江西省赣州市宁都县三中2026届数学高一上期末学业水平测试试题含解析.doc

江西省赣州市宁都县三中2026届数学高一上期末学业水平测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（）
A. B.
C.2 D.
2．直线经过第一、二、四象限，则a、b、c应满足（）
A. B.
C. D.
3．若直线x＋（1＋m）y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是
A.1 B.－2
C.1或－2 D.
4．从数字中随机取两个不同的数，分别记为和，则为整数的概率是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知向量 ,则ABC=
A30 B.45
C.60 D.120
6．函数在上最大值与最小值之和是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知与分别是函数与的零点，则的值为　　
A. B.
C.4 D.5
8．在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是，则

A. B.
C. D.
9．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
10．函数的零点个数为（）
A.2 B.3
C.4 D.5
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．对于函数和，设，，若存在、，使得，则称与互为“零点关联函数”．若函数与互为“零点关联函数”，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12．若函数，则________
13．若，则________.
14．如图，在中， ，以为圆心、为半径作圆弧交于点．若圆弧等分的面积，且弧度，则=________.

15．若，则的取值范围为___________.
16．若xlog23＝1，则9x+3﹣x＝_____
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，.
（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围
18．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，
（1）若从甲校和乙校报名的教师中各选1名，求选出的两名教师性别相同的概率
（2）若从报名的6名教师中任选2名，求选出的两名教师来自同一学校的概率
19．已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）若函数，函数只有一个零点，求实数 的取值范围.
20．函数在一个周期内的图象如图所示，O为坐标原点，M，N为图象上相邻的最高点与最低点，也在该图象上，且

（1）求的解析式；
（2）的图象向左平移1个单位后得到的图象，试求函数在上的最大值和最小值
21．已知函数.
（1）若为偶函数，求实数m的值；
（2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当时，关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据题意中给出的解密密钥为，利用其加密、解密原理，
求出的值，解方程即可求解.
【详解】由题可知加密密钥为，
由已知可得，当时，，
所以，解得，
故，显然令，即，
解得，即
故选：A.
2、A
【解析】根据直线经过第一、二、四象限判断出即可得到结论.
【详解】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为，
∵直线经过第一、二、四象限，
∴，
∴且
故选：A.
3、A
【解析】分类讨论直线的斜率情况，然后根据两直线平行的充要条件求解即可得到所求
【详解】①当时，两直线分别为和，此时两直线相交，不合题意
②当时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得，解得
综上可得
故选A
【点睛】本题考查两直线平行的等价条件，解题的关键是将问题转化为对直线斜率存在性的讨论．也可利用以下结论求解：若，则
且或且
4、B
【解析】先计算出从数字中随机取两个不同的数，共有种情况，再求出满足为整数的情况，即可求出为整数的概率.
【详解】解：从数字中随机取两个不同的数，
则有种选法，有种选法，共有种情况；
则满足为整数的情况如下：
当时，或有种情况；
当时，有种情况；
当或时，则不可能为整数，
故共有种情况，
故为整数的概率是：.
故选：B.
5、A
【解析】由题意，得，所以，故选A
【考点】向量的夹角公式
【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题
6、A
【解析】直接利用的范围求得函数的最值，即可求解.
【详解】∵,
∴,
∴,
∴最大值与最小值之和为，
故选：.
7、D
【解析】设，，由，互为反函数，其图象关于直线对称，作直线，分别交，的图象为A，B两点，点为A，B的中点，
联立方程得，由中点坐标公式得：，又，故得解
【详解】解：由，化简得，
设，，
由，互为反函数，其图象关于直线对称，
作直线，分别交，的图象为A，B两点，点为A，B的中点，

联立得；，
由中点坐标公式得：，

所以，
故选D
【点睛】本题考查了反函数、中点坐标公式及函数的零点等知识，属于难题.
8、C
【解析】根据题意即可算出每个直角三角形面积，再根据勾股定理和面积关系即可算出三角形的两条直角边．从而算出
【详解】由题意得直角三角形的面积,设三角形的边长分别为，则有
，所以，所以
，选C.
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中，正弦、余弦的计算，属于基础题
9、B
【解析】由题意结合点与圆的位置关系考查圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系.
【详解】点在圆外，，
圆心到直线距离，
直线与圆相交.
故选B.
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10、B
【解析】先用诱导公式得化简，再画出图象，利用数形结合即可
【详解】由三角函数的诱导公式得，函数的零点个数，即方程的根的个数，即曲线（）与的公共点个数．在同一坐标系中分别作出图象，观察可知两条曲线的交点个数为3，故函数的零点个数为3

故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、C
【解析】先求得函数的零点为，进而可得的零点满足，由二次函数的图象与性质即可得解.
【详解】由题意，函数单调递增，且，
所以函数的零点为，
设的零点为，
则，则，
由于必过点，
故要使其零点在区间上，则或，
即或，所以，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将题目条件转化为函数零点的范围，再由二次函数的图象与性质即可得解.
12、0
【解析】令x=1代入即可求出结果.
【详解】令，则.
【点睛】本题主要考查求函数的值，属于基础题型.
13、
【解析】利用三角函数的诱导公式，化简得到原式，代入即可求解.
【详解】因为，
由

故答案为：
14、
【解析】设扇形的半径为，则扇形的面积为，直角三角形中， ， ，面积为，由题意得，∴，∴，故答案为.
点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力属于基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出与的关系，即可得出结论.
15、
【解析】一元二次不等式，对任意的实数都成立，与x轴最多有一个交点；由对勾函数的单调性可以求出m的范围.
【详解】由，得.由题意可得，，即.因为，所以，故.
故答案为：
16、
【解析】由已知条件可得x＝log32，即3x＝2，再结合分数指数幂的运算即可得解.
【详解】解：∵，
∴x＝log32，则3x＝2，
∴9x＝4，，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了指数与对数形式的互化，重点考查了分数指数幂的运算，属基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）根据二次函数与对应一元二次不等式的关系，求出a的值，再解不等式即可；
（2）根据二次函数的图象与性质，列出不等式组，求出解集即可.
【详解】（1）因为不等式的解集为，
则方程的两个根为1和2，
由根与系数的关系可得，，
所以.
由，得，
即，解得或，
所以不等式的解集为；
（2）由题知函数，且在区间上有两个不同的零点，
则，即，
解得，
所以实数的取值范围是
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式(组)的解法与应用问题，综合性较强，属中档题.
18、（1）（2）
【解析】（1）利用古典概型概率公式可知
（2）从报名的6名教师中任选2名，求选出的两名教师来自同一学校的情况为，则
19、（1）；（2）.
【解析】（1）利用函数为偶函数推出的值，即可求解；
（2）根据函数与方程之间的关系，转化为方程只有一个根，利用换元法进行转化求解即可.
【详解】（1）由题意，函数为偶函数，所以，
即，所以，
即，则对恒成立，解得.
（2）由只有一个零点，
所以方程有且只有一个实根，
即方程有且只有一个实根，
即方程有且只有一个实根，
令，则方程有且只有一个正根，
①当时，，不合题意；
②当时因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根，
由，解得或，
当，则不合题意，舍去；
当，则，符合题意，
若方程有两根异号，则，所以，
综上，的取值范围是.
20、（1）
（2）最大值和最小值分别为和
【解析】（1）连接交轴于点，过点作于点，设，通过勾股定理计算出和，再结合也在该图象上可求解；
（2）根据平移得到，再化简得，从而可求最值.
【小问1详解】

连接交轴于点，过点作于点.
设，则有，即，
所以，，因此，
所以有，解得，所以，又因为其过，
则，又，从而得，
所以.
【小问2详解】
由向左平移1个单位后，得，
所以

.
因为则，
所以当时有最小值，；
当时有最大值，.
21、（1）-1；（2）；
（3）
【解析】（1）根据偶函数解得：m=-1，再用定义法进行证明；
（2）记，判断出在上单增，列不等式组求出实数a的取值范围；
（3）先判断出在R上单增且，令，把问题转化为在上有两根，令，，利用图像有两个交点，列不等式求出实数m的取值范围.
【小问1详解】
定义域为R.
因为为偶函数，所以，即，解得：m=-1.
此时，
所以
所以偶函数，
所以m= -1.
【小问2详解】
当时，不等式可化为：，
即对任意恒成立.
记，只需.
因为在上单增，在上单增，
所以在上单增，
所以，

所以，解得：，
即实数a的取值范围为.
【小问3详解】
当时，在R上单增，在R上单增，所以在R上单增且.
则可化为.
又因为在R上单增，所以，换底得：
，即.
令，则，问题转化为在上有两根，
即，
令，，分别作出图像如图所示：

只需，解得：.
即实数m的取值范围为.
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解