济南市重点中学2025-2026学年数学高一上期末监测模拟试题含解析.doc

济南市重点中学2025-2026学年数学高一上期末监测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，，则
A. B.
C. D.
2．已知函数的部分函数值如下表所示：
x
1
0.5
0.75
0.625
0.5625

0.6321
－0.1065
0.2776
0.0897
－0.007
那么函数的一个零点的近似值（精确度为0.01）为（）
A.0.55 B.0.57
C.0.65 D.0.7
3．已知向量，，且，则
A. B.
C. D.
4．在中，，．若边上一点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
5．已知角的终边经过点则
A. B.
C.-2 D.
6．已知,则（　　）
A. B.
C. D.
7．方程的解所在的区间为（）
A. B.
C. D.
8．集合，，则（）
A. B.
C. D.
9．已知点是角终边上一点，则（ ）
A. B.
C. D.
10．已知正方体，则异面直线与所成的角的余弦值为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．二次函数的部分对应值如下表：

3
4

21
12
5
0
5
则关于x不等式的解集为__________
12．有一批材料可以建成360m长的图墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形如图所示，则围成场地的最大面积为______围墙厚度不计

13．已知扇形的弧长为，半径为1，则扇形的面积为___________.
14．______________.
15．写出一个同时具有下列性质①②的函数______.（注：不是常数函数）
①；②.
16．函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的自均值数”.
（1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：
（2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；
（3）若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.
18．已知函数
（1）求函数的对称中心和单调递减区间；
（2）若将函数的图象上每一点向右平移个单位得到函数的图象，求函数在区间上的值域
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且AD=2PD=2

（1）求证：MN∥平面PCD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（3）求四棱锥P-ABCD的体积
20．已知函数
（1）若成立，求x的取值范围；
（2）若定义在R上奇函数满足，且当时，，求在的解析式，并写出在的单调区间（不必证明）
（3）对于（2）中的，若关于x的不等式在R上恒成立，求实数t的取值范围
21．已知.
(1)求的值
(2)求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由已知可得，故选C
考点：集合的基本运算
2、B
【解析】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答.
【详解】函数在R上单调递增，
由数表知：，
由零点存在性定义知，函数的零点在区间内
所以函数的一个零点的近似值为.
故选：B
3、D
【解析】分析：直接利用向量垂直的坐标表示得到m的方程，即得m的值.
详解：∵，∴，故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该这些基础知识的掌握水平.(2) 设=,=，则
4、A
【解析】根据向量的线性运算法则，结合题意，即可求解.
【详解】由中，，且边上一点满足，如图所示，
根据向量的线性运算法则，可得：
.
故选：A.

5、B
【解析】按三角函数的定义，有.
6、B
【解析】利用诱导公式，化简条件及结论，再利用二倍角公式，即可求得结论
【详解】解：∵sin，∴sin，

∵sinsincos（2α）＝1﹣2sin21
故选B
【点睛】本题考查三角函数的化简，考查诱导公式、二倍角公式的运用，属于基础题
7、C
【解析】将方程转化为函数的零点问题，根据函数单调性判断零点所处区间即可.
【详解】函数在上单增，
由，知，
函数的根处在里，
故选：C
8、B
【解析】解不等式可求得集合，由交集定义可得结果.
【详解】，，
.
故选：B.
9、D
【解析】利用任意角的三角函数的定义可求得的值，进而可得答案.
【详解】因为点是角终边上一点，所以，
所以.
故选：D.
10、A
【解析】将平移到,则异面直线与所成的角等于,连接在根据余弦定理易得
【详解】设正方体边长为1，将平移到,则异面直线与所成的角等于，连接．则，所以为等边三角形，所以
故选A
【点睛】此题考查立体几何正方体异面直线问题，异面直线求夹角，将其中一条直线平移到与另外一条直线相交形成的夹角即为异面直线夹角，属于简单题目

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据所给数据得到二次函数的对称轴，即可得到，再根据函数的单调性，即可得解；
【详解】解：∵，∴对称轴为，
∴，
又∵在上单调递减，在上单调递增，
∴的解集为
故答案为：
12、8100
【解析】设小矩形的高为，把面积用表示出来，再根据二次函数的性质求得最大值
【详解】解：设每个小矩形的高为am，则长为，记面积为
则
当时，
所围矩形面积最大值为
故答案8100
【点睛】本题考查函数的应用，解题关键是寻找一个变量，把面积表示为此变量的函数，再根据函数的知识求得最值．本题属于基础题
13、##
【解析】利用扇形面积公式进行计算.
【详解】即，，由扇形面积公式得：.
故答案为：
14、2
【解析】由对数的运算法则直接求解.
【详解】
故答案为：2
15、
【解析】根据函数值以及函数的周期性进行列举即可
【详解】由知函数的周期是，
则满足条件，
，满足条件，
故答案为：（答案不唯一）
16、
【解析令
∴
即函数的增区间为，
又函数在上为单调递增函数
∴令得：，
即，得到：，又
∴实数的取值范围是
故答案为

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）不是，理由见解析；
（2）；
（3）或.
【解析】(1)假定函数是 “自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答.
(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答.
(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答.
【小问1详解】
假定函数是 “自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有，
即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域，
而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R，
所以函数不 “自均值函数”.
【小问2详解】
依题意，存在，对于，存在，有，即，
当时，的值域是，因此在的值域包含，
当时，而，则，
若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意，
于是得，，要在的值域包含，
则在的最小值小于等于0，又时，递减，且，
从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域，
所以的取值范围是.
【小问3详解】
依题意，存在，对于，存在，有，即，
当时，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值
当时，在单调递增，在的值域是，
由得，解得，此时a的值不唯一，不符合要求，
当时，函数的对称轴为，
当，即时，在单调递增，在的值域是，
由得，解得，要a的值唯一，当且仅当，即，则，
当，即时，，，，，
由且得：，此时a的值不唯一，不符合要求，
由且得，，要a的值唯一，当且仅当，解得，此时；
综上得：或，
所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是或.
【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集.
18、 (1) 对称中心为,单调递减区间为 (2)
【解析】(1)由倍角公式以及辅助角公式化简函数，然后由正弦函数的对称中心以及单调递减区间求出函数的对称中心和单调递减区间；
(2)由函数的图像向右平移个单位得到函数的解析式，再由，得到，求出函数在区间的值域，即可得到函数在区间上的值域
【详解】解（1）

令，得：，
∴的对称中心为，
由，
得：，
∴的单调区间为
（2）由题意：

∵∴
∴
∴的值域为
【点睛】本题主要考查了正弦型函数对称中心、单调性以及在给定区间的值域，属于中档题.
19、（1）见解析 （2）见解析（3）
【解析】（1）先证明平面MEN∥平面PCD，再由面面平行的性质证明MN∥平面PCD；
（2）证明AC⊥平面PBD，即可证明平面PAC⊥平面PBD；
（3）利用锥体的体积公式计算即可
详解】（1）证明：取AD的中点E，连接ME、NE，
∵M、N是PA、BC的中点，
∴在△PAD和正方形ABCD中，ME∥PD，NE∥CD；
又∵ME∩NE=E，PD∩CD=D，
∴平面MEN∥平面PCD，
又MN⊂平面MNE，
∴MN∥平面PCD；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
又∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，
且PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，
∴平面PAC⊥平面PBD；
（3）∵PD⊥底面ABCD，
∴PD是四棱锥P-ABCD的高，且PD=1，
∴正方形ABCD的面积为S=4，
∴四棱锥P-ABCD的体积为
VP-ABCD=×S四边形ABCD×PD=×4×1=
【点睛】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了锥体体积计算问题，是中档题
20、（1）
（2），在和单调递减，在单调递增
（3）
【解析】（1）把题给不等式转化成对数不等式，解之即可；
（2）利用题给条件分别去求和的函数解析式，再综合写成分段函数即可解决；
（3）分类讨论把题给抽象不等式转化成整式不等式即可解决.
【小问1详解】
即
可化为，解之得，不等式解集为
【小问2详解】
设，则，，
故
设，则，

故
在和单调递减，在单调递增；
【小问3详解】
由可知，有对称轴，.
又由上可知在单调递增，在单调递减，
记，
当时，，又由恒成立，
可得，即，解之得
当时， ，又由恒成立，
可得，即，解之得
综上可得实数t的取值范围为
【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.
21、（1） （2）
【解析】（1）由两边平方可得，利用同角关系；
（2）由（1）可知从而.
【详解】（1）∵.
∴，即
，

（2）由（1）知＜0，又
∴
∴
【点睛】本题考查三角函数化简求值，涉及同角三角函数基本关系和整体代入的思想，属于中档题