2025-2026学年浙江省杭州第十四中学高一上数学期末调研模拟试题含解析.doc

2025-2026学年浙江省杭州第十四中学高一上数学期末调研模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．方程的所有实数根组成的集合为（　　）
A. B.
C. D.
2．集合的真子集的个数是（）
A. B.

C. D.
3．已知，则的大小关系为（）
A B.
C. D.
4．已知函数的部分图象如图所示，下列说法错误的是（）

A.
B.f（x）的图象关于直线对称
C.f（x）在[－，－]上单调递减
D.该图象向右平移个单位可得的图象
5．函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
6．若方程有两个不相等的实数根，则实根的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7．设实数t满足，则有（ ）
A. B.
C. D.
8．已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是

A. B.
C. D.
9．直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（　　）
A. B.
C. D.
10．直线的斜率为，在y轴上的截距为b，则有（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知一个圆锥的母线长为1，其高与母线的夹角为45°，则该圆锥的体积为____________.
12．已知函数，若，则______.
13．如果在实数运算中定义新运算“”：当时，；当时，．那么函数的零点个数为______
14．在平面直角坐标系xOy中，设角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.那么___________，=___________.
15．写出一个在区间上单调递增幂函数：______
16．已知圆心为，且被直线截得的弦长为，则圆的方程为__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某种树木栽种时高度为A米为常数，记栽种x年后的高度为，经研究发现，近似地满足，其中，a，b为常数，，已知，栽种三年后该树木的高度为栽种时高度的3倍
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求栽种多少年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍参考数据：，
18．已知定义域为函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并证明；
（3）若，求实数的取值范围.
19．求值：（1）
（2）2log310＋log30.81
20．如图，平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，正方形ADEF，且面ADEF⊥面ABCD．

（1）求证：BD⊥平面ECD；
（2）求D点到面CEB的距离．
21．有一批材料,可以建成长为240米的围墙.如图,如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地,中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形,怎样围法才可取得最大的面积?并求此面积.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】首先求出方程的解，再根据集合的表示方法判断即可；
【详解】解：由，解得或，所以方程的所有实数根组成的集合为；
故选：C
2、B
【解析】确定集合的元素个数，利用集合真子集个数公式可求得结果.
【详解】集合的元素个数为，故集合的真子集个数为.
故选：B.
3、B
【解析】观察题中，不妨先构造函数比较大小，再利用中间量“1”比较与大小即可得出答案.
【详解】由题意得，，
由函数在上是增函数可得，
由对数性质可知，，
所以，
故选:B
4、C
【解析】先根据图像求出即可判断A，利用正弦函数的对称轴及单调性即可判断BC，通过平移变换即可判断D.
【详解】根据函数的部分图象，可得所以，故A正确；
利用五点法作图，可得，可得，所以，令x，求得，为最小值，故函数的图象
关于直线对称，故B正确：当时，，函数f（x）没有单调性，故C错误；把f（x）的图象向右平移个单位
可得的图象，故D正确
故选：C.
5、C
【解析】分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.
6、B
【解析】方程有两个不相等的实数根，转化为有两个不等根，根据图像得到只需要
故答案为B．
7、B
【解析】由，得到求解.
【详解】解因为，
所以，
所以，，
则，
故选：B
8、B
【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，
原高为
而横向长度不变，且梯形是直角梯形，

故选
9、B
【解析】时，直线分别化为：，此时两条直线不垂直.时，利用两条直线垂直可得：，解得.联立方程解出即可得出.
【详解】时，直线分别化为：，此时两条直线不垂直.
时，由两条直线垂直可得：，解得.
综上可得：.
联立，解得，.∴这两条直线的交点坐标为.
故选：
【点睛】本题考查了直线相互垂直、分类讨论方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
10、A
【解析】将直线方程化为斜截式，由此求得正确答案.
【详解】，所以.
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##
【解析】由题可得，然后利用圆锥的体积公式即得.
【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h,由圆锥的母线长为1，其高与母线的夹角为45°，

∴，
∴该圆锥的体积为.
故答案为：.
12、16或-2
【解析】讨论和两种情况讨论，解方程，求的值.
【详解】当时，，成立，
当时，，成立，
所以或.
故答案为：或
13、
【解析】化简函数的解析式，解方程，即可得解.
【详解】当时，即当时，由，可得；
当时，即当时，由，可得（舍）.
综上所述，函数的零点个数为.
故答案为：.
14、 ①.##0.75 ②.##-0.6
【解析】利用三角函数的定义和诱导公式求出结果
【详解】由三角函数的定义及已知可得：
，
所以
又
故答案为：，
15、x（答案不唯一）
【解析】由幂函数的性质求解即可
【详解】因为幂函数在区间上单调递增，
所以幂函数可以是，
故答案为：（答案不唯一）
16、
【解析】由题意可得弦心距d=，故半径r=5，
故圆C的方程为x2+（y+2）2=25，
故答案为x2+（y+2）2=25

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ），；（Ⅱ）5年.
【解析】Ⅰ由及联立解方程组可得；
Ⅱ解不等式，利用对数知识可得
【详解】Ⅰ，，  ，
又，即，，
联立解得，，
Ⅱ由Ⅰ得，由得，，

故栽种5年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍
【点睛】本题考查了函数解析式的求解及对数的运算，考查了函数的实际应用问题，属于中档题
18、（1）
（2）增函数，证明见解析
（3）或
【解析】（1）由求出，再验证此时为奇函数即可；
（2）将的解析式分离常数后可判断出单调性,再利用增函数的定义可证结论成立；
（3）利用奇函数性质化为，再利用增函数性质可求出结果.
【小问1详解】
因为是上的奇函数，所以，即，
此时，，所以为奇函数，
故.
【小问2详解】
由（1）知，为上的增函数，
证明：任取，且，
则，
因为，所以，即，又，
所以，即，
根据增函数的定义可得为上的增函数.
【小问3详解】
由得，
因为为奇函数，所以，
因为为增函数，所以，即，
所以或.
19、（1）（2）4
【解析】（1）利用分数指数幂的性质运算即可;(2)利用对数的运算性质计算可得结果.
试题解析：
(1)，
(2)2log310＋log30.81=
20、（1）见解析；（2）点到平面的距离为
【解析】（1）根据题意选择，只需证明，根据线面垂直的判定定理，即可证明平面；（2）把点到面的距离，转化为三棱锥的高，利用等体积法，即可求解高
试题解析：（1）证明：∵四边形为正方形∴
又∵平面平面，
平面平面=，
∴平面
∴
又∵,∴平面
（2）解：，，， 又∵ 矩形中，DE=1
∴，，
∴过B做CE的垂线交CE与M，CM= ∴
的面积等于
由得（1）平面∴点到平面的距离
∴
∴ ∴
即点到平面的距离为.
考点：直线与平面垂直的判定与证明；三棱锥的体积的应用．
21、当面积相等的小矩形的长为时，矩形面积最大，
【解析】设每个小矩形的长为，宽为，依题意可知，代入矩形的面积公式，根据基本不等式即可求得矩形面积的最大值.
【详解】设每个小矩形的长为，宽为，依题意可知，

，
当且仅当取等号，
所以时，.
【点睛】本题主要考查函数最值的应用，考查了学生分析问题和解决问题的能力.