北京市北京师范大学附属实验中学2025年高一上数学期末检测试题含解析.doc

北京市北京师范大学附属实验中学2025年高一上数学期末检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若，且，则的值是　　
A. B.
C. D.
2．“函数在区间I上严格单调”是“函数在I上有反函数”的（）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
3．当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（）
A. B.
C. D.
4．幂函数f（x）的图象过点（4，2），那么f（）的值为（　　）
A. B.64
C.2 D.
5．已知，，，则a，b，c三个数的大小关系是（）
A. B.
C. D.
6．下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为
A. B.
C. D.
7．已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是(　　)
A.0＜k＜1 B.0≤k＜1
C.k≤0或k≥1 D.k＝0或k≥1
8．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是
A B.
C. D.
9．若是钝角，则是（）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
10．下列命题中，错误的是（　　）
A.平行于同一条直线的两条直线平行
B.已知直线垂直于平面内的任意一条直线，则直线垂直于平面
C.已知直线平面，直线，则直线
D.已知为直线，、为平面，若且，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，若与的夹角是锐角，则的取值范围为______
12．已知平面和直线，给出条件：
①；②；③；④；⑤
（1）当满足条件_________时，有；
（2）当满足条件________时，有．（填所选条件的序号）
13．若函数在区间上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是_________
14．若则函数的最小值为________
15．已知上的奇函数是增函数，若，则的取值范围是________
16．已知函数，的最大值为3，最小值为2，则实数的取值范围是________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在年初的时候，国家政府工作报告明确提出，年要坚决打好蓝天保卫战，加快解决燃煤污染问题，全面实施散煤综合治理.实施煤改电工程后，某县城的近六个月的月用煤量逐渐减少，月至月的用煤量如下表所示：
月份

用煤量（千吨）

（1）由于某些原因，中一个数据丢失，但根据至月份数据得出样本平均值是，求出丢失的数据；
（2）请根据至月份的数据，求出关于的线性回归方程；
（3）现在用（2）中得到的线性回归方程中得到的估计数据与月月的实际数据的误差来判断该地区的改造项目是否达到预期，若误差均不超过，则认为该地区的改造已经达到预期，否则认为改造未达预期，请判断该地区的煤改电项目是否达预期？
（参考公式：线性回归方程，其中）
18．已知函数，，
（1）求函数的值域；
（2）若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的，都存在四个不同的实数，，，，使得，其中，2，3，4，求实数a的取值范围
19．（1）求值：；
（2）已知，化简求值：
20．直线与直线平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24，求直线的方程.
21．已知为奇函数，且
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，即可得解
【详解】由题意，知，且，
所以，则，

故选B
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系式，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
2、A
【解析】“函数在区间上单调”“函数在上有反函数”，反之不成立．即可判断出结论
【详解】解：“函数在区间上严格单调”“函数在上有反函数”，下面给出证明：
若“函数在区间上严格单调”，设函数在区间上的值域为，任取，如果在中存在两个或多于两个的值与之对应，设其中的某两个为，且，即，但
因为，所以 (或)
由函数在区间上单调知：，(或)，这与矛盾．因此在中有唯一的值与之对应．由反函数的定义知：
函数在区间上存在反函数
反之“函数在上有反函数”则不一定有“函数在区间上单调”，例如：函数，就存在反函数：
易知函数在区间上并不单调
综上，“函数在区间上严格单调”是“函数在上有反函数”的充分不必要条件.
故选：A
3、B
【解析】由定义域和，使用排除法可得.
【详解】的定义域为，故AD错误；BC中，又因为，所以，故C错误，B正确.
故选：B
4、A
【解析】设出幂函数，求出幂函数代入即可求解.
【详解】设幂函数为，且图象过点（4，2）
，解得，
所以，
，
故选：A
【点睛】本题考查幂函数，需掌握幂函数的定义，属于基础题.
5、A
【解析】利用指数函数的单调性比较的大小，再用作中间量可比较出结果.
【详解】因为指数函数为递减函数,且,
所以，所以，
因为，，所以，
综上所述：.
故选：A
6、D
【解析】选项，在定义域上是增函数，但是是非奇非偶函数，故错；
选项，是偶函数，且在上是增函数，在上是减函数，故错；
选项，是奇函数且在和上单调递减，故错；
选项，是奇函数，且在上是增函数，故正确
综上所述，故选
7、C
【解析】根据对数函数值域为R的条件，可知真数可以取大于0的所有值，因而二次函数判别式大于0，即可求得k的取值范围
【详解】因为函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R
所以
解不等式得k≤0或k≥1
所以选C
【点睛】本题考查了对数函数的性质，注意定义域为R与值域为R是不同的解题方法，属于中档题
8、D
【解析】是奇函数，故 ；又是增函数，，即 则有 ，解得 ，故选D.
【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为
，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.
9、D
【解析】由求出，结合不等式性质即可求解.
【详解】，，,在第四象限.
故选：D
10、C
【解析】由平行线的传递性可判断A；由线面垂直的定义可判断B；由线面平行的定义可判断C；由线面平行的性质和线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理，可判断D.
【详解】解：由平行线的传递性可得，平行于同一条直线的两条直线平行，故A正确；
由线面垂直的定义可得，若直线垂直于平面内的任意一条直线，则直线垂直于平面，故B正确；
由线面平行的定义可得，若直线平面，直线，则直线或，异面，故C错误；
若，由线面平行的性质，可得过的平面与的交线与平行，
又，可得，结合，可得，故D正确.
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用坐标表示出和，根据夹角为锐角可得且与不共线，从而构造出不等式解得结果.
【详解】由题意得：，

解得：
又与不共线，解得：

本题正确结果：
【点睛】本题考查根据向量夹角求解参数范围问题，易错点是忽略两向量共线的情况.
12、 (1).③⑤； (2).②⑤
【解析】若m⊂α，α∥β，则m∥β；
若m⊥α，α∥β，则m⊥β
故答案为（1）③⑤（2）②⑤
考点：本题主要考查直线与平面垂直的位置关系
点评：熟练掌握直线与平面平行、垂直的判定与性质，基础题
13、
【解析】反比例函数在区间上单调递减，要使函数在区间上单调递减，则，还要满足在上单调递增，故求出结果
【详解】函数
根据反比例函数的性质可得：在区间上单调递减
要使函数在区间上单调递减，则
函数在上单调递增
则，解得
故实数的取值范围是
【点睛】本题主要考查了函数单调性的性质，需要注意反比例函数在每个象限内是单调递减的，而在定义域内不是单调递减的
14、1
【解析】结合图象可得答案.

【详解】
如图，函数在同一坐标系中，
且，所以在时有最小值，即.
故答案为：1.
15、
【解析】先通过函数为奇函数将原式变形，进而根据函数为增函数求得答案.
【详解】因为函数为奇函数，所以，而函数在R上为增函数，则.
故答案为：.
16、
【解析】画出函数的图像，对称轴为，函数在对称轴的位置取得最小值2，令，可求得，或，进而得到参数范围.
【详解】
函数的图象是开口朝上，且以直线为对称的抛物线，
当时，函数取最小值2，
令，则，或，
若函数在上的最大值为3，最小值为2，
则，
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）4（2）（3）该地区的煤改电项目已经达到预期
【解析】（1）根据平均数计算公式得，解得丢失数据；（2）根据公式求，再根据求；（3）根据线性回归方程求估计数据，并与实际数据比较误差，确定结论.
试题解析：解：（1）设丢失的数据为，则
得，即丢失的数据是.
（2）由数据求得，
由公式求得

所以关于的线性回归方程为
（3）当时，，
同样，当时，，
所以，该地区的煤改电项目已经达到预期
18、（1）；
（2）；
（3）
【解析】（1）利用基本函数的单调性即得；
（2）由题可得恒成立，再利用基本不等式即求；
（3）由题意可知对任意一个实数，方程有四个根，利用二次函数的图像及性质可得，即求.
【小问1详解】
∵函数，，
所以函数在上单调递增，
∴函数的值域为；
【小问2详解】
∵对任意的，都有恒成立，
∴，即，
即有，
故有，
∵，，
∴，当且仅当，即取等号，
∴，即，
∴实数a的取值范围为；
【小问3详解】
∵函数的值域为，
由题意可知对任意一个实数，方程有四个根，
又，则必有，

令，，
故有，
故有，可解得，
∴实数a的取值范围为.
19、（1）；（2）
【解析】（1）由指数和对数的运算公式直接化简可得；
（2）利用诱导公式化简目标式，然后分子分母同时除以，将已知代入可得.
【详解】（1）原式

（2）原式，
∵，∴原式
20、
【解析】设直线，则将直线与两坐标轴的交点坐标，代入三角形的面积公式进行运算，求出参数，即可得到答案.
【详解】设直线，分别与轴、轴交于两点，则，，那么.所以直线的方程是
【点睛】本题考查用待定系数法求直线的方程，两直线平行的性质，以及利用直线的截距求三角形的面积．
21、（1）；（2）递减，见解析
【解析】(1)函数 是奇函数，所以 ，得到，从而解得； (2) 在区间上任取两个数，且，判断的符号，得到，由此证明函数的单调性.
详解】(1) 由题意知，则
，解得；
(2)函数 在上单调递减，证明如下：
在区间上任取两个数，且，

因为，所以
即，，
所以即，
函数在上单调递减.
【点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数，利用定义证明函数的单调性，属于基础题.