北京市衡中清大教育集团2025年高一数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析.doc

北京市衡中清大教育集团2025年高一数学第一学期期末复习检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan＝－则实数a的值是（）
A.2 B.
C.－2 D.－
2．在底面为正方形的四棱锥中，侧面底面，，，则异面直线与所成的角为（ ）

A. B.
C. D.
3．祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p是q的（）
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4．函数与的图象可能是（）
A. B.
C. D.
5．若xlog34=1，则4x+4–x=
A.1 B.2
C. D.
6．将函数图象向左平移个单位后与的图象重合，则（ ）
A. B.
C D.
7．下列命题中正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
8．函数（，）在一个周期内的图象如图所示，为了得到正弦曲线，只需把图象上所有的点（）

A.向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B.向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C.向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D.向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
9．已知函数的部分图象如图所示，则的值可以为

A.1 B.2
C.3 D.4
10．函数的单调递增区间是（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，则______.
12．如图，矩形是平面图形斜二测画法的直观图，且该直观图的面积为，则平面图形的面积为______.

13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________.

14．已知函数，实数，满足，且，若在上的最大值为2，则____
15．已知△ABC的三个顶点分别为A(2，3)，B(-1，-2)，C(-3，4)，则BC边上的中线AD所在的直线方程为___
16．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”．若函数为 “倍缩函数”，则实数的取值范围是_______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数是偶函数（其中a，b是常数），且它的值域为
（1）求的解析式；
（2）若函数是定义在R上的奇函数，且时，，而函数满足对任意的，有恒成立，求m的取值范围
18．函数
（1）解不等式；
（2）若方程有实数解，求实数的取值范围
19．2019年是中华人民共和国成立70周年，70年披荆斩棘，70年砥砺奋进，70年风雨兼程，70年沧桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了举世瞩目的成就，为此，某市举行了“辉煌70年”摄影展和征文比赛，计划将两类获奖作品分别制作成纪念画册和纪念书刊，某公司接到制作300本画册和900本书刊的订单，已知该公司有50位工人，每位工人在1小时内可以制作完3本画册或5本书刊，现将全部工人分为两组，一组制作画册，另一组制作书刊，并同时开始工作，设制作画册的工人有x位，制作完画册所需时间为(小时)，制作完书刊所需时间为(小时).
（1）试比较与的大小，并写出完成订单所需时间(小时)的表达式；
（2）如何分组才能使完成订单所需的时间最短？
20．已知函数.
（1）当时，求函数的零点；

（2）若不等式在时恒成立，求实数k的取值范围.
21．计算下列各式：
（1）；
（2）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】利用两角和的正切公式得到关于tan α的值，进而结合正切函数的定义求得a的值.
【详解】∵，
∴tan α＝－2，
∵点P(1，a)在角α的终边上，
∴tan α＝＝a，
∴a＝－2.
故选：C.
2、C
【解析】由已知可得PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，分别过P，D点作AD，AP的平行线
交于M，连接CMAM，因为PB∥CM，所以ACM就是异面直线PB与AC所成的角,再求解即可.
【详解】
由题意：底面ABCD为正方形，
侧面底面，，
面面，
PA⊥平面ABCD，
分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，
连接CM，AM，
∵PM∥AD，AD∥BC，
PM＝AD，AD＝BC
∴ PBCM是平行四边形，
∴ PB∥CM，
所以∠ACM就是异面直线PB与AC所成的角
设PA＝AB＝a，
在三角形ACM中，，
∴三角形ACM是等边三角形
所以∠ACM等于60°，
即异面直线PB与AC所成的角为60°
故选：C.
【点睛】思路点睛：先利用面面垂直得到PA⊥平面ABCD，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，得到∠ACM就是异面直线PB与AC所成的角
3、C
【解析】根据与的推出关系判断
【详解】已知A，B为两个等高的几何体，由祖暅原理知，而不能推出，可举反例，两个相同的圆锥，一个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不相等，则是的必要不充分条件
故选：C
4、D
【解析】注意到两函数图象与x轴的交点，由排除法可得.
【详解】令，得或，则函数过原点，排除A；
令，得，故函数，都过点，排除BC.
故选：D
5、D
【解析】条件可化为x=log43，运用对数恒等式，即可
【详解】∵xlog34=1，∴x=log43，∴4x=3，∴4x+4–x=3+．故选D
【点睛】本题考查对数性质的简单应用，属于基础题目
6、C
【解析】利用三角函数的图象变换可求得函数的解析式.
【详解】由已知可得.
故选：C.
7、C
【解析】
分析】
利用不等式性质逐一判断即可.
【详解】选项A中，若，，则，若，，则，故错误；
选项B中，取 ，满足，但，故错误；
选项C中，若，则两边平方即得，故正确；
选项D中，取，满足，但，故错误.
故选：C.
【点睛】本题考查了利用不等式性质判断大小，属于基础题.
8、B
【解析】先利用图像求出函数的解析式，在对四个选项，利用图像变换一一验证即可.
【详解】由图像可知：，所以,所以，解得：.
所以.
又图像经过，所以，解得：，
所以
对于A：把图象上所有的点向左平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到.故A错误；
对于B：把图象上所有点向右平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.故B正确；
对于C：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.故C错误；
对于D：把图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到.故D错误；

故选：B
9、B
【解析】由图可知，故，选.
10、B
【解析】先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数y=log3（x2-2x）的单调递增区间
【详解】函数y=log5（x2-2x）的定义域为（-∞，0）∪（2，+∞），
令t=x2-2x，则y=log5t，
∵y=log5t为增函数，
t=x2-2x在（-∞，0）上为减函数，在（2，+∞）为增函数，
∴函数y=log5（x2-2x）的单调递增区间为（2，+∞），
故选B
【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”是解答本题的关键

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2
【解析】根据自变量的范围，由内至外逐层求值可解.
【详解】

又

故答案为：2.
12、
【解析】由题意可知，该几何体的直观图面积，可通过，带入即可求解出该平面图形的面积.
【详解】解：由题意，直观图的面积为，
因为直观图和原图面积之间的关系为，
所以原图形的面积是
故答案为：.
13、
【解析】该几何体是一个半圆柱，如图，其体积为.

考点：几何体的体积.
14、4
【解析】由题意结合函数的解析式分别求得a,b的值，然后求解的值即可.
【详解】绘制函数的图像如图所示，
由题意结合函数图像可知可知，则，
据此可知函数在区间上的最大值为，
解得，且，解得：，
故.

【点睛】本题主要考查函数图像的应用，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15、
【解析】求出的坐标后可得的直线方程.
【详解】的坐标为，故的斜率为，
故直线的方程为即，
故答案为：
16、
【解析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围.
【详解】因为函数为“倍缩函数”，即满足存在，使在上的值域是，
由复合函数单调性可知函数在上是增函数
所以，则，即

所以方程有两个不等实根，且两根都大于0.
令，则，所以方程变为：.
则，解得
所以实数的取值范围是.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由偶函数的定义结合题意可求出，再由函数的值域为可求出，从而可求出函数解析式，
（2）由题意求出的解析式，判断出当时，，从而将问题转化为满足对任意的恒成立，设，则对恒成立，然后利用二次函数的性质求解
【小问1详解】
由题
∵是偶函数，∴，∴
∴或，
又∵的值域为，∴，
∴，∴或，
∴；
【小问2详解】
若函数是定义在R上的奇函数，且时，，
由（1）知，∴时，；
时，；当时，，
显然时，，若，则
又满足对任意的，有恒成立，
∴对任意的恒成立，
即满足对任意的恒成立，
即，设，
则对恒成立，
设，
∵函数的图像开口向上，
∴只需，
∴，
∴所求m的取值范围是.
18、（1）
（2）
【解析】（1）由，根据对数的单调性可得，然后解指数不等式即可.
（2）由实数根，化为有实根，令，有正根即可，对称轴，开口向上，只需即可求解.
【详解】（1）由，即，所以，
，解得
所以不等式的解集为.
（2）由实数根，即有实数根，
所以有实根，两边平方整理可得
令，且，由题意知有大于根即可，即，令 ，，故
故.
故实数的取值范围.
【点睛】本题考查了利用对数的单调性解不等式、根据对数型方程的根求参数的取值范围，属于中档题.
19、（1）当时，；当时，；；（2）安排18位工人制作画册，32位工人制作书刊，完成订单所需时间最短.
【解析】（1）由题意得，，利用作差法可比较出与的大小，然后可得的表达式；
（2）利用反比例函数的知识求出的最小值即可.
【详解】（1）由题意得，，
所以，.
所以当时，；
当时，，
所以完成订单所需时间.
（2）当时，为减函数，此时；
当时，为增函数，此时.
因为，
所以当时，取得最小值.
所以安排18位工人制作画册，32位工人制作书刊，完成订单所需时间最短.
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）由对数函数的性质可得，再解含指数的一元二次方程，结合指数的性质即可得解.
（2）由题设有在上恒成立，判断的单调性并确定其值域，即可求k的范围.
【小问1详解】
由题设，令，则，
∴，可得或（舍），
∴，故的零点为.
【小问2详解】
由，则，即在上恒成立，
∵在上均递减，
∴在上递减，则，
∴k的取值范围为.
21、（1）-37 （2）0
【解析】（1）利用对数的性质以及有理数指数幂的性质，算出结果；（2）利用诱导公式算出三角函数值
试题解析：（1）原式 ；
（2），，所以原式