2025年福建省南安市国光中学数学高一上期末监测模拟试题含解析.doc

2025年福建省南安市国光中学数学高一上期末监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1． “”是“关于的方程有实数根”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2．已知函数在区间上有且只有一个零点，则正实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．曲线在区间上截直线及所得的弦长相等且不为，则下列对，的描述正确的是
A.， B.，
C.， D.，
4．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画.某扇形玉雕壁画尺寸（单位：）如图所示，则该壁画的扇面面积约为（）

A. B.
C. D.
5．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）
A.y=sin2x+cos2x
B.y=sin2xcos2x
C.y=cos（4x+）
D.y=sin22x﹣cos22x
6．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是(当较小时，)
A.1.24 B.1.25
C.1.26 D.1.27
7．，，则p是q的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．已知函数，，若恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9．计算器是如何计算，，，，等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，，其中.英国数学家泰勒(B.Taylor，1685-1731)发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的和的值也就越精确.运用上述思想，可得到的近似值为（ ）
A.0.50 B.0.52
C.0.54 D.0.56
10．定义在上的偶函数满足当时, ,则
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数f(x)=x-[x].有下列结论:
①函数的图象是一条直线;②函数f(x)的值域为[0，1);③方程f(x)=有无数个解;④函数是R上的增函数.其中正确的是____.(填序号)
12．的值是__________
13．如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为4的等边三角形，四边形是等腰梯形，，则四棱锥外接球的表面积是____________.

14．已知圆心角为的扇形的面积为，则该扇形的半径为____.
15．已知集合，，则___________.
16．设函数，且；
（1）若，求的最小值；
（2）若在上能成立，求实数的取值范围
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆O：，点，点，直线l过点P
（1）若直线l与圆O相切，求l的方程；
（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，且M的纵坐标为－，求△NAB的面积
18．已知函数在区间上有最大值，最小值，设.
（1）求值；
（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.
19．证明：函数是奇函数.
20．如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.
21．6月17日是联合国确定的“世界防治荒漠化和干旱日”，旨在进一步提高世界各国人民对防治荒漠化重要性的认识，唤起人们防治荒漠化的责任心和紧迫感.为增强全社会对防治荒漠化的认识与关注，聚集联合国2030可持续发展目标——实现全球土地退化零增长.自2004年以来，我国荒漠化和沙化状况呈现整体遏制、持续缩减、功能增强、成效明显的良好态势.治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了400株树苗的高度（单位：），得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中实数的值和抽到的树苗的高度在的株数；
（2）估计苗圃中树苗的高度的平均数和中位数.（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.
【详解】当时，方程的实数根为，
当时，方程有实数根，则，解得，则有且，
因此，关于的方程有实数根等价于，
所以“”是“关于的方程有实数根”的充分而不必要条件.
故选：A
2、D
【解析】将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，通过对参数讨论作图可解.
【详解】在区间上有且只有一个零点在区间上有且只有一个解，即在区间上有且只有一个解
令，，
当，即时，因为在上单调递减，在上单调递增
且，，
由图1知，此时函数与在上只有一个交点；
当，即时，因为，所以要使函数与在上有且只有一个交点，由图2知，即，解得或（舍去）.
综上，的取值范围为.
故选：D

3、A
【解析】分析：，关于对称，可得，由直线及的距离小于可得.
详解：因为曲线
在区间上截直线及所得的弦长相等且不为，
可知，关于对称，
所以，又弦长不为，
直线及的距离小于，
∴．故选A.
点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，以及数形结合思想的应用，属于简单题.
4、D
【解析】利用扇形的面积公式，利用大扇形面积减去小扇形面积即可.
【详解】如图，设，，由弧长公式可得解得，，设扇形，扇形的面积分别为，则该壁画的扇面面积约为

故选：.

5、D
【解析】A中，周期为,不是偶函数；
B中，周期为，函数为奇函数；
C中，周期为，函数为奇函数；
D中，周期为，函数为偶函数
6、C
【解析】根据题意，代值计算，即可得，再结合参考公式，即可估算出结果.
【详解】根据题意可得：

可得，解得，
根据参考公式可得，
故与最接近的是.
故选：C.
【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.
7、B
【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】解：因为，，
所以由不能推出，由能推出，故是的必要不充分条件
故选：B
8、B
【解析】利用数形结合的方法，作出函数的图象，简单判断即可.
【详解】依题意，函数的图象与直线有两个交点，
作出函数图象如下图所示，

由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则，即.
故选：B.
【点睛】本题考查函数零点问题，掌握三种等价形式：函数零点个数等价于方程根的个数等价于两个函数图象交点个数，属基础题.
9、C
【解析】根据新定义，直接计算取近似值即可.
【详解】由题意，

故选：C
10、B
【解析】分析：先根据得周期为2，由时单调性得单调性，再根据偶函数得单调性，最后根据单调性判断选项正误.
详解：因为，所以周期为2，
因为当时, 单调递增，所以 单调递增，
因为，所以 单调递减，
因为， ,
所以, , ,,
选B.
点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、②③##③②
【解析】画出的图象，即可判断四个选项的正误.
【详解】画出函数的图象，如图所示，可以看出函数的图象不是一条直线，故A错误；函数f(x)的值域为，故②正确；方程有无数个解，③正确；函数是分段函数，且函数不是R上的增函数，故④错误.

故答案为：②③
12、
【解析】分析：利用对数运算的性质和运算法则，即可求解结果.
详解：由
.
点睛：本题主要考查了对数的运算，其中熟记对数的运算法则和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
13、##
【解析】先根据面面垂直，取△的外接圆圆心G，梯形的外接圆圆心F，分别过两点作对应平面的垂线，找到交点为外接球球心，再通过边长关系计算半径，代入球的表面积公式即得结果.
【详解】如图，取的中点，的中点，连，，在上取点，使得，
由是边长为4的等边三角形，四边形是等腰梯形，，
可得，，即梯形的外接圆圆心为F，
分别过点、作平面、平面的垂线，两垂线相交于点，显然点为四棱锥外接球的球心，

由题可得，，，
则四棱锥外接球的半径，
故四棱锥外接球的表面积为
故答案为：.
14、4
【解析】由扇形的面积公式列方程即可求解.
【详解】扇形的面积，即，解得：.
故答案为：.
15、
【解析】根据并集的定义可得答案.
【详解】，，.
故答案为：.
16、（1）3（2）或
【解析】（1）由可得，再利用基本不等式中乘“1”法的应用计算可得；
（2）将已知转化为不等式有解，再对参数分类讨论，分别计算可得.
【小问1详解】
函数，由，可得，
所以，
当时等号成立，又，，，解得时等号成立，
所以的最小值是3.
【小问2详解】
由题知，在上能成立，即能成立，
即不等式有解
①当时，不等式的解集为，满足题意；

②当时，二次函数开口向下，必存在解，满足题意；
③当时，需，解得或
综上，实数的取值范围是或

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或
（2）
【解析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论求解，当直线斜率存在时，根据点到直线的距离公式求参数即可；
（2）设直线l方程为，，进而与圆的方程联立得中点的坐标，，解方程得直线方程，再求三角形面积即可.
【小问1详解】
解：若直线l的斜率不存在，则l的方程为，
此时直线l与圆O相切，符合题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
因为直线l与圆O相切，所以圆心（0，0）到l的距离为2，
即，解得，
所以直线l的方程为，即
故直线l的方程为或
【小问2详解】
解：设直线l的方程为，
因为直线l与圆O相交，所以结合（1）得
联立方程组消去y得，
设，则，
设中点，，①
代入直线l的方程得，②
解得或（舍去）
所以直线l的方程为
因为圆心到直线l的距离，
所以
因为N到直线l的距离
所以
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用二次函数单调性进行求解即可；
（2）利用换元法、构造函数法，结合二次函数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
当时，函数的对称轴为：，
因此函数当时，单调递增，
故
所以；
【小问2详解】
由（1）知，
不等式，可化为：
即，令，
，令，
.
19、证明见解析
【解析】由奇偶性的定义证明即可得出结果.
【详解】中，，即，
的定义域为，关于原点对称，
,
，函数是奇函数.
20、（1）证明略
（2）
【解析】（Ⅰ）要证平面，由已知平面，已经有，因此在直角梯形中证明即可，通过计算得，而是中点，则有；（Ⅱ）PB与平面ABCD所成的角是，下面关键是作出PB与平面PAE所成的角，由（Ⅰ）作，分别与相交于，连接，则是PB与平面PAE所成的角，由这两个角相等，可得，同样在直角梯形中可计算出，也即四棱锥P-ABCD的高，体积可得．另外也可建立空间直角坐标系，通过空间向量法求得结论，第（Ⅱ）小题中关键是求点的坐标，注意这里直线与平面所成的角相等转化为直线与平面的法向量的夹角相等
试题解析：解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，
是的中点，所以
所以
而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE
（Ⅱ）过点Ｂ作
由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE．于是为直线ＰＢ与平面PAE
所成的角，且
由知，为直线与平面所成的角
由题意，知
因为所以
由所以四边形是平行四边形，故于是
在中，所以

于是
又梯形的面积为所以四棱锥的体积为

解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系．设则相关的各点坐标为：

（Ⅰ）易知因为
所以而是平面内的两条相交直线，所以
（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与
所成的角和PB与所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知，由故

解得
又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为
.
考点：线面垂直的判断，棱锥的体积
21、（1），342
（2）189.8，190
【解析】（1）由每个小长方形的面积的总和等于，即可通过列方程求出值，根据频数样本容量频率即可求出抽到的树苗的高度在的株数；
（2）由频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小正方形底边中点的横坐标的乘积之和即为平均数，即可算出，利用平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标即为中位数，即可算出.
【小问1详解】
∵，
∴，
抽到的树苗的高度在的株数为（株）
【小问2详解】
苗圃中树苗的高度的平均数：

设中位数为，因为，
，则，
，所以.