湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中2025年高一数学第一学期期末监测模拟试题含解析.doc

湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中2025年高一数学第一学期期末监测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，则满足的x的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.声强级（单位：dB）与声强度（单位：）之间的关系为，其中基准值.若声强级为60dB时的声强度为，声强级为90dB时的声强度为，则的值为（）
A.10 B.30
C.100 D.1000
3．已知，，，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若对任意，都有成立，则的值为
A. B.1
C. D.2
5．设函数，则下列结论错误的是（）
A.的一个周期为
B.的图像关于直线对称
C.的图像关于点对称
D.在有3个零点
6．已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式为（）
A. B.
C. D.
7．圆与圆的位置关系是（ ）
A.外切 B.内切
C.相交 D.外离
8．对于任意的实数，定义表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9． “学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10．若偶函数在区间上是减函数，是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，若关于方程恰好有6个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________.
12．计算：______.
13．已知a，b为直线，α，β，γ为平面，有下列四个命题：
（1）a∥α，b∥β，则a∥b；
（2）a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；
（3）a∥b，b⊂α，则a∥α；
（4）a⊥b，a⊥α，则b∥α；
其中正确命题是__
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴非负半轴和轴的非负半轴上滑动，顶点在第一象限内，，，设.若，则点的坐标为______；若，则的取值范围为______.

15．已知函数对于任意实数x满足．若，则_______________
16．在对某工厂甲乙两车间某零件尺寸的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了甲车间10个零件，其尺寸的平均数和方差分别为12和4.5，抽取了乙车间30个零件，其平均数和方差分别为16和3.5，则该工厂这种零件的方差估计值为___________.(精确到0.1)
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知角的终边落在直线上，且.
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
18．汕头市某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元每星期可多卖出20件.
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
19．已知二次函数的图象过点，且与轴有唯一的交点.
（1）求表达式；
（2）设函数，若上是单调函数，求实数的取值范围；
（3）设函数，记此函数的最小值为，求的解析式.
20．某中学共有3000名学生，其中高一年级有1200名学生，为了解学生的睡眠情况，现用分层抽样的方法，在三个年级中抽取了200名学生，依据每名学生的睡眠时间（单位：小时），绘制出了如图所示的频率分布直方图.

（1）求样本中高一年级学生的人数及图中a的值
（2）估计样本数据中位数（保留两位小数）；
（3）估计全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数.
21．已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．条件①：；条件②：的最小正周期为；条件③：的图象经过点
（1）求的解析式；
（2）求的单调递增区间
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】通过解不等式来求得的取值范围.
【详解】依题意，
即：或，
即：或，
解得或.
所以的取值范围是.
故选：D
2、D
【解析】根据题意，把转化为对数运算即可计算
【详解】由题意可得：

故选：D
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：
(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；
(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.
3、A
【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，即，∴
故选：A
4、D
【解析】利用辅助角公式化简的解析式，再利用正弦型函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得的值
【详解】
，（其中，），
将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，得到
，
∴，，解得，故选D.
5、D
【解析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐个判断即可
详解】，
对A，最小周期为，故也为周期，故A正确；
对B，当时，为的对称轴，故B正确；
对C，当时，，又为的对称点，故C正确；
对D，则，解得，故在内有共四个零点，故D错误
故选：D
6、C
【解析】设出幂函数的解析式，根据点求得解析式.
【详解】设，
依题意，
所以.
故选：C
7、C
【解析】圆心为和，半径为和，圆心距离为，由于，故两圆相交.
8、B
【解析】根据充分必要性分别判断即可.
【详解】若，则可设，则，，其中，
，，即“”能推出“”；
反之，若，，满足，但，，即“”推不出“”，
所以“”是“”必要不充分条件，
故选：B.
9、B
【解析】直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】因为若“学生甲在沧州市”则“学生甲一定在河北省”，必要性成立；
若“学生甲在河北省”则“学生甲不一定在沧州市”，充分性不成立，
所以“学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的必要不充分条件，
故选：B
10、C
【解析】根据，可得，根据的单调性，即可求得结果.
【详解】因为是锐角三角形的两个内角，故可得，
即，又因为，故可得；
是偶函数，且在单调递减，
故可得在单调递增，
故.
故选：C.
【点睛】本题考查由函数奇偶性判断函数的单调性，涉及余弦函数的单调性，属综合中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】作出函数的简图，换元，结合函数图象可知原方程有6根可化为在区间上有两个不等的实根，列出不等式组求解即可.
【详解】当，结合“双勾”函数性质可画出函数的简图，如下图，

令，
则由已知条件知，方程在区间上有两个不等的实根，
则，即实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，二次方程根的分布，换元法，数形结合，属于难题 .
12、
【解析】利用指数幂和对数的运算性质可计算出所求代数式的值.
【详解】原式.
故答案为：.
【点睛】本题考查指数与对数的计算，考查指数幂与对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.

13、②
【解析】对于①，，则，位置关系不确定，的位置关系不能确定；对于②，由垂直于同一平面的两直线平行知，结论正确；对于③，，则或；对于④，，则或，故答案为②.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
14、 ①. ②.
【解析】分别过点作、轴的垂线，垂足点分别为、，过点分别作、轴的垂线，垂足点分别为、，设点、，根据锐角三角函数的定义可得出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算和二倍角的正弦公式可求出的取值范围.
【详解】分别过点作、轴的垂线，垂足点分别为、，过点分别作、轴的垂线，垂足点分别为、，如下图所示：

则，设点、，
则，，
，.
当时，，，则点；
由上可知，，，
则，
因此，的取值范围是.
故答案为：；.
【点睛】本题考查点的坐标的计算，同时也考查了平面向量数量积的取值范围的求解，解题的关键就是将点的坐标利用三角函数表示，考查运算求解能力，属于中等题.
15、3
【解析】根据得到周期为2，可得结合可求得答案.
【详解】解：∵，所以周期为2的函数
又∵，∴
故答案为：3
16、8
【解析】设甲车间数据依次为，乙车间数据依次，根据两个车间的平均数和方差分别求出所有数据之和以及所有数据平方和即可得解.
【详解】设甲车间数据依次为，乙车间数据依次，
，

，
所以
，
，

，
所以这40个数据平均数，
方差

=6.75≈6.8.
所以可以判定该工厂这种零点的方差估计值为6.8
故答案为：6.8

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）易角是第三象限的角，从而确定的符号，再由同角三角函数的关系式求得然后利用二倍角公式得解；
（2）可得，再求得的值，根据，由两角差的余弦公式，展开运算即可
【小问1详解】
解：（1）由题意知，角是第三象限的角，
，，

∴.
【小问2详解】
（2）由（1）知，，
，，
，，
，

18、（1）2400（元）；（2）应将售价定为125元，最大销售利润是2500元.
【解析】（1）由销售利润=单件成本×销售量，即可求商家降价前每星期销售利润；
（2）由题意得，根据二次函数的性质即可知最大销售利润及对应的售价.
【详解】（1）由题意，商家降价前每星期的销售利润为（元）；
（2）设售价定为元，则销售利润.
当时，有最大值2500
∴应将售价定为125元，最大销售利润是2500元.
19、（1）（2）或（3）见解析
【解析】（1）由已知条件分别求出的值，得出解析式；（2）求出函数的表达式，由已知得出区间在对称轴的一侧，进而求出的范围；（3）函数，对称轴，图象开口向上，讨论不同情况下在上的单调性，可得函数的最小值的解析式
试题解析：（1）依题意得，，
解得，，，从而；
（2），对称轴为，图象开口向上
当即时，在上单调递增，
当即时，在上单调递减，
综上，或
（3），对称轴为，图象开口向上
当即时，在上单调递增，
此时函数的最小值
当即时，在上递减，
在上递增
此时函数的最小值；
当即时，在上单调递减，
此时函数的最小值；
综上，函数的最小值 .
点睛：本题主要考查了二次函数解析式的求法，二次函数的单调性，二次函数在定区间上的最值问题，属于中档题．解答时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转换
20、（1）人数为，；
（2）7.42；（3）约为人.
【解析】（1）由分层抽样等比例性质求高一年级学生的人数，根据直方图及频率和为1求参数a.
（2）由频率直方图及中位数的性质估计中位数.
（3）由直方图计算区间的频率，进而估计全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数.
【小问1详解】
由分层抽样等比例的性质，样本中高一年级学生的人数为.
由，可得.
【小问2详解】
设中位数为x，
由、，知：，
∴.得，故样本数据的中位数约为7.42.
【小问3详解】
由图可知，样本数据落在的频率为.
故全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数约为人.
21、（1）条件选择见解析，；
（2）单调递增区间为，.
【解析】（1）利用三角恒等变换化简得出.
选择①②：由可求得的值，由正弦型函数的周期公式可求得的值，可得出函数的解析式；
选择②③：由正弦型函数的周期公式可求得的值，由可求得的值，可得出函数的解析式；
选择①③：由可求得的值，由结合可求得的值，可得出函数的解析式；
（2）解不等式，可得出函数单调递增区间.
【小问1详解】
解：.
选择①②：因为，所以，
又因为的最小正周期为，所以，所以；
选择②③：因为的最小正周期为，所以，则，
又因为，所以，所以；
选择①③：因为，所以，所以
又因为，所以，
所以，又因为，所以，所以
【小问2详解】
解：依题意，令，，
解得，，
所以的单调递增区间为，.