2026届福建省厦门市第二中学数学高一第一学期期末经典试题含解析.doc

2026届福建省厦门市第二中学数学高一第一学期期末经典试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．方程的所有实数根组成的集合为（　　）
A. B.
C. D.
2．已知直线和互相平行，则实数等于（ ）
A.或3 B.
C. D.1或
3．函数的单调递增区间为（）
A.， B.，
C.， D.，
4．已知，，且，，则的值是
A. B.
C. D.
5．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴为
A. B.
C. D.
6．设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么( 　)
A.M＝N B.N⊆M
C.M⊆N D.M∩N＝∅
7．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取值范围
A. B.
C. D.
8．已知向量，，则
A. B.
C. D.
9．为了得到函数的图象，只需将函数的图象
A.向左平行移动个单位 B.向左平行移动个单位
C.向右平行移动个单位 D.向右平行移动个单位
10．如图所示，在中，．若，，则（）

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知正数a，b满足，则的最小值为______
12．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是_________.
13．已知函数，若，则___________.
14．已知，用mn表示为___________.
15．已知函数定义域是________（结果用集合表示）
16．函数的最小值为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
18．化简与计算
（1）；
（2）.
19．已知数列的前n项和为
（1）求；
（2）若，求数列的前项的和
20．新冠病毒怕什么？怕我们身体的抵抗力和免疫力！适当锻炼，合理休息，能够提高我们身体的免疫力，抵抗各种病毒．某小区为了调查居民的锻炼身体情况，从该小区随机抽取了100为居民，记录了他们某天的平均锻炼时间，其频率分别直方图如下：

（1）求图中的值和平均锻炼时间超过40分钟的人数；
（2）估计这100位居民锻炼时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）和中位数
21．已知向量为不共线向量，若向量与共线求k的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】首先求出方程的解，再根据集合的表示方法判断即可；
【详解】解：由，解得或，所以方程的所有实数根组成的集合为；
故选：C
2、A
【解析】由两直线平行，得到，求出，再验证，即可得出结果.
详解】∵两条直线和互相平行，
∴，解得或，
若，则与平行，满足题意；
若，则与平行，满足题意；
故选：A
3、C
【解析】利用正切函数的性质求解.
【详解】解：令，
解得，
所以函数的单调递增区间为，，
故选：C
4、B
【解析】由，得，所以，
，得，
，
所以，从而有，

.
故选：B
5、C
【解析】，
所以，所以，所以是一条对称轴
故选C
6、C
【解析】变形表达式为相同的形式，比较可得
【详解】由题意可
即为的奇数倍构成的集合，
又，即为的整数倍构成的集合，，
故选C
【点睛】本题考查集合的包含关系的判定，变形为同样的形式比较是解决问题的关键，属基础题
7、D
【解析】画出函数的图象如下图所示．由题意知，当时，；当时，

设，则原方程化为，
∵方程有8个相异实根，
∴关于的方程在上有两个不等实根
令，
则，解得
∴实数的取值范围为．选D
点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识
8、A
【解析】因为，故选A.
9、B
【解析】由函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论
【详解】∵将函数y＝sin（2x）的图象向左平行移动个单位得到sin[2（x）]=，
∴要得到函数y＝sin2x的图象，只需将函数y＝sin（2x）的图象向左平行移动个单位
故选B
【点睛】本题主要考查了函数y＝Asin（ωx+φ）图象变换规律的简单应用，属于基础题
10、C
【解析】根据．且，，利用平面向量的加法,减法和数乘运算求解.
【详解】因为．且，，
所以，

，
，
.
故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##
【解析】右边化简可得，利用基本不等式，计算化简即可求得结果.
【详解】，
故,则，当且仅当时，等号成立
故答案为：
12、 (0,1)
【解析】将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到m的范围
【详解】令g（x）＝f（x）﹣m＝0，
得m＝f（x）
作出y＝f（x）与y＝m的图象，
要使函数g（x）＝f（x）﹣m有3个零点，
则y＝f（x）与y＝m的图象有3个不同的交点，
所以0＜m＜1，
故答案为（0，1）

【点睛】本题考查等价转化的能力、利用数形结合思想解题的思想方法是重点，要重视
13、0
【解析】由，即可求出结果.
【详解】由知
，则，又因为，所以.
故答案：0.
14、
【解析】结合换底公式以及对数的运算法则即可求出结果.
详解】，
故答案为：.
15、
【解析】根据对数函数的真数大于0求解即可.
【详解】函数有意义，
则，解得，
所以函数的定义域为，
故答案为：
16、
【解析】原函数化为，令，将函数转化为，利用二次函数的性质求解.
【详解】由原函数可化为，
因为，
令，
则，，
又因为，
所以，
当时，即时，
有最小值.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）400吨；
（2）不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
【解析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.
（2）根据获利，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度.
【小问1详解】
由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；
当且仅当，即时等号成立，
故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.
【小问2详解】
不获利，设该单位每个月获利为S元，则，
因为，则，
故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
18、（1）
（2）5
【解析】（1）根据指数的运算性质计算即可；
（2）根据对数的运算法则计算即可.
【小问1详解】
原式=.
【小问2详解】
原式.
19、（1）；2）.
【解析】（1）由条件求得数列是等差数列，由首项和公差求得.
（2）由（1）求得通项，代入求得，分组求和求得.
【详解】解：（1）因为，
所以是公差为2，首项为2的等差数列
所以
（2）由（1）可知，
因为，所以，
所以
20、（1），平均锻炼时间超过40分钟的人数为18人
（2）100位居民锻炼时间的平均数为分钟，中位数约为分钟
【解析】（1）由频率和为1，列方程求解出的值，由频率分布直方图求出平均锻炼时间超过40分钟的频率，再由频率乘以100可得结果，
（2）利用平均数定义直接求解，由频率分直方图判断出中位数在30-40分钟这一组，然后列方程求解即可
【小问1详解】
由频率分布直方图可知，
解得，
由频率分布直方图求出平均锻炼时间超过40分钟的频率为，
所以平均锻炼时间超过40分钟的人数为人，
【小问2详解】
这100位居民锻炼时间的平均数为
（分钟），
因为，，
所以中位数在锻炼时间为30-40分钟这一组，设中位数为，则
，解得（分钟）
21、或
【解析】由与共线存在实数使,再根据平面向量的基本定理构造一个关于的方程，解方程即可得到k的值.
【详解】
，

或
【点睛】本题主要考查的是平面向量的基本定理，与共线存在实数使是判定两个向量共线最常用的方法，是基础题.