时，为的对称轴，故B正确；
对C，当时，，又为的对称点，故C正确；
对D，则，解得，故在内有共四个零点，故D错误
故选：D
5、A
【解析】由两点坐标求出直线的斜率,再由斜率等于倾斜角的正切值列出方程求得的值.
【详解】因为经过两点，的直线的倾斜角为45°，∴，解得，故选A
【点睛】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.
6、C
【解析】根据所给关系图（Venn图），可知是求 ,由此可求得答案.
【详解】根据题意可知，阴影部分表示的是，
故，
故选:C.
7、D
【解析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可
【详解】解：函数的图象如图：
满足，
可得或，
解得
故选：D

8、A
【解析】应用辅助角公式将条件化为，再应用诱导公式求.
【详解】由题设，，则，
又.
故选：A
9、A
【解析】由题意，对于集合M，△=a2-4＜0，解得-2＜a＜2；
对于集合N，a≠3
若-2＜a＜2，则a≠3；反之，不成立.
命题p是命题q的充分不必要条件.
故选A
10、B
【解析】由题意利用幂函数的定义和性质可得，由此解得的值
【详解】解：由于幂函数在时是减函数，
故有，
解得，
故选：
【点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质应用，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据题意，结合函数的性质，分析可得在区间上的性质，即可得答案.
【详解】因为偶函数在区间上单调递增，且，，
所以在区间上单调上单调递减，且，
所以的解集为.
故答案为：
12、9
【解析】根据指数的运算法则，可求得，根据基本不等式中“1”的代换，化简计算，即可得答案.
【详解】由题意得，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是9
故答案为：9
13、1
【解析】若“ ”是真命题，则大于或等于函数在的最大值
因为函数在上为增函数，所以，函数在上的最大值为1，
所以， ，即实数 的最小值为1.
所以答案应填:1.
考点：1、命题；2、正切函数的性质.
14、 ①.20 ②.96
【解析】先由平均数的公式列出x+y=20，然后根据方差的公式列方程，求出x和y的值即可求出xy的值.
【详解】根据平均数及方差公式，可得:

化简得：
，，
或
则，
故答案为：20；96
【点睛】本题主要考查了平均数和方等概念，以及解方程组，属于容易题.
15、-1
【解析】求出的坐标，由向量共线时坐标的关系可列出关于的方程，从而可求出的值.
【详解】解：∵，∴，∵，，
∴，解得.
故答案为: -1
16、
【解析】由，根据两角差的正切公式可解得
【详解】，故答案为
【点睛】本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础知识的考查

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）或；（3）
【解析】（1）令，函数化为，结合二次函数的图象与性质，即可求解；
（2）由题意得到，令，得到，求得不等式的解集，进而求得不等式的解集，得到答案；
（3）令，转化为存在使得成立，结合函数的单调性，求得函数最小值，即可求解.
【详解】（1）令，因为，则，
函数化为
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5，
故当时，函数的值域为
（2）由题意，不等式，即，
令，则，即，解得或，
当时，即，解得；
当时，即，解得，
故不等式的解集为或
（3）由于存在使得不等式成立，
令，，则，即存在使得成立，
所以存在使得成立
因为函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，它的最小值为0，
所以，所以的取值范围是
18、（1）a=0.030；（2）54分；（3）.
【解析】（1）由各组频率和为1列方程即可得解；
（2）由频率分布直方图结合等级达到C及以上所占排名等级占比列方程即可的解；
（3）列出所有基本事件及满足要求的基本事件，由古典概型概率公式即可得解.
【详解】（1）由题意，(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)´10=1，所以a=0.030；
（2）由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为15%+35%+35%=85%，
假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上，易得，
则有(0.005+0.025+0.030+0.015)´10+(60-x)´0.015=0.85，解得x≈53.33(分)，
所以原始分不少于54分才能达到赋分后的C等级及以上；
（3）由题知得分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为01和0.15，
则抽取的5人中，得分在[40,50)内的有2人，得分在[50,60)的有3人
记得分在[50,60)内的3位学生为a，b，c，得分在[40,50)内的2位学生为D，E，
则从5人中任选2人，样本空间可记为
W={ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE},共包含10个样本
用A表示“这2人中恰有一人得分在[40,50)内”，
则A={aD，aE，bD，bE，cD，cE}，A包含6个样本，
故所求概率.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对频率分布直方图的准确把握，在使用列举法解决古典概型的问题时，要注意不遗漏不重复.
19、（1）条件选择见解析，答案见解析；
（2）条件选择见解析，答案见解析.
【解析】（1）根据所选方案，直接求出的解析式，根据对数的真数大于零可求得函数的定义域；
（2）根据所选方案，结合二次不等式和对数函数的单调性可得出原不等式的解集.
【小问1详解】
解：若选①，，由，解得，
故函数定义域为；
若选②，，易知函数定义域为.
【小问2详解】
解：若选①，由（1）知，，
因为在上单调递增，且，所以，
解得或.
所以不等式的解集为；
若选②，由（1）知，，
令，即，解得，即，
因为在上单调递增，且，，所以.
所以不等式的解集为.
20、（1）证明见解析；（2）.
【解析1）先证明AC⊥BE,再取的中点，连接，经计算，利用勾股定理逆定理得到AC⊥BC,然后利用线面垂直的判定定理证得结论；
（2）利用线面垂直的判定定理证得CM⊥平面BEF,即为所求三棱锥的高，进而计算得到其体积.
【详解】解：（1）证明：∵四边形为矩形∴
∵平面∴平面
∵平面∴.
如图，取的中点，连接，

∴
∵，，
∴四边形是正方形.
∴∴，
∵∴∴是直角三角形∴.
∵，、平面
∴平面
（2）由（1）知：
∵平面，平面∴
∵，、平面
∴平面，∴平面
即：是三棱锥的高
∴
【点睛】本题考查线面垂直的证明，棱锥的体积的计算，属基础题.在利用线面垂直的判定定理证明线面垂直时一定要将条件表述全面，“两个垂直，一个相交”不可缺少.
21、（1）；
（2）
【解析】（1）函数为二次函数，其对称轴为．由f（x）为偶函数，可得a＝2，再利用二次函数的单调性求出函数f（x）在[−1，2]上的值域；
（2）根据题意可得f（x）＞ax恒成立，转化为恒成立，将参数分分离出来，再利用均值不等式判断的范围即可
【小问1详解】
根据题意，函数为二次函数，其对称轴为.
若为偶函数，则，解得，
则在上先减后增，
当时，函数取得最小值9，当时，函数取得最大值13，
即函数在上的值域为；
【小问2详解】
由题意知时，恒成立，即.
所以恒成立，
因为，所以，当且仅当即时等号成立.
所以，解得，所以a的取值范围是.