2025-2026学年广西南宁二中、柳州高中数学高二上期末联考模拟试题含解析.doc

2025-2026学年广西南宁二中、柳州高中数学高二上期末联考模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则“”是的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分又不必要条件
2．已知椭圆及以下3个函数：①；②；③，其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有（）
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
3．已知等差数列，且，则（）
A.3 B.5
C.7 D.9
4．命题：“∃x＜1，x2＜1”的否定是（ ）
A.∀x≥1，x2＜1 B.∃x≥1，x2≥1
C.∀x＜1，x2≥1 D.∃x＜1，x2≥1
5．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（）
A.24种 B.6种
C.4种 D.12种
6．在各项都为正数的数列中首项为数列的前项和，且，则（ ）
A. B.
C. D.
7．曲线在点处的切线过点，则实数（）
A. B.0
C.1 D.2
8．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）

A.函数在区间上单调递增 B.函数在区间上单调递减
C.函数在处取得极大值 D.函数在处取得极小值
9．对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
10．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A. B.
C.4 D.2
11．设是定义在R上的函数，其导函数为，满足，若，则（ ）
A. B.
C. D.a，b的大小无法判断
12． “”是“直线和直线垂直”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．椭圆的两焦点为，，P为C上的一点（P与，不共线），则的周长为______.
14．双曲线的渐近线方程为___________.
15．在等差数列中，，公差，则_________
16．设函数为奇函数，当时，，则_______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数（e为自然对数的底数），（），.
（1）若直线与函数，的图象都相切，求a的值；
（2）若方程有两个不同的实数解，求a的取值范围.
18．（12分）在中，其顶点坐标为.
（1）求直线的方程；
（2）求的面积.
19．（12分）某情报站有．五种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周末使用的四种密码中等可能地随机选用一种．设第一周使用密码，表示第周使用密码的概率
（1）求；
（2）求证：为等比数列，并求的表达式
20．（12分）已知椭圆的离心率是，且过点.直线与椭圆相交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的面积的最大值；
（Ⅲ）设直线，分别与轴交于点，.判断，大小关系，并加以证明.
21．（12分）已知直线经过椭圆的右焦点，且椭圆C的离心率为

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）以椭圆的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为，试判断的周长是否为定值．若是，求出该定值
22．（10分）已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的离心率为，点P在双曲线C上，点，分别为双曲线C的左右焦点，.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知点，，设直线PA，PB的斜率分别为，.证明：为定值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可求解.
【详解】由可得或，所以由得不出，故充分性不成立，
由可得，故必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
2、C
【解析】由椭圆的几何性质可得椭圆的图像关于原点对称，因为函数,函数为奇函数,其图像关于原点对称，则①②满足题意, 对于函数在轴右侧时，，只有时，，即函数在轴右侧的图像显然不能等分椭圆在轴右侧的图像的面积,又函数为偶函数, 其图像关于轴对称，则函数在轴左侧的图像显然也不能等分椭圆在轴左侧的图像的面积,即函数的图像不能等分该椭圆面积，得解.
【详解】解：因为椭圆的图像关于原点对称，
对于①，函数为奇函数，其图像关于原点对称，即可知的图象能等分该椭圆面积；
对于②，函数为奇函数，其图像关于原点对称，即可知的图象能等分该椭圆面积；
对于③，对于函数在轴右侧时，，只有时，，即函数在轴右侧的图像（如图）显然不能等分椭圆在轴右侧的图像的面积,又函数为偶函数, 其图像关于轴对称，则函数在轴左侧的图像显然也不能等分椭圆在轴左侧的图像的面积,即函数的图像不能等分该椭圆面积，
即函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有2个，
故选C.

【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、函数的奇偶性及函数的对称性，重点考查了函数的性质，属基础题.
3、B
【解析】根据等差数列的性质求得正确答案.
【详解】由于数列是等差数列，
所以.
故选：B
4、C
【解析】将特称命题否定为全称命题即可
【详解】根据含有量词的命题的否定，
则“∃x＜1，x2＜1”的否定是“∀x＜1，x2≥1”.
故选：C.
5、B
【解析】由已知可得只需对剩下3人全排即可
【详解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，
则只需对剩下3人全排即可，
则不同的排法共有，
故选：B
6、C
【解析】当时，，故可以得到，因为，进而得到，所以是等比数列，进而求出
【详解】由，得，得，
又数列各项均为正数，且，
∴，∴，即
∴数列是首项，公比的等比数列，其前项和，得，
故选：C.
7、A
【解析由导数的几何意义得切线方程为，进而得.
【详解】解：因为，，，
所以，切线方程为，
因为切线过点，所以，解得
故选：A
8、C
【解析】根据函数的单调性和函数的导数的值的正负的关系，可判断A,B的结论;根据函数的极值点和函数的导数的关系可判断、的结论
【详解】函数在上，故函数在上单调递增，故正确；
根据函数的导数图象，函数在时，，
故函数在区间上单调递减，故正确；
由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故错误；
根据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增，
故函数处取得极小值，故正确，
故选：
9、D
【解析】判断不等式的真假，就是要考虑在不等式的变形过程中是否遵守不等式变形的规则.
【详解】若，令，，，，，故A错误；
若，令c=0，则，故B错误；
若，令a=-1，b=-2，，，故C错误；
∵，故，根据不等式运算规则，在不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等式的方向不变，故D正确.
故选：D.
10、D
【解析】切点与圆心的连线垂直于切线，切线长转化为直线上点与圆心连线和半径的关系，
利用点到直线的距离公式求出圆心与直线上点距离的最小值，结合勾股定理即可得出结果.
【详解】设为直线上任意一点，，
切线长的最小值为：，
故选：D.
11、A
【解析】首先构造函数，再利用导数判断函数的单调性，即可判断选项.
【详解】设，，
所以函数在单调递增，即，
所以，那么，即.
故选：A
12、A
【解析】因为直线和直线垂直，所以或，再根据充分必要条件的定义判断得解.
【详解】因为“直线和直线垂直，
所以或.
当时，直线和直线垂直；
当直线和直线垂直时，不一定成立.
所以是直线和直线垂直的充分不必要条件，
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】结合椭圆的定义求得正确答案.
【详解】椭圆方程为，所以，
所以三角形的周长为.
故答案为：
14、
【解析】将双曲线化为标准方程后求解
【详解】，化简得，其渐近线方程
故答案为：
15、15
【解析】由等差数列通项公式直接可得.
【详解】.
故答案为：15
16、
【解析】由奇函数的定义可得，代入解析式即可得解.
【详解】函数为奇函数，当时，，
所以.
故答案为-1.
【点睛】本题主要考查了奇函数的求值问题，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；
（2）利用常变量分离法，通过构造新函数，由方程有两个不同的实数解问题，转化为两个函数的图象有两个交点问题，利用导数进行求解即可.
【小问1详解】
设曲线的切点坐标为，
由，所以过该切点的切线的斜率为，因此该切线方程为：
，因为直线与函数的图象相切，
所以，
因为直线与函数的图象相切，且函数过原点，
所以曲线的切点为，于是有，
即；
【小问2详解】
由可得：，
当时，显然不成立，
当时，由，
设函数，，
，
当时，，
单调递减，
当时，，
单调递减，
当时，，
单调递增，
因此当时，函数有最小值，最小值为，
而，当时，，函数图象如下图所示：

方程有两个不同的实数解，
转化为函数和函数的图象，在当时，有两个不同的交点，由图象可知：，
故a的取值范围为.
【点睛】关键点睛：利用常变量分离法，结合转化法进行求解是解题的关键.

18、（1）
（2）
【解析】（1）先求出AB的斜率，再利用点斜式写出方程即可；
（2）先求出，再求出C到AB的距离即可得到答案.
【小问1详解】
由已知，，
所以直线的方程为，即.
【小问2详解】
，
C到直线AB的距离为，
所以的面积为.
19、（1），，，
（2）证明见解析，
【解析】(1)根据题意可得第一周使用A密码，第二周使用A密码的概率为0，第三周使用A密码的概率为，以此类推；
(2)根据题意可知第周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A密码的概率为，进而可得，结合等比数列的定义可知为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求出结果.
【小问1详解】
，，，
【小问2详解】
第周使用A密码，则第周必不使用A密码（概率为），然后第周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A密码的概率为
故，即
故为等比数列且，公比
故，故
20、（1）（2）（3）见解析
【解析】(1)由题意求得 ，所以椭圆的方程为
(2) 联立直线与椭圆方程，由题意可得．三角形的高为．，面积表达式，当且仅当时，．即的面积的最大值是
(3)结论为．利用题意有．所以
试题解析：

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为
因为椭圆的离心率是，
所以 ， 即
由 解得
所以椭圆的方程为
（Ⅱ）将代入，
消去整理得
令，解得
设
则
所以

点到直线的距离为
所以的面积

，
当且仅当时，
所以的面积的最大值是
（Ⅲ）．证明如下：
设直线，的斜率分别是，，
则
由（Ⅱ）得

，
所以直线，的倾斜角互补
所以，
所以
所以
21、（1）
（2）周长是定值，且定值为4
【解析】（1）首先求出直线与轴的交点，即可求出，再根据离心率求出，最后根据求出，即可得解；
（2）：设直线的方程为、、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可表示出弦的长，再根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即可得到，再求出、，最后根据计算即可得解；
【小问1详解】
解：因为经过椭圆的右焦点，令，则，所以椭圆的右焦点为，可得：，
又，可得：，由，所以，
∴椭圆的标准方程为 ；
【小问2详解】
解：设直线的方程为，
由得：，
所以，
设，，则：
，
所以

.
因为直线与圆相切，所以，即，
所以，
因为，
又，
所以，
同理.
所以
，
即的周长是定值，且定值为4
22、（1）
（2）证明见解析
【解析】(1)根据题意和双曲线的定义求出，结合离心率求出b，即可得出双曲线的标准方程；
(2)设，根据两点的坐标即可求出、，化简计算即可.
【小问1详解】
由题知：
由双曲线的定义知：，
又因为，所以，所以
所以，双曲线C的标准方程为
小问2详解】
设，则
因为，，所以，
所以