江西省丰城市第二中学2025-2026学年高二上数学期末学业质量监测试题含解析.doc

江西省丰城市第二中学2025-2026学年高二上数学期末学业质量监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A. B.
C. D.
2．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是
A. B.
C. D.
3．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为3，则点到另一焦点的距离为（ ）
A.1 B.3
C.5 D.7
4．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则为（）

A. B.
C. D.
5．已知、分别是双曲线的左、右焦点，为一条渐近线上的一点，且，则的面积为（）
A. B.
C. D.1
6．已知的周长为，顶点、的坐标分别为、，则点的轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
7．若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率，则双曲线的标准方程为（）
A. B.
C. D.
8．记等差数列的前n项和为，若，，则等于（ ）
A.5 B.31
C.38 D.41
9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则为（）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
10．某班对期中成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学的成绩按01，02，03，……，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数1开始向右读，则选出的第6个个体是（ ）
（注：如下为随机数表的第8行和第9行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 45 07 44 38 15 51 00 13
A.07 B.25
C.42 D.52
11．已知双曲线的右焦点为，以为圆心，以为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若 (为坐标原点)，则双曲线的离心率为（ ）.
A. B.
C. D.
12．2018年，伦敦著名的建筑事务所steynstudio在南非完成了一个惊艳世界的作品一一双曲线建筑的教堂，白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座教堂轻盈，极简和雕塑般的气质，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线下支的一部分，且该双曲线的上焦点到下顶点的距离为18，到渐近线距离为12，则此双曲线的离心率为（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数在点处的切线方程是_________
14．某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用（万元）有下表的统计资料：

2
3
4
5
6

22
3.8
5.5
6.5
7.0
根据上表可得回归直线方程，则=_____.
15．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”.
（1）设，则在上的“新驻点为___________；
（2）如果函数与的“新驻点”分别为、，那么和的大小关系是___________.
16．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图1，已知正方形的边长为，分别为的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，点在线段上（含端点）运动，连接

（1）若为的中点，直线与平面交于点，确定点位置，求线段的长；
（2）若折成二面角大小为，是否存在点M，使得直线与平面所成的角为，若存在，确定出点的位置；若不存在，请说明理由
18．（12分）已知函数，
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围
19．（12分）在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为
（1）求边垂直平分线所在的直线的方程；
（2）若的面积为5，求点的坐标
20．（12分）已知等差数列的前项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：数列的前项和.
21．（12分）已知函数，当时，函数有极值1.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于x的方程有一个实数根，求实数m的取值范围.
22．（10分）已知等差数列满足：，，数列的前n项和为
（1）求及；
（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A
2、C
【解析】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为
过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，则，为锐角
∴当最小时，最小，则当和抛物线相切时，最小
设切点，由的导数为，则的斜率为.
∴，则.
∴，
∴
故选C
点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，
这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.
3、D
【解析】由椭圆的定义可以直接求得点到另一焦点的距离.
【详解】设椭圆的左、右焦点分别为、, 由已知条件得，
由椭圆定义得,其中，则.
故选：.
4、B
【解析】根据空间向量运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：B
5、A
【解析】先表示出渐近线方程，设出点坐标，利用，解出点坐标，再按照面积公式求解即可.
【详解】由题意知，双曲线渐近线方程为，不妨设在上，设，由得，
解得，的面积为.
故选：A.
6、D
【解析】分析可知点的轨迹是除去长轴端点的椭圆，求出、的值，结合椭圆焦点的位置可得出顶点的轨迹方程.
【详解】由已知可得，，且、、三点不共线，
故点的轨迹是以、为焦点，且除去长轴端点的椭圆，
由已知可得，得，，则，
因此，点的轨迹方程为.
故选：D.
7、A
【解析】首先求出椭圆的焦点坐标，然后根据可得双曲线方程中的的值，然后可得答案.
【详解】椭圆焦点坐标为
所以双曲线的焦点在轴上，，
因为，所以，
所以双曲线的标准方程为
故选：A
8、A
【解析】设等差数列的公差为d，首先根据题意得到，再解方程组即可得到答案.
【详解】解：设等差数列的公差为d，由题知：，解得.
故选A.
9、B
【解析】由余弦定理可得，再利用可得答案.
【详解】因为，所以，
由余弦定理，
因为，所以，
又，∴，故为直角三角形.
故选：B.
10、D
【解析】从指定位置起依次读两位数码，超出编号的数删除.
【详解】根据题意，从随机数表第9行第5列的数1开始向右读，
依次选出的号码数是：12，34，29，56，07，52；
所以第6个个体是52.
故选：D.
11、A
【解析】设双曲线的一条渐近线方程为，为的中点，可得，由，可知为的三等分点，用两种方式表示，可得关于的方程组，结合即可得到双曲线的离心率.
【详解】设双曲线的一条渐近线方程为，为的中点，可得，

由到渐近线的距离为，
所以，又，所以，
因为，
所以，整理可得：，
即，所以，可得，所以，
所以双曲线的离心率为，
故选：A.
12、A
【解析】设出双曲线的方程，根据已知条件列出方程组即可求解.
【详解】设双曲线的方程为，
由双曲线的上焦点到下顶点的距离为18，即，
上焦点的坐标为，其中一条渐近线为，
上焦点到渐近线的距离为，
则，解得， ，即，
故选：.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】求得函数的导数，得到且，再结合直线的点斜式，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得，
则且，
所以在点处切线方程是，即
故答案为：.
14、08##
【解析】根据表格中的数据求出，将点代入回归直线求出即可.
【详解】由表格可得，
，
由于回归直线过点，
故，解得，
故答案为：0.08.
15、 ①. ②.
【解析】（1）根据“新驻点”的定义求得，结合可得出结果；
（2）求出的值，利用零点存在定理判断所在的区间，进而可得出与的大小关系.
详解】（1），，
根据“新驻点”的定义得，即，可得，
，解得，所以，函数在上的“新驻点”为；
（2），则，根据“新驻点”的定义得，即.
，则，由“新驻点”的定义得，即，
构造函数，则函数在定义域上为增函数，
，，
，由零点存在定理可知，，
.
故答案为：（1）；（2）.
【点睛】本题考查导数的计算，是新定义的题型，关键是理解“新驻点”的定义.
16、
【解析】由题可得有两个不同正根，利用分离参数法得到.令，，只需和有两个交点，利用导数研究的单调性与极值，数形结合即得.
【详解】∵的定义域为，，
要使函数有两个极值点，
只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反，
由得，，
令，，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点，
∵，令得：01；
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，；当时，；
作出和的图像如图，

所以，即，
即实数a的取值范围为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）是的延长线与延长线的交点，且
（2）存在，使得直线与平面所成的角为，且.
【解析】（1）通过延长、以及全等三角形确定点的位置并求得线段的长.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法判断符合题意的点是否存在.
【小问1详解】
延长，连接并延长，交的延长线于，
由于，
所以，所以.
所以是的延长线与延长线的交点，且.
【小问2详解】
由于，
所以平面，，
由于平面，所以平面平面.
建立如图所示空间直角坐标系，
，
设，，
设平面的法向量为，
则，
故可设，

由于直线与平面所成的角为，
所以，
整理得，
解得或（舍去）
存在，使得直线与平面所成的角为，且.

18、（1）；
（2）.
【解析】（1）求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可；
（2）问题转化为，利用导函数求出的最大值，求出的范围即可.
【小问1详解】
因为，
所以，
则切线的斜率为，又因为，则切点为，
所以曲线在点处的切线方程为，即
【小问2详解】
当时，令得，列表得
x
0

0

1
↘
极小值
↗

所以当时，的最大值为
由题意知，
故，解之得,
所以实数的取值范围为.
19、（1）2）或
【解析】（1）由题意直线的斜率公式，两直线垂直的性质，求出的斜率，再用点斜式求直线的方程
（2）根据的面积为5，求得点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式，求得的值
【详解】解：（1），，
的中点的坐标为，
又
设边的垂直平分线所在的直线的斜率为
则
，
可得的方程为，
即
边的垂直平分线所在的直线的方程
（2）边所在的直线方程为

设边上的高为即点到直线的距离为
且
解得
解得或，
点的坐标为或
20、（1）
（2）证明见解析.
【解析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项法可求得，即可证得原不等式成立.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，则，解得，
因此，.
【小问2详解】
证明：，
因此，
.
故原不等式得证.
21、（1）（2）
【解析】（1）根据，可得可得结果.
（2）根据等价转换的思想，可得，利用导数研究函数的单调性，并比较的极值与的大小关系，可得结果.
【详解】（1）由，
有，
又有，
解得：，，
故函数的解析式
为
（2）由（1）有可知：

故函数的增区间为，，
减区间为，
所以的极小值为，
极大值为
由关于x的方程有一个实数根，
等价于方程有一个实数根，
即等价于函数的图像只有一个交点
实数m的取值范围为
【点睛】本题考查根据极值求函数的解析式，还考查了方程的根与函数图像交点的等价转换，属基础题.
22、（1）；（2）
【解析】(1)先根据已知求出，再求及.(2)先根据已知得到，再利用分组求和求数列的前项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，因为，，所以
， 解得，
所以；
==.
（2）由已知得，由（1）知，所以 ，
=.
【点睛】(1)本题主要考查等差数列的通项和前n项和求法，考查分组求和和等比数列的求和公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.这叫分组求和法.