辽宁省辽阳县集美学校2025年高一上数学期末综合测试试题含解析.doc

辽宁省辽阳县集美学校2025年高一上数学期末综合测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设函数，若，则
A. B.
C. D.
2．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
A. B.

C. D.
3．定义域为R的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则=
A.0 B.
C. D.1
4．等于(　　)
A.2 B.12
C. D.3
5．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）
A.与
B.与
C.与
D.与
6．已知集合，集合，则（ ）
A.{-1，0，1} B.{1，2}
C.{-1，0，1，2} D.{0，1，2}
7．过点A（3，4）且与直线l：x﹣2y﹣1＝0垂直的直线的方程是
A.2x+y﹣10＝0 B.x+2y﹣11＝0
C.x﹣2y+5＝0 D.x﹣2y﹣5＝0
8． “四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9．若函数是定义在上的偶函数，则（）
A.1 B.3
C.5 D.7
10．函数的部分图象如图所示，将其向右平移个单位长度后得到的函数解析式为（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．=________
12．数据的第50百分位数是__________.
13．若函数在区间上是增函数，则实数取值范围是______
14．函数的定义域是__________.
15．若，则___________
16．集合，用列举法可以表示为___
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，四棱锥的底面是菱形，，平面，是的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）棱上是否存在一点，使得平面？若存在，确定的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.
18．已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点为.
(1)当切线的长度为时，求线段PM长度.
(2)若的外接圆为圆，试问：当在直线上运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)求线段长度的最小值

19．已知函数，
1求的值；
2若，，求
20．已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝3，棱BB1＝4，连接B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.

（1）求证A1C⊥平面EBD；
（2）求二面角B1—BE—A1的正切值.
21．已知函数.
（1）若函数在单调递增，求实数的取值范围；
（2），，使在区间上值域为.求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由的函数性质，及对四个选项进行判断
【详解】因为，所以函数为偶函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，又因为，所以，即，故选择A
【点睛】本题考查幂函数的单调性和奇偶性，要求熟记几种类型的幂函数性质
2、A
【解析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可
【详解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确
y＝sin（2x）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；
y＝sin2x+cos2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；
y＝sinx+cosxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；
故选A
考点：三角函数的性质.
3、C
【解析】本题考查学生的推理能力、数形结合思想、函数方程思想、分类讨论等知识

如图，由函数的图象可知，若关于的方程恰有5个不同的实数解，当时，方程只有一根为2；当时，方程有两不等实根（），从而方程，共有四个根，且这四个根关于直线对称分布，故其和为8.从而，，选C
【点评】本题需要学生具备扎实的基本功，难度较大
4、C
【解析】利用对数的运算法则即可得出
【详解】原式=
故选C.
【点睛】本题考查了对数的运算法则，属于基础题
5、B
【解析】根据两个函数的定义域相同且对应关系也相同，逐项判断即可
【详解】由于函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故A错误；
由于的定义域为，函数且定义域为，所以与是同一函数，故B正确；
在函数中，，解得或，所以函数的定义域为，
在函数中，，解得，所以的定义域为，所以与不是同一函数，故C错误；
由于函数的定义域为，函数定义域为为，所以与不是同一函数，故D错误；
故选：B.
6、B
【解析】由交集定义求得结果.
【详解】由交集定义知
故选：B
7、A
【解析】依题意,设所求直线的一般式方程为,把点坐标代入求解,从而求出一般式方程.
【详解】设经过点且垂直于直线的直线的一般式方程为,
把点坐标代入可得:,解得,
所求直线方程为: .
故选:A
【点睛】本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
8、A
【解析】由菱形和平行四边形的定义可判断.
【详解】解：四边形是菱形则四边形是平行四边形，反之，若四边形是平行四边形则四边形不一定是菱形，所以“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”充分不必要条件.
故选：A.
9、C
【解析】先根据偶函数求出a、b的值，得到解析式，代入直接求解.
【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，则，解得.又偶函数不含奇次项，所以，即，所以，所以.
故选：C
10、C
【解析】由函数图象求出、、和的值，写出的解析式，再根据图象平移得出函数解析式
【详解】由函数图象知，，，
解得，所以，
所以函数；
因为，
所以，；
解得，；
又，所以；
所以；
将函数的图象向右平移个单位长度后，得的图象，
即
故选：

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用两角差的正切公式直接求值即可.
【详解】=
故答案为
【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，特殊角的三角函数值，属于基础题.
12、16
【解析】第50百分位数为数据的中位数,即得.
【详解】数据的第50百分位数，即为数据的中位数为.
故答案为：16.
13、
【解析】令，由题设易知在上为增函数，根据二次函数的性质列不等式组求的取值范围.
【详解】由题设，令，而为增函数，
∴要使在上是增函数，即在上为增函数，
∴或，可得或，
∴的取值范围是.
故答案为：
14、{|且}
【解析】根据函数，由求解.
【详解】因为函数，
所以，
解得，
所以函数的定义域是{|且}，
故答案为：{|且}
15、
【解析】只需对分子分母同时除以，将原式转化成关于的表达式，最后利用方程思想求出．再利用二倍角的正切公式，即可求得结论
【详解】解：
，
即，

故答案为：
【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查二倍角的正切公式，正确运用公式是关键，属于基础题
16、##
【解析】根据集合元素属性特征进行求解即可.
【详解】因为，所以，可得，因为，所以，集合
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)见解析(2) 点为的中点
【解析】（1）证面面垂直，可先由线面垂直入手即，进而得到面面垂直；（2）通过构造平行四边形，得到线面平行．
解析：
（1）连接，因为底面是菱形，,所以为正三角形.
因为是的中点, 所以,
因为面,，∴，
因为，，,
所以.
又, 所以面⊥面.

（2）当点为的中点时，∥面.
事实上，取的中点,的中点，连结，，
∵为三角形的中位线，
∴∥且，
又在菱形中，为中点，
∴∥且，
∴∥且，
所以四边形平行四边形.
所以 ∥，
又面，面，
∴∥面，结论得证.

点睛：这个题目考查了线面平行的证明，线面垂直的证明．一般证明线面平行是从线线平行入手，通过构造平行四边形，三角形中位线，梯形底边等，找到线线平行，再证线面平行．证明线线垂直也可以从线面垂直入手．
18、（1）8（2）（3）
【解析】（1）根据圆中切线长的性质得到；（2）设，经过A,P,M三点的圆N以MP为直径，圆N的方程为化简求值即可；（3）（Ⅲ）求出点M到直线AB的距离，利用勾股定理，即可求线段AB长度的最小值.
解析：
（1）由题意知，圆M的半径r=4，圆心M(0，6)，设
PA是圆的一条切线，
(2)设，经过A,P,M三点的圆N以MP为直径，
圆心，半径为
得圆N的方程为
即，有
由，解得或圆过定点
(3) 圆N的方程，即①
圆即②
②-①得：圆M与圆N相交弦AB所在直线方程为：
圆心M(0,6)到直线AB的距离
弦长
当时，线段AB长度有最小值.
点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；再者在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；圆的问题经常应用的性质有垂径定理的应用，切线长定理的应用.
19、 (Ⅰ) =1；(Ⅱ) =
【解析】（1）将代入可得：，在利用诱导公式和特殊角的三角函数值即可；（2）因为，根据两角和的余弦公式需求出和，，，则，根据二倍角公式求出代入即可
试题解析：（1）因为，
所以；
（2）因为，，则
所以，
考点：1.诱导公式；2.二倍角公式；3.两角和余弦
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）先证明平面，则，再证明平面，则，从而即可证明A1C⊥平面EBD；
（2）由平面，又，则，进而可得是二面角平面角，在中，求出，即可在中求出，从而即可得答案.
【小问1详解】
证明：平面，，又，，
平面，，
又平面，，且，，
平面，
，又，
A1C⊥平面EBD；
【小问2详解】
解：平面，又，
是二面角的平面角，
在中，，
在中
.
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）由对数复合函数的单调性得，即可求参数范围.
（2）首先判断的单调性并确定在上的值域，结合已知易得在内有两不等实根，，应用换元法进一步转化为两个函数有两个交点求参数范围.
【小问1详解】

∵在单调递增，
∴在单调递增，且
∴，解得.
【小问2详解】
由，在上是减函数.
所以，在上的值域为，
故，整理得：，
即在内有两不等实根，，
令，当时，则关于的在内有两个不等实根.
整理得：，即与由两个不同的交点，
又，当且仅当时等号成立，则上递减，上递增，且其值域为.
∴函数图象如下：

∴，即.
【点睛】关键点点睛：第二问，根据对数复合函数的单调性及其区间值域，将问题转化为方程在某区间内有两个不同实根，应用参变分离将问题进一步化为两个函数在某区间内有两个交点.