2025-2026学年上海洋泾中学数学高一上期末质量检测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年上海洋泾中学数学高一上期末质量检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在四棱锥中，平面，中，，，则三棱锥的外接球的表面积为

A. B.
C. D.
2．函数的单调递减区间为　　
A. B.
C. D.
3．已知，且，则的值为（）
A. B.
C. D.
4．已知函数，，则函数的值域为（）
A B.
C. D.
5．在空间直角坐标系中，已知球的球心为，且点在球的球面上，则球的半径为（）
A.4 B.5
C.16 D.25
6．设为上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是（）
A B.
C. D.
7．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617年）．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子： 
1
2
3
4
5
6
7
8
…
14
15
…
27
28
29
2
4
8
16
32
64
128
256
…
16384
32768
…
134217728
268435356
536870912
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字:64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=
A.134217728 B.268435356
C.536870912 D.513765802
8．若幂函数y=f（x）经过点（3，），则此函数在定义域上是
A.偶函数 B.奇函数
C.增函数 D.减函数
9．已知，则的值是
A. B.
C. D.
10．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数b的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数f(x)＝＋的定义域为____________
12．__________.
13．若“”是“”的必要条件，则的取值范围是________
14．不等式的解集是_____________________
15．16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即.
现在已知， ，则__________.
16．已知定义域为的奇函数，则的解集为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知.
（1）求函数的最小正周期及在区间的最大值；
（2）若，求的值.
18．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．
(1)求证：MN⊥平面A1BC；
(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．

19．已知函数，其中
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最小值为，求的值
20．已知函数
（1）写出函数单调递减区间和其图象的对称轴方程；
（2）用五点法作图，填表并作出在图象.

x

y

21．已知在第一象限，若，，，求：
（1）边所在直线的方程；
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由题意，求长，即可求外接圆半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球的表面积.
【详解】由题意中，，，
则是等腰直角三角形，平面可得，，
平面，，则的中点为球心
设外接圆半径为，则，
设球心到平面的距离为，则
，由勾股定理得，
则三棱锥的外接球的表面积
故选：
【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求法，利用球的对称性确定球心到平面的距离，培养空间感知能力，中等题型.
2、A
【解析】根据所给的二次函数的二次项系数大于零，得到二次函数的图象是一个开口向上的抛物线，根据对称轴，考查二次函数的变化区间，得到结果
【详解】解：函数的二次项的系数大于零，
抛物线的开口向上，
二次函数的对称轴是，
函数的单调递减区间是
故选A
【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题
3、B
【解析】先通过诱导公式把转化成，再结合平方关系求解.
【详解】，又，.
故选：B.
4、B
【解析】先判断函数的单调性，再利用单调性求解.
【详解】因为，在上都是增函数，
由复合函数的单调性知：函数，在上为增函数，
所以函数的值域为，
故选：B
5、B
【解析】根据空间中两点间距离公式,即可求得球的半径.
【详解】球的球心为,且点在球的球面上,
所以设球的半径为
则.
故选:B
【点睛】本题考查了空间中两点间距离公式的简单应用,属于基础题.
6、D
【解析】根据函数单调性结合零点即可得解.
【详解】为上的奇函数，
且在上单调递增，，
得：或
解得.
故选：D
7、C
【解析】先找到16384与32768在第一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可.
【详解】由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字: 16384对应14，32768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536870912，
所以有：16384×32768＝536870912,
故选C.
【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题.
8、D
【解析】幂函数是经过点，
设幂函数为，
将点代入得到
此时函数定义域上是减函数，
故选D
9、C
【解析】由可得，化简则，从而可得结果.
【详解】

，

，故选C.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角
10、B
【解析】画出的图象，根据方程有个相异的实根列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】画出函数的图象如图所示，
由题意知，当时，；当时，.
令，则原方程化为.
∵方程有8个相异实根，
∴关于t的方程在上有两个不等实根.
令，，
∴，解得.
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.
【详解】根据题意，由，解得且，因此定义域为.
故答案为：.
12、1
【解析】应用诱导公式化简求值即可.
【详解】原式.
故答案为：1.
13、
【解析】根据题意解得：，得出，由此可得出实数的取值范围.
【详解】根据题意解得：，
由于“”是“”必要条件，则，.
因此，实数的取值范围是：.
故答案为：.
14、
【解析】利用指数函数的性质即可求解.
【详解】，即，
故答案为： .
15、2
【解析】先根据要求将指数式转为对数式，作乘积运算时注意使用换底公式去计算.
【详解】∵，
∴，
∴
故答案为2
【点睛】底数不同的两个对数式进行运算时，有时可以利用换底公式：将其转化为同底数的对数式进行运算.
16、
【解析】根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性.等价于，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集.
【详解】由题知，，
则恒成立，即，，
又定义域应关于原点对称，则，解得，
因此，，易知函数单增，
故等价于
即，解得
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)1;(2)
【解析】（1）化简得f（x）＝sin（2x），求出函数的最小正周期以及最大值；
（2）由（1）知，，考虑x0的取值范围求出cos（2x0）的值，求出的值
【详解】解：（1）
∴，
∴函数的最小正周期为T＝π；
∵ ，故 单调增，单调减
∴ 所以 在区间的最大值是1.
(2)∵，，∴，
又所以，故

【点睛】本题考查了三角函数的求值问题以及三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应细心作答，以免出错，是基础题
18、（1）见解析；（2）
【解析】（1）易得BC⊥平面ACC1A1，连接AC1，则BC⊥AC1．侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C=C，根据线面垂直判定定理可知AC1⊥平面A1BC，因为侧面ABB1A1是正方形，MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1，从而MN⊥平面A1BC；
（2）根据AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，根据线面所成角的定义可知∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角，设AC=BC=CC1=a，求出C1D，BC1，在Rt△BDC1中，求出∠C1BD，即可求出所求．
试题解析：
(1)证明　如图，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．连接AC1，则BC⊥AC1．
又侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．
又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC．
因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．
又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC.
(2)如图所示，因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，

连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角．
设AC＝BC＝CC1＝a，则C1D＝a，BC1＝a
在Rt△BDC1中，sin ∠C1BD＝＝，所以∠C1BD＝30°，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°
19、（1）；（2）
【解析】（1）由可得其定义域；
（2），由于，，从而可得，进而可求出的值
【详解】解：（1）要使函数有意义，则有，
解得，所以函数的定义域为
（2）函数可化为，
因为，所以
因为，所以，
即，由，得，所以
【点睛】此题考查求对数型复合函数的定义域和最值问题，属于基础题
20、（1）递减区间，对称轴方程：；（2）见解析
【解析】(1)由正弦型函数的单调性与对称性即可求得的单调区间与对称轴；(2)根据五点作图法规则补充表格，然后在所给坐标中描出所取五点，以光滑曲线连接即可.

【详解】(1) 令，解得，
令，解得，
所以函数的递减区间为，对称轴方程：；
(2)

0

x

y
1
3
1
-1
1

【点睛】本题考查正弦型函数的单调性与对称性，五点法作正(余)弦型函数的图像，属于基础题.
21、（1）；
（2）或.
【解析】（1）直接写出直线方程得解；
（2）求出直线的斜率即得解.
小问1详解】
解：因为，，
所以直线所在直线方程为.
【小问2详解】
解：当点在直线上方时，由题得直线的斜率为，
所以边所在直线点斜式方程为；
当点在直线下方时，由题得直线的斜率为，
所以边所在直线的点斜式方程为.
综合得直线的方程为或.