2025-2026学年重庆西南大学附属中学校高一数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2025-2026学年重庆西南大学附属中学校高一数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，则(　　)
A. B.1
C. D.2
2．若函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，则
A.3 B.2
C. D.
3．若一束光线从点射入，经直线反射到直线上的点，再经直线反射后经过点，则点的坐标为（）
A. B.
C. D.
4．若集合，则集合的所有子集个数是
A.1 B.2
C.3 D.4
5．不等式的解集为R，则a的取值范围为（）
A. B.
C. D.
6．不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．在长方体中， ， ，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知α是第三象限的角，且，则（ ）
A. B.
C. D.
9．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为，外圆半径为，内圆半径为.则制作这样一面扇面需要的布料为（）.

A. B.
C. D.
10．已知在海中一孤岛的周围有两个观察站，且观察站在岛的正北5海里处，观察站在岛的正西方.现在海面上有一船，在点测得其在南偏西60°方向相距4海里处，在点测得其在北偏西30°方向，则两个观察站与的距离为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．给出下列四个命题：
①函数y＝2sin(2x－)的一条对称轴是x＝；
②函数y＝tanx的图象关于点(，0)对称；
③正弦函数在第一象限内为增函数；
④存在实数α，使sinα＋cosα＝.
以上四个命题中正确的有____(填写正确命题前面的序号).
12．已知，，则______.
13．已知且，且，函数的图象过定点A，A在函数的图象上，且函数的反函数过点，则______.
14．函数一段图象如图所示，这个函数的解析式为______________.

15．已知实数x，y满足条件，则的最大值___________.
16．已知角的终边经过点，则的值等于______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象的一部分如图所示

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当时，求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的x值
18．已知函数的图象经过点
（1）求的解析式；
（2）若不等式对恒成立，求m的取值范围
19．从下面所给三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.
条件一、，；
条件二、方程有两个实数根，；
条件三、，.
已知函数为二次函数，，，.
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式对恒成立，求实数k的取值范围.
20．已知，，第三象限角，．求：
（1）的值；
（2）的值
21．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为.

（1）求的值；
（2）求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
（3）某时刻(单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过分钟后，盛水筒W是否在水中？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，再根据换底公式及对数的运算法则计算可得；
【详解】解：，，，
，

故选：D
2、C
【解析】由题意得当时，函数取得最小值，
∴，
∴
又由条件得函数的周期，解得，
∴．选C
3、C
【解析】由题可求A关于直线的对称点为及关于直线的对称点为，可得直线的方程，联立直线，即得.
【详解】设A关于直线的对称点为，

则，解得，即，
设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
∴直线的方程为：代入，
可得，故.
故选：C.
4、D
【解析】根据题意，集合的所有子集个数，选
5、D
【解析】对分成，两种情况进行分类讨论，结合判别式，求得的取值范围.
【详解】当时，不等式化为，解集为，符合题意.
当时，一元二次不等式对应一元二次方程的判别式，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：D
【点睛】本小题主要考查二次项系数含有参数的一元二次不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
6、B
【解析】当时，得到不等式恒成立；当时，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，不等式对一切恒成立，
当时，即时，不等式恒成立，符合题意；
当时，即时，
要使得不等式对一切恒成立，
则满足，解得，
综上，实数a的取值范围是.
故选：B.
7、D
【解析】如图，连接交于点 ，连接，则结合已知条件可证得为直线与平面 所成角，然后根据已知数据在求解即可
【详解】解：如图，连接交于点 ，连接，
因为长方体中 ，
所以四边形为正方形，
所以，，所以 ，
因为平面，所以 ，
因为，所以 平面，
所以为直线与平面所成角，
因为，，所以，
在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为 ，
故选：D

【点睛】此题考查线面角的求法，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题
8、B
【解析】由已知求得，则由诱导公式可求.
【详解】α是第三象限的角，且，
，.
故选：B.
9、B
【解析】由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料.
【详解】解：根据题意，由扇形的面积公式可得：
制作这样一面扇面需要的布料为.
故选：B.
【点睛】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题.
10、D
【解析】画出如下示意图

由题意可得，，又，
所以A,B,C,D四点共圆，且AC为直径、
在中，,
由余弦定理得，
∴
∴（其中为圆的半径）.选D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①②
【解析】对于①,将x＝代入得是对称轴,命题正确;
对于②,由正切函数的图象可知, 命题正确;
对于③, 正弦函数在上是增函数，但在第一象限不能说是增函数，所以③不正确；
对于④, ,最大值为,不正确;
故填①②.
12、
【解析】把已知的两个等式两边平方作和即可求得cos（α﹣β）的值
【详解】解：由已知sinα+sinβ＝1①，
cosα+cosβ＝0②，
①2+②2得：2+2cos（α﹣β）＝1，
∴cos（α﹣β），
故答案为
点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的余弦，是基础题
13、8
【解析】由图象平移变换和指数函数的性质可得点A坐标，然后结合反函数的性质列方程组可解.
【详解】函数的图象可以由的图象向右平移2各单位长度，再向上平移3个单位长度得到，故点A坐标为，又的反函数过点，所以函数过点，所以，解得，所以.
故答案为：8
14、
【解析】由图象的最大值求出A，由周期求出ω，通过图象经过（，0），求出φ，从而得到函数的解析式
【详解】由函数的图象可得A＝2， T＝＝4π，
∴解得ω＝
∵图象经过（，0），∴可得：φ＝2kπ，k∈Z，解得：φ＝2kπ，k∈Z，
取k=0∴φ，
故答案为：y＝2sin（x）
15、
【解析】利用几何意义，设，则k可看作圆上的动点P到原点的连线的斜率，而相切时的斜率为最大或最小值，即可求解.
【详解】由题意作出如下图形：
令，则k可看作圆上的动点P到原点的连线的斜率，而相切时的斜率为最大或最小值，
当直线与圆相切时，在直角三角形OAB中，,∴，∴.

故答案为：
16、
【解析】根据三角函数定义求出、的值，由此可求得的值.
【详解】由三角函数的定义可得，，
因此，.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2），，，
【解析】试题分析：（1）由图象知，，从而可求得，继而可求得；
（2）利用三角函数间的关系可求得，利用余弦函数的性质可求得时的最大值与最小值及相应的值
试题解析：：（1）由图象知，
∴
∴
图象过点，则，
∵，
∴，于是有
（2）
.
∵，
∴
当，即时，；
当，即时，
考点：（1）由的部分图象求其解析式；（2）正弦函数的定义域和值域.
【方法点晴】本题考查由的部分图象确定其解析式，考查余弦函数的性质，考查规范分析与解答的能力属于中档题．由三角函数图象求解析式时，主要是通过图象最高点或最低点得到振幅，通过图象的周期得到，最后代入特殊点得到的值；在求三角函数最值时，主要是通过辅角公式将其化为一般形式或，在得最值.
18、 (1) ,(2)
【解析】（1）直接代入两点计算得到答案.
（2）变换得到，判断在上单调递减，计算，解不等式得到答案.
【详解】（1）由题意得解得，．故，
（2）不等式，即不等式，
则不等式在上恒成立，
即不等式上恒成立，
即在上恒成立
因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递减，
故．因为在上恒成立，
所以，即，
解得
故m的取值范围为
【点睛】本题考查了函数的解析式，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值是解题的关键.
19、（1）选择条件一、二、三均可得
（2）
【解析】（1）根据二次函数的性质，无论选择条件一、二、三均可得的对称轴为，进而待定系数求解即可；
（2）由题对恒成立，进而结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
解：选条件一：设
因为，，
所以的对称轴为，
因为，，
所以，解得，
所以
选条件二：设
因为方程有两个实数根，，
所以的对称轴为，
因为，，
所以，解得，
所以
选条件三：设
因为，，
所以的对称轴为，
因为，，
所以，解得，
所以
【小问2详解】
解：
对恒成立

对恒成立
当且仅当时取等号，
∴
所求实数k的取值范围为.
20、（1）
（2）
【解析】(1)利用给定条件结合同角公式求，再利用二倍角正弦公式计算即得；
(2)由条件求出，由(1)求出，再借助和角的余弦公式计算即得.
【小问1详解】
因为是第三象限角，，则
所以，
【小问2详解】
因为，，则，
又，
所以
21、（1）；（2）分钟；（3）再经过分钟后盛水筒不在水中.
【解析】（1）先结合题设条件得到，，求得，再利用初始值计算初相即可；
（2）根据盛水筒达到最高点时，代入计算t值，再根据，得到最少时间即可；
（3）先计算时，根据题意，利用同角三角函数的平方关系求，再由分钟后，进而计算d值并判断正负，即得结果.
【详解】解：（1）由题意知，，即，所以，
由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米，可得：，
当时，，代入得，，
因为，所以；
（2）由（1）知：，
盛水筒达到最高点时，，
当时，，所以，
所以，解得，
因为，所以，当时，，
所以盛水筒出水后至少经过分钟就可达到最高点；
（3）由题知：，即，
由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知，
所以，
所以，
所以，再经过分钟后，
所以再经过分钟后盛水筒不在水中.
【点睛】本题的解题关键在于准确求解出三角函数模型的解析式，才能利用三角函数性质解决实际问题，突破难点.