黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2025年高一上数学期末质量检测模拟试题含解析.doc

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2025年高一上数学期末质量检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
2．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是
A. B.
C. D
3．若函数y=f（x）图象上存在不同的两点A，B关于y轴对称，则称点对[A，B]是函数y=f（x）的一对“黄金点对”（注：点对[A，B]与[B，A]可看作同一对“黄金点对”）．已知函数f（x）=，则此函数的“黄金点对“有（　　）
A.0对 B.1对
C.2对 D.3对
4．已知函数，则函数的最小正周期为
A. B.
C. D.
5．设则的值为
A. B.
C.2 D.
6．三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是
A. B.
C. D.
7．函数的图像可能是（ ）．
A. B.
C. D.
8．已知是定义在区间上的奇函数，当时，.则关于的不等式的解集为
A. B.
C. D.
9．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆-嫦娥五号返回：舱之所以能达到如此髙的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，则至少还需要“打水漂”的次数为（）(参考数据：取lg2≈0.301， lg3≈0.477)

A.4 B5
C.6 D.7
10．下列说法不正确的是
A.方程有实根函数有零点
B.有两个不同的实根
C.函数在上满足，则在内有零点
D.单调函数若有零点，至多有一个
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设，则a，b，c的大小关系为_________.
12．已知函数的最大值与最小值之差为，则______
13．=_______________.
14．某房屋开发公司用14400万元购得一块土地，该地可以建造每层的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层整幢楼房每平方米建筑费用提高640元．已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为8000元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成____________层，此时，该楼房每平方米的平均综合费用最低为____________元
15．函数在区间上的值域是_____.
16．已知且，函数的图像恒过定点，若在幂函数的图像上，则__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设函数，其中.
（1）当时，求函数的零点；
（2）若，求函数的最大值.
18．函数的定义域.
19．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，
（1）若从甲校和乙校报名的教师中各选1名，求选出的两名教师性别相同的概率
（2）若从报名的6名教师中任选2名，求选出的两名教师来自同一学校的概率
20．设函数，将该函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，函数的图象关于y轴对称.

（1）求的值，并在给定的坐标系内，用“五点法”列表并画出函数在一个周期内的图象；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）设关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.
21．设函数，其中，且.
（1）求的定义域；
（2）当时，函数图象上是否存在不同两点，使过这两点的直线平行于轴，并证明.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
先确定“”为真命题时的范围，进而找到对应选项.
【详解】“”为真命题，可得，因为 ，
故选:D.
2、B
【解析】因为函数的最小正周期是，故先排除选项D；又对于选项C：，对于选项A：，故A、C均被排除，应选B.
3、D
【解析】根据“黄金点对“，只需要先求出当x＜0时函数f（x）关于y轴对称的函数的解析式，再作出函数的图象，利用两个图象交点个数进行求解即可
【详解】
由题意知函数f（x）=2x，x＜0关于y轴对称的函数为，x＞0，
作出函数f（x）和，x＞0的图象，
由图象知当x＞0时，f（x）和y=（）x，x＞0的图象有3个交点
所以函数f（x）的““黄金点对“有3对
故选D
【点睛】本题主要考查分段函数的应用，结合“黄金点对“的定义，求出当x＜0时函数f（x）关于y轴对称的函数的解析式，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键
4、C
【解析】去绝对值符号，写出函数的解析式，再判断函数的周期性
【详解】，其中，所以函数的最小正周期，
选择C
【点睛】本题考查三角函数最小正周期的判断方法，需要对三角函数的解析式整理后，根据函数性质求得
5、D
【解析】由题意可先求f（2），然后代入f（f（2））＝f（﹣1）可得结果.
【详解】解：∵
∴f（2）
∴f（f（2））＝f（﹣1）＝
故选D
【点睛】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是需要判断不同的x所对应的函数解析式，属于基础试题
6、B
【解析】
试题分析：取BC中点M ，则有,所以三棱锥 的体积是，选B.
考点：三棱锥体积
【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解
7、D
【解析】∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A，
当时，∴，所以排除B，
当时，∴，所以排除C，故选D.
考点：函数图象的平移.

8、A
【解析】分析：根据函数奇偶性的性质将不等式进行转化为一般的不等式求解即可
详解：∵，函数f(x)为奇函数，
∴，
又f(x)是定义在[−1,1]上的减函数，
∴ ，即，解得
∴不等式的解集为
故选A
点睛：解题的关键是根据函数的奇偶性将不等式化为或的形式，然后再根据单调性将函数不等式化为一般的不等式求解，解题时不要忘了函数定义域的限制
9、C

【解析】设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，再根据题设列不等式求解即可.
【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝.
由，得，则，
所以，故，又，
所以至少需要“打水漂”的次数为6.
故选：C
10、C
【解析】A选项，根据函数零点定义进行判断；B选项，由根的判别式进行求解；C选项，由零点存在性定理及举出反例进行说明；D选项，由函数单调性定义及零点存在性定理进行判断.
【详解】A．根据函数零点的定义可知：方程有实根⇔函数有零点，∴A正确
B．方程对应判别式，∴有两个不同实根，∴B正确
C．根据根的存在性定理可知，函数必须是连续函数，否则不一定成立，比如函数满足条件，但在内没有零点，∴C错误
D．若函数为单调函数，则根据函数单调性的定义和函数零点的定义可知，函数和x轴至多有一个交点，∴单调函数若有零点，则至多有一个，∴D正确
故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性可得到，，，从而可比较a，b，c的大小关系.
【详解】因为，，，
所以.
故答案为：.
12、或.
【解析】根据幂函数的性质，结合题意，分类讨论，利用单调性列出方程，即可求解.
【详解】由题意，函数，
当时，函数在上为单调递增函数，可得，解得；
当时，显然不成立；
当时，函数在上为单调递减函数，可得，解得，
综上可得，或.
故答案为：或.
13、
【解析】解：
14、 ①.15 ②.24000
【解析】设公司应该把楼建成层，可知每平方米的购地费用，已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为8000元，从中可得出建层的每平方米的建筑费用，然后列出式子求得其最小值，从而可求得答案
【详解】设公司应该把楼建成层，则由题意得
每平方米购地费用为（元），
每平方米的建筑费用为（元），
所以每平方米的平均综合费用为

，
当且仅当，即时取等号，
所以公司应把楼层建成15层，此时，该楼房每平方米的平均综合费用最低为24000元，
故答案为：15，24000
15、
【解析】结合的单调性求得正确答案.
【详解】根据复合函数单调性同增异减可知：在区间上递增，
最小值为，最大值为，
所以函数在区间上的值域是.
故答案为：
16、
【解析】由题意得

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）1和
（2）答案见解析
【解析】（1）分段函数，在每一段上分别求解后检验
（2）根据对称轴与区间关系，分类讨论求解
【小问1详解】
当时，
当时，由得；
当时，由得（舍去）
当时，函数的零点为1和
【小问2详解】
①当时，，，
由二次函数的单调性可知在上单调递减

②当即时，，，
由二次函数的单调性可知在上单调递增

③当时，
在上递增，在上的最大值为
当时在递增，在上递减，
在上的最大值为
，当时
当时在上递增，
在上的最大值为
，当时
综上所述：
当时，
当时，
当时，
当时，
18、
【解析】函数的定义域是，由对数函数的性质能够求出结果
【详解】整理得解得
函数的定义域为
【点睛】本题考查对数函数的定义域，是基础题．解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用
19、（1）（2）
【解析】（1）利用古典概型概率公式可知
（2）从报名的6名教师中任选2名，求选出的两名教师来自同一学校的情况为，则
20、（1），图象见解析；
（2）
（3）
【解析】（1）化简解析式，通过三角函数图象变换求得，结合关于轴对称求得，利用五点法作图即可；
（2）利用整体代入法求得的单调递增区间.
（3）化简方程，利用换元法，结合一元二次方程根的分布求得的取值范围.
【小问1详解】

.
所以，将该函数的图象向左平移个单位后得到函数，
则，
该函数的图象关于轴对称，可知该函数为偶函数，
故，，解得，.
因为，所以得到.
所以函数，
列表：

0

0

0

作图如下：
【小问2详解】
由函数，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为
【小问3详解】
由（1）得到，
化简得，
令，，则.
关于的方程，即，
解得，.
当时，由，可得；
要使原方程在上有两个不相等的实数根，则，
解得.
故实数的取值范围为.
21、（1）当时，定义域为；当时，定义域为.（2）不存在，证明见解析.
【解析】（1）首先根据题意得到，再分类讨论解不等式即可.
（2）首先根据单调性定义得到函数在为增函数，从而得到函数图像上不存在不同两点，使过这两点的直线平行于轴.
【详解】（1）由题知：，
①当时，即，则，定义域为.
②当时，即，则，定义域为.
综上，当时，定义域为；当时，定义域为.
（2）因为，所以函数的定义域为，
任取，且，
因为，所以，因为，所以，
所以，即，
所以，函数在为增函数，
所以函数图象上不存在不同两点，使过这两点的直线平行于轴.