2025年江苏省泰州中学、宜兴中学、江都中学高一数学第一学期期末监测模拟试题含解析.doc

2025年江苏省泰州中学、宜兴中学、江都中学高一数学第一学期期末监测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，若，，，则，，的大小关系为
A. B.
C. D.
2．已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为（）
A.2 B.4
C.6 D.8
3．已知函数，若，，，则实数、、的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
4．一种药在病人血液中量低于时病人就有危险，现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时80%的比例衰减，那么应再向病人的血液中补充这种药不能超过的最长时间为（）
A.1.5小时 B.2小时
C.2.5小时 D.3小时
5．某数学老师记录了班上8名同学的数学考试成绩，得到如下数据：90，98，100，108，111，115，115，125.则这组数据的分位数是（）
A.100 B.111
C.113 D.115
6．已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
7．函数的最大值是（）
A. B.1
C. D.2
8．已知全集，集合，集合，则集合为
A. B.
C. D.
9．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为（）

A. B.
C. D.
10．若函数的定义域是，则函数值域为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．求过(2,3)点，且与(x－3)2＋y2＝1相切的直线方程为_____
12．已知平面，，直线，若，，则直线与平面的位置关系为______.
13．若函数（且）.①若，则___________；②若有最小值，则实数的取值范围是___________.
14．已知函数，若，则________.
15．若将函数的图像向左平移个单位后所得图像关于轴对称，则的最小值为___________.
16．已知正实数a，b满足，则的最小值为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中 随机抽取名按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）若从第，，组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参广场的宣传活动，应从第，，组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该市决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，求第组志愿者有被抽中的概率.
18．已知向量=（cosx，-sinx），=（1，），=（1，1），x∈[0，π]
（1）若与共线，求x的值；
（2）若⊥，求x的值；
（3）记f（x）=•，当f（x）取得最小值时，求x的值
19．2020年12月17日凌晨，经过23天月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭(除推进剂外)的质量，是推进剂与火箭质量的总和，从称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为.
（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据：，.
20．已知函数.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值.
21．已知.
（1）化简；
（2）若是第二象限角，且，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据函数解析式先判断函数的单调性和奇偶性，然后根据指数和对数的运算法则进行化简即可
【详解】∵f（x）=x3，∴函数f（x）是奇函数，且函数为增函数，
a=﹣f（log3）=﹣f（﹣log310）=f（log310），
则2＜log39.1＜log310，20.9＜2，
即20.9＜log39.1＜log310，
则f（209）＜f（log39.1）＜f（log310），
即c＜b＜a，
故选C
【点睛】本题主要考查函数值的大小的比较，根据函数解析式判断函数的单调性和奇偶性是解决本题的关键
2、B
【解析】由给定条件求出扇形半径和弧长，再由扇形面积公式求出面积得解.
【详解】设扇形所在圆半径r，则扇形弧长，而，
由此得，所以扇形的面积.
故选：B
3、D
【解析】根据条件判断函数是偶函数，且当时是增函数，结合函数单调性进行比较即可
【详解】函数为偶函数，
当时，为增函数，
，，
，
则（1），
即，
则，
故选：
4、D
【解析】设时间为，依题意有，解指数不等式即可；
【详解】解：设时间为，有，即，解得.
故选：D
5、D
【解析】根据第p百分位数的定义直接计算，再判断作答.
【详解】由知，这组数据的分位数是按从小到大排列的第6个位置的数，
所以这组数据的分位数是115.
故选：D
6、D
【解析】对A，B，C，利用特殊值即可判断，对D，利用不等式的性质即可判断.
【详解】解：对A，令，，此时满足，但，故A错；
对B，令，，此时满足，但，故B错；
对C，若，则，故C错；
对D，
，
则，故D正确.
故选：D.
7、C
【解析】利用正余弦的差角公式展开化简即可求最值.
【详解】
，
∵，∴函数的最大值是.
故选：C.
8、C
【解析】 ,选C
9、C
【解析】根据题意，列出所有可能，结合古典概率，即可求解.
【详解】甲、乙、丙3人投中与否的所有情况为：（中，中，中），（中，中，不中），（中，不中，中），
（中，不中，不中），（不中，中，中），（不中，中，不中），（不中，不中，中），
（不中，不中，不中），共8种，其中至多有1人投中的有4种，故所求概率为
故选：C.
10、A
【解析】根据的单调性求得正确答案.
【详解】根据复合函数单调性同增异减可知在上递增，
，
即.
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或
【解析】当直线没有斜率时，直线的方程为x=2,满足题意，所以此时直线的方程为x=2.
当直线存在斜率时，设直线的方程为
所以
故直线的方程为或.故填或.
12、
【解析】根据面面平行的性质即可判断.
【详解】若，则与没有公共点，
，则与没有公共点，故.
故答案为：.
【点睛】本题考查面面平行的性质，属于基础题.
13、 ①. ②.
【解析】先计算的值，再计算的值；通过分类讨论确定不等式后即可求得的取值范围.
【详解】当时，，
所以，
所以；
当时，，
当时，取得最小值，
当时，且时，，
此时函数无最小值.
当时，且时，，
要使函数有最小值，则必须满足，解得.
故答案为：；.
14、
【解析】根据题意，将分段函数分类讨论计算可得答案
【详解】解：当时，，即，解得，满足题意；
当时，，即，解得，不满足题意
故.
故答案为.
【点睛】本题考查分段函数的计算，属于基础题
15、
【解析】利用辅助角公式将函数化简，再根据三角函数的平移变换及余弦函数的性质计算可得；
【详解】解：因，
将的图像向左平移个单位，得到，
又关于轴对称，
所以，，所以，
所以当时取最小值；
故答案为：
16、##
【解析】将目标式转化为，应用柯西不等式求取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题设，，则，
又，
∴，当且仅当时等号成立，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的最小值为.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）分别抽取人，人，人；（2）
【解析】（1）频率分布直方图各组频率等于各组矩形的面积，进而算出各组频数，再根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解；（2）列出从名志愿者中随机抽取名志愿者所有的情况，再根据古典概型概率公式求解.
【详解】（1）第组的人数为， 第组的人数为， 第组的人数为，
因为第，，组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽
取的人数分别为：第组: ；第组: ；第组: .
所以应从第，，组中分别抽取人，人，人.
（2）设“第组的志愿者有被抽中”为事件.
记第组的名志愿者为，，，第组的名志愿者为，，第组的名志愿者为，则
从名志愿者中抽取名志愿者有:
，，，，，，，，，，
，，，，，共有种.
其中第组的志愿者被抽中的有种，

答：第组的志愿者有被抽中的概率为
【点睛】本题考查频率分布直方图，分层抽样和古典概型,注意列举所有情况时不要遗漏.
18、（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）利用两向量平行有可得到一个关于的方程，利用三角函数恒等变化化简进而求得x的值.（2）利用两向量垂直有可得到一个关于的方程，利用三角函数恒等变化化简进而求得x的值.（3）根据化出一个关于的方程，再利用恒等变化公式将函数转化成，从而找到最小值所取得的x的值.
【详解】解：（1）∵向量=（cosx，-sinx），=（1，），=（1，1），x∈[0，π]
与共线，∴，∴tanx=-，
∵x∈[0，π]，∴x=
（2）∵⊥，∴cosx-sinx=0，
∴tanx=1，∵x∈[0，π]，∴x=
（3）f（x）=•=cosx-，
∵x∈[0，π]，∴x-∈[-，]，
∴x-=时，f（x）取得最小值-2，
∴当f（x）取得最小值时，x=
【点睛】向量间的位置关系：两向量垂直，则，两向量平行，则.
19、（1）；（2）在材料更新和技术改进前总质比最小整数为74.
【解析】（1）代入公式中直接计算即可
（2）由题意得，，则，求出的范围即可
【详解】（1），
（2），.
因为要使火箭的最大速度至少增加，
所以，
即：，
所以，
即，所以，
因为，所以.
所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.
【点睛】此题考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，列出不等式，属于中档题
20、（1）奇函数，证明见解析；（2）最小值为，最大值为.
【解析】（1）利用函数奇偶性的定义证明即可；
（2）设，可知函数为增函数，由，可得出，且有，将问题转化为二次函数在上的最值问题，利用二次函数的基本性质求解即可.
【详解】（1）函数定义域为，关于原点对称，
，
因此，函数为奇函数；
（2）设，由于函数为增函数，函数为减函数，
所以，函数为增函数，当时，则，
且，则，
令，.
所以，，.
【点睛】本题考查函数奇偶性的证明，同时也考查了指数型函数在区间上最值的求解，利用换元法转化为二次函数的最值问题是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）根据诱导公式对进行化简即可
（2）先由求得，再根据（1）的结论及同角三角函数关系式求解
【详解】（1）
（2），
，
∵ 是第二象限角，
∴，

【点睛】本题考查利用诱导公式进行化简，涉及利用同角三角函数关系由正弦值求余弦值，属综合基础题.