2025年浙江省建德市新安江中学数学高二上期末综合测试模拟试题含解析.doc

2025年浙江省建德市新安江中学数学高二上期末综合测试模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若命题p为真命题，命题q为假命题，则下列命题为真命题的是（）
A. B.
C. D.
2．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（）
A. B.
C. D.
3．双曲线型自然通风塔外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口半径为米，高为24米，则该双曲线的离心率为（）

A.2 B.
C. D.
4．若，，，则a，b，c与1的大小关系是（）
A. B.
C. D.
5．直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（）
A.平行 B.重合
C.相交但不垂直 D.垂直
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过且与椭圆相交于不同的两点，、不在轴上，那么△的周长（）
A.是定值
B.是定值
C.不是定值，与直线的倾斜角大小有关
D.不是定值，与取值大小有关
7．已知数列满足，在任意相邻两项与 k＝1，2，…)之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前n项和，则的值为（）
A.162 B.163
C.164 D.165
8．已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，其部分自变量与函数值的对应情况如下表：
x
－1
0
2
4
5
f（x）
3
1
2.5
1
3
f（x）的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：
①f（x）在区间[－1，0]上单调递增；
②f（x）有2个极大值点；
③f（x）的值域为[1，3]；
④如果x∈[t，5]时，f（x）的最小值是1，那么t的最大值为4
其中，所有正确结论的序号是（）

A.③ B.①④
C.②③ D.③④
9．过两点和的直线的斜率为（）
A. B.
C. D.
10．若等比数列中，，，那么（ ）
A.20 B.18
C.16 D.14
11．已知，命题“若，则，全为0”的否命题是（ ）
A.若，则，全不为0. B.若，不全为0，则.
C.若，则，不全为0. D.若，则，全不为0.
12．数列中，，，若，则（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为______
14．设，若不等式在上恒成立，则的取值范围是______.
15．椭圆的右焦点为，过原点的直线与椭圆交于两点、，则的面积的最大值为___________.
16．设，满足约束条件，则的最大值是_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相交于，两点，求的面积
18．（12分）已知各项均为正数的等比数列前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求
19．（12分）奋发学习小组共有3名学生，在某次探究活动中，他们每人上交了1份作业，现各自从这3份作业中随机地取出了一份作业.
（1）每个学生恰好取到自己作业的概率是多少？
（2）每个学生不都取到自己作业的概率是多少？
（3）每个学生取到的都不是自己作业的概率是多少？
20．（12分）若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为和，且该双曲线经过点P(3，1)
（1）求双曲线的方程；
（2）若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率
21．（12分）已知函数f(x)=x3 +ax2+2，x=2是f(x)的一个极值点.
（1）求实数a的值；
（2）求f(x)在区间(-1，4]上的最大值和最小值.
22．（10分）已知抛物线的焦点在直线上
（1）求抛物线的方程
（2）设直线经过点，且与抛物线有且只有一个公共点，求直线的方程
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据逻辑联结词“且”，一假则假，对四个选项一一判断直接即可判断.
【详解】逻辑联结词“且”，一假则假.
因为命题p为真命题，命题q为假命题，所以为假命题，为真命题.
所以，为假，故A错误；
为真，故B正确；
为假，故C错误；
为假，故D错误.
故选：B
2、D
【解析】由直线与垂直得到的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.
【详解】因为直线与垂直，且，所以，解得，
设的倾斜角为，，所以.
故选：D
3、A
【解析】以的中点О为坐标原点，建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，设，，代入双曲线的方程，求得，得到，进而求得双曲线的离心率.
【详解】以的中点О为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，
设双曲线的方程为，则，
可设，，
又由，在双曲线上，所以，解得，，
即，所以该双曲线的离心率为.
故选：A.

第II卷
4、C
【解析】根据条件构造函数，并求其导数，判断该函数的单调性，据此作出该函数的大致图象，由图象可判断a，b，c与1的大小关系.
【详解】令，则
当时，，当时，
即函数在上单调递减，在上单调递增,
而 ，由可知，
故作出函数大致图象如图：

由图象易知，，
故选：C.
5、C
【解析】由韦达定理可得方程的两根之积为，从而可知直线、的斜率之积为，进而可判断两直线的位置关系
【详解】设方程的两根为、，则
直线、的斜率，故与相交但不垂直
故选：C
6、B
【解析】由直线过且与椭圆相交于不同的两点，，且，为椭圆两焦点，根据椭圆的定义即可得△的周长为，则答案可求
【详解】椭圆，
椭圆的长轴长为，
∴△的周长为
故选：B
7、C
【解析】确定数列的前70项含有的前6项和64个2，从而求出前70项和.
【详解】，其中之间插入2个2，之间插入4个2，之间插入8个2，之间插入16个2，之间插入32个2，之间插入64个2，由于，，故数列的前70项含有的前6项和64个2，故
故选：C
8、D
【解析】直接利用函数的导函数的图像，进一步画出函数的图像，进一步利用函数的性质的应用求出函数的单调区间，函数的极值和端点值可得结论
【详解】解：由f（x）的导函数的图像，画出的图像，如图所示，

对于①，在区间上单调递减，所以①错误，
对于②，有1个极大值点，2个极小值点，所以②错误，
对于③，根据函数的极值和端点值可知的值域为，所以③正确，
对于④，如果x∈[t，5]时，由图像可知，当f（x）的最小值是1时， t的最大值为4，所以④正确，
故选：D
9、D
【解析】应用两点式求直线斜率即可.
【详解】由已知坐标，直线的斜率为.
故选：D
10、B
【解析】利用等比数列的基本量进行计算即可
【详解】设等比数列的公比为，则，所以

故选：B
11、C
【解析】根据四种命题的关系求解.
【详解】因为否命题是否定原命题的条件和结论，
所以命题“若，则，全为0”的否命题是：
若，则，不全为0，
故选：C
12、C
【解析】由已知得数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，求出，再利用等比数列求和可得答案.
【详解】∵，∴，
所以，数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，
∴，
∴，则，解得.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由抛物线定义可得，由此可知当为与抛物线的交点时，取得最小值，进而求得点坐标.
【详解】由题意得：抛物线焦点为，准线为
作，垂直于准线，如下图所示：

由抛物线定义知：
（当且仅当三点共线时取等号）
即的最小值为，此时为与抛物线的交点
故答案为
【点睛】本题考查抛物线线上的点到焦点的距离与到定点距离之和最小的相关问题的求解，关键是能够熟练应用抛物线定义确定最值取得的位置.
14、
【解析】构造，利用导数求其最大值，结合已知不等式恒成立，即可确定的范围.
【详解】令，则且，
若得：；若得：；
所以在上递增，在上递减，故，
要使在上恒成立，即.
故答案为：.
15、
【解析】分析可知点、关于原点对称，可知当、为椭圆短轴的端点时，的面积取得最大值.
【详解】椭圆中，，，则，则，
由题意可知，、关于原点对称，
当、为椭圆短轴的端点时，的面积取得最大值，且最大值为.
故答案为：.
16、5
【解析】由题可知表示点与点连线的斜率，再画出可行域结合图像知知.
【详解】x，y满足约束条件，满足的可行域如图：

则的几何意义是可行域内的点与（﹣3，﹣2）连线的斜率，通过分析图像得到当经过A时，目标函数取得最大值
由 可得A（﹣2，3
则的最大值是：
故答案为5
【点睛】(1)在平面直角坐标系内作出可行域
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）4
【解析】（1）由已知设圆心，再由相切求圆半径从而得解.
（2）求弦长，再求点到直线的距离，进而可得解.
【小问1详解】
因为圆心在直线上，所以设圆心，
又圆与轴相切于点，所以，即
圆与轴相切，则圆的半径，于是圆的方程为
【小问2详解】
圆心到直线的距离，则，
又到直线的距离为，
所以.
18、（1）
（2）9
【解析】（1）根据题意列出关于等比数列首项、公比的方程组即可解决；
（2）利用等比数列的前项和的公式，解方程即可解决.
【小问1详解】
设各项均为正数的等比数列首项为，公比为
则有，解之得
则等比数列的通项公式.
【小问2详解】
由，可得
19、（1）
（2）
（3）
【解析】(1)根据列举法列出所有的可能基本事件，进而得出每个学生恰好拿到自己作业的概率；
(2)利用对立事件的概念即可求得结果；
(3)结合(1)即可得出每个学生拿的都不是自己作业的事件数.
【小问1详解】
设这三个学生分别为A、B、C，A的作业为a，B的作业为b，C的作业为c，
则基本事件为：，
则基本事件总数为6，
设每个学生恰好拿到自己作业为事件E，事件E包含的事件数为l，
所以；
小问2详解】
设每个学生不都拿到自己作业为事件F，
因为事件F的对立事件为E，
所以；
【小问3详解】
设每个学生拿的都不是自己作业为事件G，事件G包含的事件数为2，
.
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意列方程组求解
（2）待定系数法设直线后，由条件求出坐标后代入双曲线方程求解
【小问1详解】
，解得，故双曲线方程为
【小问2详解】
，故设直线方程为
则，由得：
故，
点在双曲线上，则，解得
直线l的斜率为
21、（1）；
（2）最大值为18，最小值为.
【解析】（1）解方程即得解；
（2）利用导数求出函数的单调区间分析即得解.
【小问1详解】
解：因为，所以，
因为在处有极值，所以，
即，所以.
经检验，当时，符合题意.
所以.
【小问2详解】
解：由（1）可知，所以，
令，得，
当时，
由得，；由得，或.
所以函数在上递增，在上递减，在上递增，
又.
所以的最小值为，
又，所以的最大值为，
所以在的最大值为18，最小值为.
22、（1）
（2）的方程为、、
【解析】（1）求得点的坐标，由此求得，进而求得抛物线的方程.
（2）结合图象以及判别式求得直线的方程.
【小问1详解】
抛物线的焦点在轴上，且开口向上，
直线与轴的交点为，则，
所以，抛物线的方程为.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个公共点.
那个直线的斜率存在时，设直线的方程为，
，，
，解得或.
所以直线的方程为或.
综上所述，的方程为、、.