2025年北京市10区数学高一第一学期期末联考试题含解析.doc

2025年北京市10区数学高一第一学期期末联考试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，现要将两个数交换，使，下面语句正确的是
A. B.
C. D.
2．设全集U=R，集合A={x|0＜x＜4}，集合B={x|3≤x＜5}，则A∩（∁UB）=（　　）
A. B.
C. D.
3．已知集合，且，则的值可能为（ ）
A B.
C.0 D.1
4．已知函数f(x)= 若f（f（0））=4a，则实数a等于
A. B.
C.2 D.9
5．某甲、乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组40个.每组计数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（）

A.甲比乙的极差大
B.乙的中位数是18
C.甲的平均数比乙的大
D.乙的众数是21
6．为得到函数的图象，只需将函数的图象（）
A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位
7．已知集合，则下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8．已知点位于第二象限，那么角所在的象限是　　
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）
A. B.
C. D.
10．幂函数在上是减函数．则实数的值为　　
A.2或 B.
C.2 D.或1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．不等式的解集为____
12．已知正四棱锥的高为4，侧棱长为3，则该棱锥的侧面积为___________.
13．计算____________
14．已知，则的值为______
15．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则__________.
16．下列命题中正确的是________
（1）是的必要不充分条件
（2）若函数的最小正周期为
（3）函数的最小值为
（4）已知函数，在上单调递增，则
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知幂函数过点（2,4）
(1)求解析式
(2)不等式的解集为[1,2]，求不等式的解集.
18．已知函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明.
19．已知集合，
（1）若，求实数a，b满足的条件；
（2）若，求实数m的取值范围
20．已知角终边与单位圆交于点
（1）求的值；
（2）若，求的值.
21．已知函数，其中.
（1）若对任意实数，恒有，求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得且？若存在，则求的取值范围；若不存在，则加以证明.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】通过赋值语句，可得，故选D.
2、D
解析】先求∁UB，然后求A∩（∁UB）
【详解】∵（∁UB）＝{x|x＜3或x≥5}，
∴A∩（∁UB）＝{x|0＜x＜3}
故选D
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，比较基础
3、C
【解析】化简集合得范围，结合判断四个选项即可.
【详解】集合，四个选项中，只有，
故选：C
【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题
4、C
【解析】 ，选C.
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
5、B
【解析】通过茎叶图分别找出甲、乙的最大值以及最小值求出极差即可判断A；找出乙中间的两位数即可判断B；分别求出甲、乙的平均数判断C；观察乙中数据即可判断D；
【详解】对于A，由茎叶图可知，甲的极差为，乙的极差为，故A正确；
对于B，乙中间两位数为，故中位数为，故B错误；
对于C，甲的平均数为，
乙的平均数为，故C正确；
对于D，乙组数据中出现次数最多为21，故D正确；
故选：B
【点睛】本题考查了由茎叶图估计样本数据的数字特征，属于基础题.
6、A
【解析】先将变形为，即可得出结果.
详解】，
只需将函数的图象向左平移个长度单位.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的平移变换，属于基础题.
7、C
【解析】
利用元素与集合、集合与集合的关系可判断各选项的正误.
详解】∵，∴，所以选项A、B、D错误，
由空集是任何集合的子集，可得选项C正确.
故选：C.
【点睛】本题考查元素与集合、集合与集合关系的判断，属于基础题.
8、C
【解析】通过点所在象限，判断三角函数的符号，推出角所在的象限．
【详解】点位于第二象限，
可得，，
可得，，
角所在的象限是第三象限
故选C．
【点睛】本题考查三角函数的符号的判断，是基础题．第一象限所有三角函数值均为正，第二象限正弦为正，其它为负，第三象限正切为正，其它为负，第四象限余弦为正，其它为负.
9、D
【解析】根据三角形函数图像变换和解析式的关系即可求出变换后函数解析式，从而根据余弦函数图像的性质可求其对称轴.
【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则函数解析式变为；
向左平移个单位得，
由余弦函数的性质可知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，故对称轴为：，k∈Z，
k＝1时，.
故选：D.
10、B
【解析】由题意利用幂函数的定义和性质可得，由此解得的值
【详解】解：由于幂函数在时是减函数，
故有，
解得，
故选：
【点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质应用，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】将不等式转化为，利用指数函数的单调性求解.
【详解】不等式为，
即，
解得，
所以不等式的解集为，
故答案为：
12、
【解析】由高和侧棱求侧棱在底面射影长，得底面边长，从而可求得斜高，可得侧面积
【详解】如图，正四棱锥，是高，是中点，则是斜高，
由已知，，则，
是正方形，∴，，，
侧面积侧
故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题考查求正棱锥的侧面积．在正棱锥计算中，解题关键是掌握四个直角三角形：如解析中图中，正棱锥的几乎所有量在这四个直角三角形中都有反应

13、5
【解析】由分数指数幂的运算及对数的运算即可得解.
【详解】解：原式，
故答案为：5.
【点睛】本题考查了分数指数幂的运算及对数的运算，属基础题.
14、2
【解析】根据给定条件把正余弦的齐次式化成正切，再代入计算作答.
【详解】因，则，
所以的值为2.
故答案为：2
15、##
【解析】先求得是周期为的周期函数，然后结合周期性、奇偶性求得.
【详解】因为函数为上的奇函数，所以，
故，函数是周期为4的周期函数.
当时，，
则.
故答案为：
16、（3）（4）
【解析】对于（1）对角取特殊值即可验证；对于（2）采用数形结合即可得到答案；对于（3）把函数进行化简为关于的函数，再利用基本不等式即可得到答案；对于（4）用整体的思想，求出单调增区间为，再让即可得到答案.
【详解】对于（1），当，当，不满足是的必要条件，故（1）错误；
对于（2），函数的最小正周期为，故（2）错误；
对于（3），，
当且仅当等号成立， 故（3）正确；
对于（4）函数的单调增区间为，
若在上单调递增，则，又，
故（4）正确.
故答案为：（3）（4）.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）先设幂函数解析式为，再由函数过点（2,4），求出，即可得出结果；
(2)先由不等式的解集为[1,2]，求出，进而可求出结果.
【详解】（1）设幂函数解析式为
因为函数图像过点（2,4），所以
所以所求解析式为
(2) 不等式的解集为[1,2]，
的解集为，
和是方程的两个根，
， ，因此；
所以不等式可化，
即，解得,
所以原不等式的解集为.
【点睛】本题主要考查函数的解析式，以及一元二次不等式解法，属于基础题型.
18、（1）函数为奇函数，证明见解析
（2）在上为增函数，证明见解析
【解析】（1）先判断奇偶性，根据奇函数的定义证明即可；
（2）先判断单调性，根据函数单调性的定义法证明即可.
【小问1详解】
函数为奇函数.
证明如下：∵定义域为R，
又，
∴为奇函数.
【小问2详解】
函数在为单调增函数.
证明如下：任取，
则
∵，
∴，，
∴，
即，
故在上为增函数.
19、（1），;（2）.
【解析】（1）直接利用并集结果可得，;
（2）根据可得，再对集合的解集情况进行分类讨论，即可得答案；
【详解】解：（1）；，
∴，;
（2）,

∴分情况讨论①，即时得；
②若，即，中只有一个元素1符合题意；
③若，即时得，∴
∴综上
【点睛】由集合间的基本关系求参数时，注意对可变的集合,分空集和不为空集两种情况.
20、（1）；（2）或.
【解析】（1）首先根据三角函数的定义，求得三角函数值，再结合二倍角公式化简，求值；
（2）利用角的变换，利用两角和的余弦公式，化简求值.
【详解】解：由三角函数定义得，
（1）

（2）∵
∴
∴

当时

当时

21、（1）；
（2）存在，.
【解析】(1)首先求出在上的最大值，问题转化为对任意成立，然后化简不等式，参变分离构造即可.
(2)分a＞0和a＜0两种情况讨论，去掉绝对值符号，转化为解不等式的问题.
【小问1详解】
，，，∴，
∴原问题对任意成立，
即对任意成立，
即对任意成立，∴.
故a的范围是：.
【小问2详解】
①
，
，
∵，∴，
∴不等式变为，∴；
(2)，

，
∵，∴此时无解.
综上所述，存在满足题意.