2025年黑龙江省青冈县一中数学高一第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

2025年黑龙江省青冈县一中数学高一第一学期期末考试模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若函数的值域为，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．函数定义域是　　
A. B.
C. D.
3．设，则a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
4．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是
A.①和② B.②和③
C.③和④ D.②和④
5．设函数，若对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值是（ ）
A.4π B.2π
C.π D.
6．设集合，集合 ，则 等于（ ）
A (1,2) B.(1,2]
C.[1,2) D.[1,2]
7．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（）
(参考数据：)
A. B.
C. D.
8．若函数满足，且，，则
A.1 B.3
C. D.
9．函数的定义域是
A. B.
C. D.
10．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．定义在R上的奇函数f (x)周期为2，则__________.
12．若直线上存在满足以下条件的点:过点作圆的两条切线(切点分别为),四边形的面积等于，则实数的取值范围是_______
13．已知，则的值为______
14．已知函数f（x）=x2，若存在t∈R，对任意x∈[1，m]（m＞1，m∈N），都有f（x+t）≤2x，则m的最大值为______
15．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为___________.

16．已知平面向量，，，，，则的值是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数为奇函数
（1）求函数的解析式并判断函数的单调性（无需证明过程）；
（2）解不等式
18．求下列各式的值：
（1）；
（2）
19．设函数是增函数，对于任意都有
（1）写一个满足条件的；
（2）证明是奇函数；
（3）解不等式
20．已知函数
（Ⅰ）求在区间上的单调递增区间；
（Ⅱ）若，，求的值
21．已知
（1）求；
（2）若，且，求
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】因为函数的值域为，所以可以取到所有非负数，即的最小值非正.
【详解】因为，
且的值域为，
所以，解得.
故选：C.
2、A
【解析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域
【详解】解：要使函数有意义，则，
得，即，
即函数的定义域为
故选A
【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.
3、D
【解析】根据指数函数的性质求得，，根据对数函数的性质求得，即可得到答案.
【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得，
由对数函数的性质，知，即
所以.
故选：D
4、D
【解析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择．
【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④.
故选D
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
5、C
【解析】首先得出f（x1）是最小值，f（x2）是最大值，可得|x1﹣x2|的最小值为函数的半个周期，根据周期公式可得答案
【详解】函数，
∵对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），
∴f（x1）是最小值，f（x2）是最大值；
∴|x1﹣x2|的最小值为函数的半个周期，
∵T＝2π，
∴|x1﹣x2|的最小值为π，
故选：C.
6、B
【解析】由指数函数、对数函数的性质可得、，再由交集的运算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数不等式的求解及对数函数性质的应用，考查了集合交集的运算，属于基础题.
7、B
【解析】根据列式求解即可得答案.
【详解】解：因为，，
所以，即，
所以，由于，故，
所以，所以，解得.
故选：B.
【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，再结合已知得，进而根据解方程即可得答案，是基础题.
8、B
【解析】因为函数满足，所以，结合，可得，故选B.
9、B
【解析】根据根式、对数及分母有意义的原则即可求得x的取值范围
【详解】要使函数有意义，
则需，解得，
据此可得：函数的定义域为.
故选B.
【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．本题求解时要注意根号在分母上，所以需要，而不是.
10、D
【解析】根据题意，设，利用函数图象求得，得出函数解析式，再利用诱导公式判断选项即可.
【详解】由题意，设，
由图象知：，
所以，
所以，
因为点在图象上，
所以，
则，
解得，
所以函数，
即，
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、0
【解析】以周期函数和奇函数的性质去求解即可.
【详解】因为是R上的奇函数，所以，又周期为2，所以，
又，所以，故，
则对任意，
故
故答案为：0
12、
【解析】通过画出图形，可计算出圆心到直线的最短距离，建立不等式即可得到的取值范围.
【详解】作出图形，由题意可知，，此时，四边形即为,而，故，勾股定理可知，而要是得存在点P满足该条件，只需O到直线的距离不大于即可，即，所以，故的取值范围是.

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，意在考查学生的转化能力，计算能力，分析能力，难度中等.
13、2
【解析】根据给定条件把正余弦的齐次式化成正切，再代入计算作答.
【详解】因，则，
所以的值为2.
故答案为：2
14、5
【解析】设g（x）=f（x+t）-2x=x2+（2t-2）x+t2≤0．从而得到g（1）≤0且g（m）≤0，求得t的范围，讨论t的最值，代入m的不等式求得m的范围，结合条件可得m的最大值
【详解】函数f（x）=x2，
那么f（x+t）=x2+2tx+t2，
对任意实数x∈[l，m]，都有f（x+t）≤2x成立，即有x2+（2t-2）x+t2≤0
令g（x）=x2+（2t-2）x+t2，从而得到g（1）≤0，且g（m）≤0，
由g（1）≤0可得，
由g（m）≤0，即m2+（2t-2）m+t2≤0
当时，；
当时，
综上可得，
由m为正整数，可得m的最大值为5
故答案为5
【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用二次函数的性质，考查运算求解能力，是中档题
15、
【解析】先判断为奇函数，且在R上为增函数，然后将转化为，从而有，进而可求出m的取值范围
【详解】由题意可知，的定义域为R，
因为，所以为奇函数.
因为，且在R上为减函数，
所以由复合函数的单调性可知在R上为增函数.
又，所以，
所以，解得.
故答案为：.
16、
【解析】根据向量垂直向量数量积等于，解得α·β＝，再利用向量模的求法，将式子平方即可求解.
【详解】由得，
所以，
所以
所以.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），单调递增
（2）
【解析】（1）直接由解出，再判断单调性即可；
（2）利用奇函数和单增得到，解对数不等式即可.
【小问1详解】
因为函数的定义域为R ，且是奇函数
所以，
即，解得，
经检验，，为奇函数，
所以函数解析式为，
函数为单调递增的函数.
【小问2详解】
因为函数在R上单调递增且为奇函数，

解得，
.
18、（1）-2；（2）18.
【解析】（1）利用对数的运算性质化简求值即可.
（2）由有理数指数幂与根式的关系及指数幂的运算性质化简求值.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
19、（1），
（2）见解析（3）
【解析】（1）满足是增函数，对于任意都有的函数
（2）利用函数的奇偶性的定义转化求解即可
（3）利用已知条件转化不等式，通过函数的单调性转化求解即可
【小问1详解】
因为函数是增函数，对于任意都有，这样的函数很多，其中一种为：，证明如下：
函数满足是增函数，，所以满足题意.
【小问2详解】
令，则由
得，
即得，故是奇函数
【小问3详解】
，所以，则
，因为，所以
，所以，又因为函数是增函数，所以
，所以或.所以的解集为：.
20、（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，求得函数在上的单调递增区间，与取交集可得出结果；
（Ⅱ）由可得出，利用同角三角函数的基本关系可求得的值，利用两角和的正弦公式可求得的值
详解】（Ⅰ）

令，，得，
令，得；令，得.
因此，函数在区间上的单调递增区间为，；
（Ⅱ）由，得
，，
又，，
因此，

【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间的求解，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.
21、（1）
（2）
【解析】(1)根据已知条件求出tanα，将要求的式子构造成关于正余弦的齐次式，将弦化为切即可求值；
(2)根据角的范围和的正负确定的范围，求出sin()，根据即可求解.
【小问1详解】
，
；
【小问2详解】

，，
，
又，
.