2025年山东省济南市市中区山东省实验中学高一上数学期末监测模拟试题含解析.doc

2025年山东省济南市市中区山东省实验中学高一上数学期末监测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的零点所在区间为（ ）
A.（0，） B.（，）
C.（，1） D.（1，2）
2．函数y=log2的定义域
A.（，3） B.（，+∞）
C.（，3） D.[，3]
3．已知，，都是实数，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）
A.向左平移个单位长度得到 B.向右平移个单位长度得到
C.向左平移个单位长度得到 D.向右平移个单位长度得到
5．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的表面积为（）

A. B.
C. D.
6．“”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知直线的斜率为1，则直线的倾斜角为
A. B.
C. D.
8．已知函数，则函数的零点个数是　　
A.1 B.2
C.3 D.4
9．角的终边过点，则等于
A. B.
C. D.
10．已知集合，下列选项正确的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设集合，，则______
12．已知函数是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上递减，则实数m＝________
13．某超市对6个时间段内使用两种移动支付方式的次数用茎叶图作了统计，如图所示，使用支付方式的次数的极差为_____若使用支付方式的次数的中位数为17，则_______.
支付方式A

支付方式B
4 2
0
6 7
1 0
5 3
1
2
6 m 9
1

14．已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是_______.
15．已知，，则的值为__________
16．函数的单调递增区间为________________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知集合，B=[3，6].
（1）若a = 0，求；
（2）xÎB是xÎA的充分条件，求实数a的取值范围.
18．已知圆，直线.
（1）若直线与圆交于不同的两点,当时，求的值.
（2）若是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点；
（3）若为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值.
19．已知向量，，若存在非零实数，使得，，且，试求：的最小值
20．设函数.
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）求的单调递增区间.
21．2021年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分），从该市参加测试的数学老师中抽取了100名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组[65，70），第二组[70，75），第三组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到如图所示的频率分布直方图

（1）求a的值以及这100人中测试成绩在[80，85）的人数；
（2）估计全市老师测试成绩的平均数（同组中的每个数据都用该组区间中点值代替）和第50%分数位（保留两位小数）；
（3）若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，并在这6人中再抽取2人担当分享交流活动的主持人，求第四组至少有1名老师被抽到的概率
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析结合函数的单调性以及零点的存在性定理求得正确答案.
【详解】在上递减，所以，
在上递增，所以，
是定义在上的减函数，
,所以函数的零点在区间.
故选：B
2、A
【解析】由真数大于0，求解对分式不等式得答案；
【详解】函数y=log2的定义域需满足
故选A.
【点睛】】本题考查函数的定义域及其求法，考查分式不等式的解法，是中档题
3、B
【解析】利用充分、必要条件的定义，结合不等式的性质判断题设条件间的推出关系，即可知条件间的充分、必要关系.
【详解】当时，若时不成立；
当时，则必有成立，
∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4、A
【解析】先利用辅助角公式将函数变形，然后利用图象的平移变换分析求解即可
【详解】解：函数，
将函数图象向左平移个单位可得的图象
故选：
5、D
【解析】由三视图可知，该正三棱柱的底面是边长为2cm的正三角形，高为2cm，根据面积公式计算可得结果.
【详解】正三棱柱如图，

有，，
三棱柱的表面积为.
故选：D
【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，考查了正三棱柱结构特征，属于基础题.
6、D
【解析】利用充分条件，必要条件的定义判断即得.
【详解】由，可得，
所以是的充要条件；
所以是既不充分也不必要条件；
所以是的必要不充分条件；
所以是的充分不必要条件.
故选：D.

7、A
【解析】设直线的倾斜角为，则
由直线的斜率，则
故
故选
8、A
【解析】设，则函数等价为，由，转化为，利用数形结合或者分段函数进行求解，即可得到答案
【详解】由题意，如图所示，设，则函数等价为，
由，得，
若，则，即，不满足条件
若，则，则，满足条件，
当时，令，解得（舍去）；
当时，令，解得，即是函数的零点，
所以函数的零点个数只有1个，
故选A

【点睛】本题主要考查了函数零点问题的应用，其中解答中利用换元法结合分段函数的表达式以及数形结合是解决本题的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
9、B
【解析】由三角函数的定义知，x＝－1，y＝2，r＝＝，∴sinα＝＝.
10、B
【解析】由已知集合，判断选项中的集合或元素与集合A的关系即可.
【详解】由题设，且，
所以B正确，A、C、D错误.
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】联立方程组，求出交点坐标，即可得到答案
【详解】解方程组，得或.
故答案为：
12、2
【解析】由幂函数的定义可得m2－m－1＝1，得出m＝2或m＝－1，代入验证即可.
【详解】是幂函数，
根据幂函数的定义和性质，得m2－m－1＝1
解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f（x）＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；
当m＝－1时，f（x）＝x0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，
所以m＝2
故答案为：2
【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查了理解辨析能力和计算能力，属于基础题目.
13、 ①.； ②.
【解析】根据极差，中位数的定义即可计算.
【详解】解：由茎叶图可知：使用支付方式的次数的极差为：；
使用支付方式的次数的中位数为17，
易知：，

解得：.
故答案为：；.
14、（0，1]
【解析】先作出函数f（x）图象，根据函数有3个零点，得到函数f（x）的图象与直线y＝a有三个交点，结合图象即可得出结果
【详解】由题意，作出函数的图象如下：
因为函数有3个零点，
所以关于x的方程f（x）﹣a＝0有三个不等实根；
即函数f（x）的图象与直线y＝a有三个交点，
由图象可得：0＜a≤1
故答案为：（0，1]

【点睛】本题主要考查函数的零点，灵活运用数形结合的思想是求解的关键
15、
【解析】根据两角和的正弦公式即可求解.
【详解】由题意可知，因为，所以，
所以，
则

故答案为：.
16、
【解析】函数由，复合而成，求出函数的定义域，根据复合函数的单调性即可得结果.
【详解】函数由，复合而成，单调递减
令，解得或，即函数的定义域为，
由二次函数的性质知在是减函数，在上是增函数，
由复合函数的单调性判断知函数的单调递增区间，
故答案为.
【点睛】本题考查用复合函数的单调性求单调区间，此题外层是一对数函数，故要先解出函数的定义域，在定义域上研究函数的单调区间，这是本题易失分点，切记！

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）先化简集合A，再去求；
（2）结合函数的图象，可以简单快捷地得到关于实数a的不等式组，即可求得实数a的取值范围.
【小问1详解】
当时，，又，
故
【小问2详解】
由是的充分条件，得，
即任意，有成立
函数的图象是开口向上的抛物线，
故，解得，所以a的取值范围为
18、（1）；（2）直线过定点；（3）
【解析】（1）利用点到直线的距离公式，结合点到的距离，可求的值；
（2）由题意可知：、、、四点共圆且在以为直径的圆上，、在圆上可得直线，的方程，即可求得直线是否过定点；
（3）设圆心到直线、的距离分别为，．则，表示出四边形的面积，利用基本不等式，可求四边形的面积最大值
【详解】解：（1），点到的距离
，

（2）由题意可知：、、、四点共圆且在以为直径的圆上，
设，其方程为：，
即，
又、在圆上
，
即
由，得，
直线过定点）
（3）设圆心到直线、的距离分别为，
则
，

当且仅当即时，取“”
四边形的面积的最大值为
19、
【解析】根据向量数量积的坐标公式和性质，分别求出，且，由此将化简整理得到．将此代入，可得关于的二次函数，根据二次函数的单调性即可得到的最小值
【详解】解：，，
，，且
，，且，
，即，即，即，将、和代入上式，可得
，整理得，因为，为非零实数，所以且，

由此可得，当时，的最小值等于
20、（1）最小正周期，最大值为；（2）.
【解析】把化简为，
（1）直接写出最小正周期和最大值；
（2）利用正弦函数的单调性直接求出单调递增区间.
【详解】

（1）的最小正周期;最大值为；
（2）要求的单调递增区间，只需，
解得：，
即的单调递增区间为.
21、（1）;20；
（2）分,76.67分
（3）
【解析】（1）根据频率之和为1，可求得a的值，根据频数的计算可求得测试成绩在[80，85）的人数；
（2）根据频率分布直方图可计算中位数，即可求得第50%分数位；
（3）列举出所有可能的抽法，再列出第四组至少有1名老师被抽到可能情况，根据古典概型的概率公式求得答案.
【小问1详解】
由题意得：，解得；
这100人中测试成绩在[80，85）的人数为 （人）；
【小问2详解】
平均数为：
（分），
设中位数为m,且，则，
解得，故第50%分数位76.67分；
【小问3详解】
第三组频率为，第四组频率为，
第五组频率为，
故从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，
三组人数为3人，2人和1人，
记第三组抽取人为 , 第四组抽取的人为 , 第五组抽取的人为 ,
则抽取2人的所有情况如下：
共15种，
其中第四组至少有1名老师被抽到的抽法有
共9种，
故第四组至少有1名老师被抽到的概率为 .