2026届辽宁抚顺市六校联合体数学高一第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2026届辽宁抚顺市六校联合体数学高一第一学期期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知偶函数在上单调递增，则对实数、，“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．下列函数中与函数是同一函数的是（）
A. B.
C. D.
3．设全集，集合，则等于
A. B.
C. D.
4．若是第二象限角，则点在 （　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5．已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围是
A. B.
C. D.
6．已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是（ ）
A. B.
C. D.
7．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
8．如图，把边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折起，当直线BD和平面ABC所成的角为时，三棱锥的体积为（ ）

A. B.
C. D.
9．已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为

A. B.
C. D.
10．已知幂函数的图象过点(2,)，则的值为（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数在上的最大值为2，则_________
12．已知奇函数f（x），当，，那么___________.
13．已知函数，若在区间上的最大值是，则_______；若在区间上单调递增，则的取值范围是___________
14．已知，且，写出一个满足条件的的值___________
15．中，若，则角的取值集合为_________.
16．已知是定义在上的奇函数且以6为周期，若，则在区间内至少有________零点.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，.

（1）求证：；
（2）若为等边三角形，，平面平面，求四棱锥的体积.
18．某网上电子商城销售甲、乙两种品牌的固态硬盘，甲、乙两种品牌的固态硬盘保修期均为3年，现从该商城已售出的甲、乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取50个，统计这些固态硬盘首次出现故障发生在保修期内的数据如下：
型号
甲
乙
首次出现故障的时间x(年)

硬盘数(个)
2
1
2
1
2
3
假设甲、乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立.
（1）从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，试估计首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）某人在该商城同时购买了甲、乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估计恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年(即)的概率.
19．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在直线上．求：

(1) AD边所在直线的方程；
(2) DC边所在直线的方程
20．已知函数是函数图象的一条对称轴.
（1）求的最大值，并写出取得最大值时自变量的取值集合；
（2）求在上的单调递增区间.
21．已知二次函数满足
（1）求的最小值；
（2）若在上有两个不同的零点，求的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】直接利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】因为偶函数在上单调递增，
若，则，
而等价于，故充分必要；
故选：C
2、C
【解析】确定定义域相同，对应法则相同即可判断
【详解】解：定义域为，
A中定义域为，定义域不同，错误；
B中化简为，对应关系不同，错误；
C中定义域为，化简为，正确；
D中定义域为，定义域不同，错误；
故选：C
3、A
【解析】,=
4、D
【解析】先分析得到，即得点所在的象限.
【详解】因为是第二象限角，
所以，
所以点在第四象限，
故选D
【点睛】本题主要考查三角函数的象限符合，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
5、B
【解析】不妨设，的图像如图所示，
则，，
其中，
故，也就是，
则，
因，故.
故选：B.

【点睛】函数有四个不同零点可以转化为的图像与动直线有四个不同的交点，注意函数的图像有局部对称性，而且还是倒数关系.
6、C
【解析】设点为外接圆的圆心，根据，得到是等边三角形，求得外接圆的半径r，再根据直三棱柱的顶点都在球上，由求得，直三棱柱的外接球的半径即可.
【详解】如图所示：

设点为外接圆的圆心，
因为，
所以，又，
所以等边三角形，
所以，
又直三棱柱的顶点都在球上，
所以外接球的半径为，
所以直三棱柱的外接球的表面积是，
故选：C
7、D
【解析】利用三角函数图象的平移变换及诱导公式即可求解.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到
.
故选：D.
8、C
【解析】取的中点为，连接，过作的垂线，垂足为，可以证明平面平面，求出的面积后利用公式求出三棱锥的体积.
【详解】
取的中点为，连接，过作的垂线，垂足为.
因为为等腰直角三角形，故，同理，
而，故平面，
而平面，故平面平面，
因为平面平面，平面，
故平面，故为直线BD和平面ABC所成的角，
所以.
在等腰直角形中，因为，，故，
同理，故为等边三角形，故.
故.
故选：C.
【点睛】思路点睛：线面角的构造，往往需要根据面面垂直来构建线面垂直，而后者来自线线垂直，注意对称的图形蕴含着垂直关系，另外三棱锥体积的计算，需选择合适的顶点和底面.
9、D
【解析】取的中点，连接，，则（或补角）是与所成的角，利用勾股定理可求该角为直角
【详解】
如图，取的中点，连接，，则，，
（或补角）是与所成的角，
，，
，，而，所以，.
故选：D.
【点睛】本题考查异面直线所成的角，此类问题一般需要通过平移构建平面角，再利用解三角形的方法求解.
10、A
【解析】令幂函数且过 (2,)，即有，进而可求的值
【详解】令，由图象过(2,)
∴，可得
故
∴
故选：A
【点睛】本题考查了幂函数，由幂函数的形式及其所过的定点求解析式，进而求出对应函数值，属于简单题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】先求导可知原函数在上单调递增，求出参数后即可求出.
【详解】解：在上
在上单调递增，且当取得最大值
，可知

故答案为：1
12、
【解析】根据函数奇偶性把求的值，转化成求的值.
【详解】由f（x）为奇函数，可知，则
又当，，则
故
故答案为：
13、 ①. ②.
【解析】根据定义域得，再得到取最大值的条件求解即可；先得到一般性的单调增区间，再根据集合之间的关系求解.
【详解】因为，且在此区间上的最大值是，所以
因为f(x)max=2tan=，所以 tan==，即ω=
由，得
令，得，即在区间上单调递增
又因在区间上单调递增，所以<，即
所以的取值范围是
故答案为：1，
14、π（答案不唯一）
【解析】利用，可得，又，确定可得结果.
【详解】因为，所以，，则，或，，又 ，故满足要求
故答案为：π（答案不唯一）
15、
【解析】△ABC中，由tanA=1，求得A的值
【详解】∵△ABC中，tanA=1>0，故
∴A=
故答案为
【点睛】本题主要考查三角函数的化简，及与三角形的综合，应注意三角形内角的范围
16、6
【解析】直接利用的奇偶性和周期性求解.
【详解】因为是定义在上奇函数且以6为周期，
所以
即，
所以的图象关于对称，且，
则，
又，
又，
所以，
所以在区间内至少有6个零点.
故答案为：6
个零点

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）详见解析；（2）2
【解析】（1）根据题意作于，连结，可证得，于是，故，然后根据线面垂直的判定得到平面，于是可得所证结论成立．（2）由（1）及平面平面可得平面，故为四棱锥的高．又由题意可证得四边形为有一个角为的边长为的菱形，求得四边形的面积后可得所求体积
【详解】（1）作于，连结.

∵，，是公共边，
∴，
∴
∵，
∴，
又平面，平面，，
∴平面，
又平面，
∴
（另法：证明,取的中点.）
（2）∵平面平面，平面平面，，
∴平面
又为等边三角形，，
∴.
又由题意得，，是公共边，
∴，
∴，
∴平行四边形为有一个角为的边长为的菱形，
∴，
∴四棱锥的体积
【点睛】（1）证明空间中的垂直关系时，要注意三种垂直关系间的转化，合理运用三种垂直关系进行求解，以达到求解的目的，同时在证题中要注意平面几何知识的运用
（2）立体几何中的计算问题中往往涉及到证明，同时在证明中渗透着计算，计算时要注意中间量的求解，最后再结合面积、体积公式得到所求
18、（1）；（2）
【解析】（1）由频率表示概率即可求出；
（2）先分别求出从甲、乙两种品牌随机抽取一个，首次出现故障发生在保修期的第3年的概率，即可求出恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年的概率.
【详解】解：（1）在图表中，甲品牌的个样本中，
首次出现故障发生在保修期内的概率为：，
设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，
其首次出现故障发生在保修期内为事件，
利用频率估计概率，得，
即从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，
其首次出现故障发生在保修期内的概率为：；
（2）设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，
其首次出现故障发生在保修期的第3年为事件，
从该商城销售的乙品牌固态硬盘中随机抽取一个，
其首次出现故障发生在保修期的第3年为事件，
利用频率估计概率，得：，
则

,
某人在该商城同时购买了甲、乙两种品牌的固态硬盘各一个，恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年的概率为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用频率表示概率.
19、（1）；（2）
【解析】分析：（1）先由AD与AB垂直，求得AD的斜率，再由点斜式求得其直线方程；
（2）根据矩形特点可以设DC的直线方程为，然后由点到直线的距离得出，就可以求出m的值，即可求出结果.
详解：(1)由题意：ABCD为矩形，则AB⊥AD，
又AB边所在的直线方程为：x－3y－6＝0，
所以AD所在直线的斜率kAD＝－3，
而点T(－1，1)在直线AD上
所以AD边所在直线的方程为：3x＋y＋2＝0.
(2)方法一：由ABCD为矩形可得，AB∥DC，
所以设直线CD的方程为x－3y＋m＝0.
由矩形性质可知点M到AB、CD的距离相等
所以＝,解得m＝2或m＝－6(舍)
所以DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.
方法二：方程x－3y－6＝0与方程3x＋y＋2＝0联立得A（0，-2），关于M的对称点C（4，2）
因AB∥DC，所以DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.
点睛：本题主要考查直线方程的求法，在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况
20、（1），；，
（2）
【解析】（1）化简得，根据对称轴可得的值，进而根据正弦函数的性质可得最值；
（2）根据正弦函数的性质可得在上的单调递增区间
【小问1详解】
由已知

又是函数图象的一条对称轴，
所以，得，
，
即，
，此时，即，
，此时，即，
【小问2详解】
，则，
当时，即时，单调递增，
在上的单调递增区间为.
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据函数的对称性可得出，再由均值不等式求解即可；
（2）根据零点的分布列出不等式组求解即可.
【小问1详解】
因为满足，
所以
化简得
因为对任意恒成立，
所以，即
，当且仅当时，等号成立
所以当时，取得最小值为
【小问2详解】
由（1）知．对称轴方程为，
因为在上有两个不同的零点，
所以
解得
所以ab的取值范围是