内蒙古乌兰察布市集宁区北京八中乌兰察布分校2025-2026学年高一上数学期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

内蒙古乌兰察布市集宁区北京八中乌兰察布分校2025-2026学年高一上数学期末学业质量监测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
A. B.
C. D.
2．下列各式正确是
A. B.
C. D.
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知定义域为的函数满足：，且，当时，，则等于（）
A B.
C.2 D.4
5．设集合，则是
A. B.
C. D.有限集
6．下列等式中，正确的是（）
A. B.
C. D.
7．已知，求的值（）
A. B.
C. D.
8．设若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
9．已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（ ）
A. B.[-1，2）
C.（0，2） D.
10．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）

①；②；③；④
A.①② B.①④
C.②③ D.③④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边上一点的坐标为，则的值为__________
12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦矢+）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长等于9m的弧田.按照上述经验公式计算所得弧田的面积是________.

13．已知平面向量，的夹角为，，则 =______
14．函数的值域为，则实数a的取值范围是______
15．已知定义在上的偶函数在上递减，且，则不等式的解集为__________
16．计算 _______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为.
（1）若，，求扇形的弧长；
（2）若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值.
18．已知集合，.
（1）若，求实数t的取值范围；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数t的取值范围
19．已知二次函数的图象经过，且不等式对一切实数都成立
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围
20．已知定理：“若、为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”.设函数，定义域为.
（1）试求的图象对称中心，并用上述定理证明；
（2）对于给定的，设计构造过程：、、、.如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止.若对任意，构造过程可以无限进行下去，求的取值范围.
21．某学校有1200名学生，随机抽出300名进行调查研究，调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全相同的10个红球，10个绿球和10个白球的袋子.调查中有两个问题：
问题1：你的阳历生日月份是不是奇数？
问题2：你是否抽烟？
每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出后再放回袋中）.若摸到红球就如实回答第一个问题，若摸到绿球，则不回答任何问题；若摸到白球，则如实回答第二个问题.所有回答“是”的调查者只需往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的被调查者什么也不用做.最后收集回来53个小石子，估计该学校吸烟的人数有多少？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可
【详解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确
y＝sin（2x）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；
y＝sin2x+cos2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；
y＝sinx+cosxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；
故选A
考点：三角函数的性质.
2、D
【解析】对于，，，故，故错误；
根据对数函数的单调性，可知错误
故选
3、B
【解析】根据函数零点存在性定理判断即可
【详解】，，，故零点所在区间为
故选：B
4、A
【解析】根据函数的周期性以及奇偶性，结合已知函数解析式，代值计算即可.
【详解】因为函数满足：，且，
故是上周期为的偶函数，故，
又当时，，则，
故.
故选：A.
5、C
【解析】根据二次函数和指数函数的图象和性质，分别求出两集合中函数的值域，求出两集合的交集即可
【详解】由集合S中的函数y＝3x＞0，得到集合S＝{y|y＞0}；
由集合T中的函数y＝x2﹣1≥﹣1，得到集合T＝{y|y≥﹣1}，则S∩T＝S
故选C
【点睛】本题属于求函数值域，考查了交集的求法，属于基础题
6、D
【解析】按照指数对数的运算性质依次判断4个选项即可.
【详解】对于A，当为奇数时，，当为偶数时，，错误；
对于B，，错误；
对于C，，错误；
对于D，，正确.
故选：D.
7、A
【解析】利用同角三角函数的基本关系，即可得到答案；
【详解】，
故选：A
8、A
【解析】将分别与比较大小，即可判断得三者的大小关系.
【详解】因为，，，所以可得的大小关系为.
故选：A
9、B
【解析】先求出函数的值域，而的值域为，进而得，由此可求出的取值范围.
【详解】解：因为函数的值域为，而的值域为，
所以，解得，
故选：B
【点睛】此题考查由分段函数的值域求参数的取值范围，分段函数的值域等于各段上的函数的值域的并集是解此题的关键，属于基础题.
10、D
【解析】对每个函【解析】判断奇偶性及单调性即可.
【详解】对于①，，奇函数，在和上分别单增，不满足条件；
对于②，，偶函数，不满足条件；
对于③，，奇函数，在R上单增，符合题意；
对于④，，奇函数，在R上单增，符合题意；
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##0.5
【解析】利用余弦函数的定义即得.
【详解】∵角的终边上一点的坐标为，
∴.
故答案为：.
12、.
【解析】如下图所示，在中，求出半径，即可求出结论.
【详解】设弧田的圆心为，弦为，为中点，连交弧为，
则，所以矢长为，在中，，
，所以，
，
所以弧田的面积为.
故答案为：.

【点睛】本题以数学文化为背景，考查直角三角形的边角关系，认真审题是解题的关键，属于基础题.
13、
【解析】=代入各量进行求解即可.
【详解】=,故答案.
【点睛】本题考查了向量模的求解，可以通过先平方再开方即可，属于基础题.
14、
【解析】分，，三类，根据一次函数和二次函数的性质可解.
【详解】当时，，易知此时函数的值域为；
当时，二次函数图象开口向下，显然不满足题意；
当时，∵函数的值域为，
∴，解得或，
综上，实数a的取值范围是，
故答案为：.
15、
【解析】因为，而为偶函数，故，故原不等式等价于，也就是，所以即，填
点睛：对于偶函数，有．解题时注意利用这个性质把未知区间的性质问题转化为已知区间上的性质问题去处理
16、
【解析】利用指数的运算法则求解即可.
【详解】原式.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了指数的运算法则.属于容易题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）当时，扇形面积最大值.
【解析】（1）利用扇形弧长公式直接求解即可；
（2）根据扇形周长可得，代入扇形面积公式，由二次函数最值可确定结果.
【小问1详解】
，扇形的弧长；
【小问2详解】
扇形的周长，，
扇形面积，
则当，，
即当时，扇形面积最大值.
18、（1）
（2）
【解析】（1）首先求出集合，再对与两种情况讨论，分别得到不等式，解得即可
（2）依题意可得集合Ü，分与两种情况讨论，分别到不等式，解得即可；
【小问1详解】
解：由得解，所以，又
若，分类讨论：
当，即解得，满足题意；
当，即，解得时，
若满足，则必有或；
解得.
综上，若，则实数t的取值范围为.
【小问2详解】
解：由“”是“”的必要不充分条件，则集合Ü，
若，即，解得，
若，即，即，则必有，解得，
综上可得,，
综上所述，当“”是“”的必要不充分条件时，即为所求
19、（1）；（2）.
【解析】（1）观察不等式，令，得到成立，即，以及，
再根据不等式对一切实数都成立，列式求函数的解析式；（2）法一，不等式转化为对恒成立，利用函数与不等式的关系，得到的取值范围，法二，代入后利用平方关系得到，恒成立，再根据参变分离，转化为最值问题求参数的取值范围.
【详解】（1）由题意得：①，
因为不等式对一切实数都成立，
令，得：，所以，即②
由①②解得：，且，
所以，
由题意得：且对恒成立，
即对恒成立，
对③而言，由且，
得到，所以，经检验满足，
故函数的解析式为
（Ⅱ）法一：二次函数法，由题意，对恒成立，
可转化为，对恒成立，
整理为对恒成立，
令，
则有，即，
解得，
所以的取值范围为
法二，利用乘积的符号法则和恒成立命题求解，
由①得到，，对恒成立，
可转化为对恒成立，
得到对恒成立，平方差公式展开整理，
即
即或对恒成立，
即或
即，或，
即或，所以的取值范围为
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，不等式恒成立求参数的取值范围，重点考查函数，不等式与方程的关系，转化与变形，计算能力，属于中档题型.
20、（1），证明见解析；（2）.
【解析】（1）计算出的值，由此可得出结论；
（2）分、、三种情况讨论，求出函数的值域，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围.
【详解】（1），
由已知定理得，的图象关于点成中心对称；
（2），
当时，若，由基本不等式可得，
若，由基本不等式可得.
此时，函数的值域为，
当时，的值域为，
当时，的值域为，
因为构造过程可以无限进行下去，对任意恒成立
或，由此得到.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义问题，解本题的关键在于对实数的取值进行分类讨论，求出函数的值域，根据题意得出所满足的不等式组求解.
21、36
【解析】由题意可知，每个学生从口袋中摸出1个红球，绿球，白球的概率都是，从而可得回答各个问题以及不回答问题的人数，进而可得回答第一个问题是“是”的人数，根据石子数得出100人中抽烟的人数，从而估计出该学校吸烟的人数.
【详解】由题意可知，每个学生从口袋中摸出1个红球，绿球，白球的概率都是.
即我们期望大约有人回答了第一个问题，
人不回答任何问题，
人回答了第二个问题.
在回答阳历生日月份是奇数的概率是.
因而回答第一个问题的100人中，大约有50人回答了“是”.
所以我们能推出，在回答第二个问题的100人中，大约有3人回答了“是”.
即估计该学校大约有3%的学生抽烟，也就是全校大约有36人抽烟.
【点睛】本题考查了概率的应用，解题的关键是理解题干各个量之间的关系，属于基础题.